高二数学14生活中的优化问题举例

1.4生活中的优化问题举例

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，通过前面的学习，知道，导数是求函数最大〔小〕值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题。问题1:海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如下图的竖向张贴的海报，要求版心面积为128cm2,上下边各空2cm,左右空1cm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？解:设版心的高为xcm,那么宽为此时四周空白面积为因此，x=16是函数s(x)的极小值点，也是最小值点。所以，当版心高为16cm,宽为8cm时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为16cm,宽为8cm时，海报四周空白面积最小。求导数，有解得，x=16(x=-16舍去)2、若函数f(x)在定义域内只有一个极值点x0，则不需与端点比较，f(x0)即是所求的最大值或最小值.说明1、设出变量找出函数关系式；(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)确定出定义域；所得结果符合问题的实际意义练习1:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?xh解设箱底边长为x,那么箱高为箱子容积为由解得x1=0(舍),x2=40.xh解设箱底边长为x,箱子容积为由解得x1=0(舍),x2=40.当x∈(0,40)时,V'(x)>0;当x∈(40,60)时,V'(x)<0.∴函数V

(x)在x=40处取得极大值,这个极大值就是函数V

(x)的最大值.答当箱箱底边长为40cm时,箱子容积最大,最大值为16000cm3如何解决优化问题?优化问题优化问题的答案用函数表示的数学问题用导数解决数学问题问题2:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗?是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?某制造商制造并出售球形瓶装饮料.瓶子制造本钱是0.8πr2分.每出售1ml的饮料,可获利0.2分,且瓶子的最大半径为6cm.〔１〕瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？〔２〕瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？解：由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润为：例题2:令因此，当r>2时，f’(r)>0,它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；当r<2时，f’(r)<0,它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低。〔1〕半径为2时，利润最小。这时f(2)<0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的本钱，此时利润是负值；〔2〕半径为6时，利润最大。问题3:如何使一个圆形磁盘储存更多信息?例3磁盘的最大存储量问题:解:存储量=磁道数×每磁道的比特数.设存储区的半径介于r与R之间,由于磁道之间的宽度必须大于m,且最外面的磁道不存储任何信息,所以磁道数最多可达(R-r)/m。由于每条磁道上的比特数相同，为了获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可到达,所以，磁道总存储量为：(1)它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大。解：存储量=磁道数×每磁道的比特数(2)为求f(r)的最大值，先计算:如何解决优化问题?优化问题优化问题的答案用函数表示的数学问题用导数解决数学问题练习2、一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？那么两个正方形面积和为解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x,其中0<x<l其中0<x<l由问题实际意义的可知：练习3:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?Rh解设圆柱的高为h,底面半