备战2023年中考数学一轮复习知识解读专题05定角定高

专题05定角定高（知识解读）【专题说明】定角定高问题是初中数学学习的重点和难点问题，也是升入名校考查的热点。此类问题综合性强，常常会与三角形，四边形进行结合起来，隐蔽性强。常应用于求一类三角形底边长的最小值，继而求三角形面积的最小值，问题的关键就在作这个动三角形的外接圆，根据“半径+弦心距≥定高”求出半径的最小值，那底边存在最小值，面积存在最小值。由于底边的长在变化，此外接圆“隐形圆”的大小也会发生变化，但是在运动过程中于找到“隐形圆”半径最小值，找到此处为突破口，建立数学模型，综合性问题就迎刃而解.【方法技巧】1.定角定高模型呈现：有一类问题满足这样的条件特征：如下图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角。则AD有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。【典例分析】【典例1】辅助圆之定角定高求解探究（1）如图①，已知线段AB，以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；（2）如图②，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD为AB边上的高，若CD＝4，试判断AB是否存在最小值，若存在，请求出AB最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．【变式1-1】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为．【变式1-2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC边上的高AD＝6，则△ABC周长的最小值为．【变式1-3】如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别是CD，BC边上的点，且∠EAF＝45°，则△AEF面积的最小值为．【变式1-4】（2019•新城区校级一模）问题提出：如图1：在△ABC中，BC＝10且∠BAC＝45°，点O为△ABC的外心，则△ABC的外接圆半径是．问题探究：如图2，正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD两边上点且∠EAF＝45°，请问线段BE、DF、EF有怎样的数量关系？并说明理由．问题解决：如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠B＝45°，∠D＝135°，点E、F分别是射线CB、CD上的动点，并且∠EAF＝∠C＝60°，试问△AEF的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值．若不存在，请说明理由． 专题05定角定高（知识解读）【专题说明】定角定高问题是初中数学学习的重点和难点问题，也是升入名校考查的热点。此类问题综合性强，常常会与三角形，四边形进行结合起来，隐蔽性强。常应用于求一类三角形底边长的最小值，继而求三角形面积的最小值，问题的关键就在作这个动三角形的外接圆，根据“半径+弦心距≥定高”求出半径的最小值，那底边存在最小值，面积存在最小值。由于底边的长在变化，此外接圆“隐形圆”的大小也会发生变化，但是在运动过程中于找到“隐形圆”半径最小值，找到此处为突破口，建立数学模型，综合性问题就迎刃而解.【方法技巧】1.定角定高模型呈现：有一类问题满足这样的条件特征：如下图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角。则AD有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。【典例分析】【典例1】辅助圆之定角定高求解探究（1）如图①，已知线段AB，以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；（2）如图②，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD为AB边上的高，若CD＝4，试判断AB是否存在最小值，若存在，请求出AB最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求．（2）如图②中，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，作OE⊥AB于E．设OA＝OC＝2x．∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，OA＝OB，OE⊥AB，∴AE＝EB，∠AOE＝∠BOE＝60°，∴OE＝OA＝x，AE＝x，∵OC+OE≥CD，∴3x≥4，∴x≥，∴x的最小值为，∵AB＝2x，∴AB的最小值为．（3）如图③中，连接AC，延长BC交AD的延长线于G，将△CDF顺时针旋转得到△CBH，作△CEH的外接圆⊙O．∵∠ADC＝∠ABC＝90°，AC＝AC，CD＝CB，∴Rt△ACD≌Rt△ACB（HL），∴S△ACD＝S△ACB，∵∠DAB＝45°，∴∠DCB＝135°，∴∠DCG＝45°，∵∠CDG＝90°，∴CD＝DG＝6，∴CG＝CD＝12，∴AB＝GB＝12+6，由（2）可知，当△CEH的外接圆的圆心O在线段BC上时，△ECH的面积最小，此时四边形AFCE的面积最大，设OC＝OE＝r，易知OB＝EB＝r，∴r+r＝6，∴r＝6（2﹣），∴EH＝r＝12（2﹣），∴四边形AFCE的面积的最大值＝2××（12+6）×6﹣×12（2﹣）×6＝144．【变式1-1】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为．【答案】【解答】解：作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，设⊙O的半径为r，则OE＝OB＝r，BE＝OB＝r，∴BC＝r，∵OA+OE≥AD，∴r+r≥4，解得：r≥，∴BC≥，∴，∴△ABC的面积的最小值为，故答案为：．【变式1-2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC边上的高AD＝6，则△ABC周长的最小值为．【答案】12+12【解答】解：如图，延长CB到E，使得BE＝BA，延长BC到F，使得CD＝CA，连接AE，AF，作△AEF的外接圆⊙O，连接OE，OF，过点O作OJ⊥EF于点J，交⊙O于点T．∵BA＝BE，CA＝CF，∴∠BAE＝∠BEA，∠CAF＝∠CAF，∵∠ABC＝∠BAE+∠BEA，∠ACB＝∠CAF+∠CFA，∴∠AEF+∠AFE＝（∠ABC+∠ACB）＝45°，∴∠EAF＝135°，∴∠EOF＝90°，∵OJ⊥EF，∴EJ＝JF，∴OJ＝EF，设OE＝OF＝r，则EF＝r，OJ＝r，∵AB+BC+AC＝EB+BC+CF＝EF，∴EF最小时，△ABC的周长最小，∵AD⊥BC，∴AD+OJ≤OT，∴6+r≤r，∴r≥12+6，∴EF≥12+12，∴AB+BC+AC≥12+12，∴△ABC的周长的最小值为12+12，故答案为：12+12．【变式1-3】如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别是CD，BC边上的点，且∠EAF＝45°，则△AEF面积的最小值为．【答案】36﹣36【解答】解：如图，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，由旋转的性质得，AH＝AE，∠BAH＝∠DAE，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAF+∠DAE＝∠BAH+∠BAF＝45°，∴∠FAH＝∠EAF＝45°，在△AEF和△AHF中，，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴FH＝EF，∴S△AEF＝S△AFH，设DE＝x，BF＝y，则BH＝DE＝x，EF＝BF+BH＝x+y，CE＝6﹣x，CF＝6﹣y，在Rt△EFC中，EC2+CF2＝EF2，∴（6﹣x）2+（6﹣y）2＝（x+y）2，化简得：y＝＝﹣6+，∴S△AEF＝S△AFH＝FH•AB＝×6（x+y）＝3[x+（﹣6+）]＝3[（x+6）+﹣12]＝3[（﹣）2+12﹣12]，∴当＝时，x＝6﹣6，S△AEF的最小值为36﹣36．故答案为：36﹣36．【变式1-4】（2019•新城区校级一模）问题提出：如图1：在△ABC中，BC＝10且∠BAC＝45°，点O为△ABC的外心，则△ABC的外接圆半径是．问题探究：如图2，正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD两边上点且∠EAF＝45°，请问线段BE、DF、EF有怎样的数量关系？并说明理由．问题解决：如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠B＝45°，∠D＝135°，点E、F分别是射线CB、CD上的动点，并且∠EAF＝∠C＝60°，试问△AEF的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值．若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，作出△ABC的外接圆⊙O，∵∠A＝45°，∴∠BOC＝90°，∵BC＝10，∴OB＝sin45°×BC＝，故答案为：5．（2）EF＝BE+DF，理由如下：如图2，延长EB，使BG＝DF，连接AG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABG＝∠D＝90°，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠GAB＝∠DAF，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∴∠GAE＝45°，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴EF＝GE＝DF+BE，（3）存在最小值，如图3，延长CB，使BG＝DF，∵∠ABC＝45°，∴∠ABG＝135°，∴∠ABG＝∠ADF，又∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠GAB＝∠FAD，AG＝AF，∵∠ABC＝45°，∠D＝135°，∠