最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案

PAGE20实用文档2-5求通过，，使下列性能泛函为极值的极值曲线：解：由题可知，始端和终端均固定，被积函数，，，代入欧拉方程，可得，即故其通解为：代入边界条件，，求出，极值曲线为2-6已知状态的初值和终值为，式中自由且>1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线：解：由题可知，，，，欧拉方程：横截条件：，，易得到故其通解为：根据横截条件可得：解以上方程组得：还有一组解(舍去，不符合题意>1)将，，代入可得.极值轨线为2-7设性能泛函为求在边界条件，自由情况下，使性能泛函取极值的极值轨线。解：由题可知，，，自由欧拉方程：横截条件：，，易得到其通解为：代入边界条件，，，求出，将，，代入可得极值轨线为2－8设泛函端点固定，端点可沿空间曲线移动。试证：当泛函取极值时，横截条件为证：根据题意可知，此题属于起点固定，末端受约束情况，由可得，（1）由c=,,（2）将（2）代入（1）式，得：,得证。2-13设系统状态方程，，性能指标如下：要求达到，试求（1）时的最优控制。（2）自由时的最优控制。解：由题可知构造H：正则方程：可求得控制方程：由上式可得由状态方程，可得（1）时由边界条件，，，可得得故有有最优控制（2）若自由由哈密顿函数在最优轨线末端应满足的条件得即，从而，代入可得因为时间总为正值，所以此题无解。3-2设二阶系统的状态方程边界条件试求下列性能指标的极小值：解：由题可知构造H：由协态方程和极值条件：得代入状态方程得：即，代入初始条件解得：故，此时3-4给定一阶系统方程，控制约束为，试求使下列性能指标：为极小值的最优控制及相应的最优轨线。解：由题可知构造H：哈密顿函数达到极小值就相当于使性能指标极小，因此要求极小。且取其约束条件的边界值，即时，使哈密顿函数H达到最小值。所以，最优控制应取由协态方程可得由横截条件求得，于是有显然，当时，产生切换，其中为切换时间。不难求得，故最优控制为将代入状态方程，得解得代入初始条件，可得，因而，在上式中，令，可求出时的初始条件从而求得。因而，于是，最优轨线为将求得的和代入式J，得最优性能指标最优解曲线如下：3-5控制系统，试求最优控制,以及最优轨线和,使性能指标为极小值。解：哈密尔顿函数为由协态方程：，解得，由极值条件：，解得，由状态方程有，解得，代入初始值解得：，故此时…………………..3－6已知二阶系统方程式中自由。试求使性能指标为极小的最优控制，最优轨线以及最优指标。解：本例为线性定常系统，积分型性能指标，自由，末端固定的最优化问题。构造哈密顿函数为：由极小值条件应取：,由哈密顿函数沿最优轨线的变化律：，可得：，即：，可知：，（其中矛盾），由协态方程有：，由初始条件解得：，由所给状态方程及初始条件解得：………………………3-7已知二阶系统方程，，式中控制约束为试确定最优控制。将系统在时刻由转移到空间原点，并使性能指标取最小值，其中自由。解：由题可知构造哈密顿函数：按照最小值原理，最优控制应取由哈密顿函数沿最优轨线的变化规律可得以及因为，可以求出由协态方程解得，当时(试取)代入初始条件，，可得代入末端条件，可得又，联立解得于是有在时，正好满足要求故最优控制为，相应的最优性能指标为最优轨线为3-17已知系统方程，，性能指标，末端。试用连续极小值原理求最优控制与最优轨迹。解：构造哈密顿函数：，由协态方程：，解得：，由极值条件：，解得，代入状态方程有：，解得，代入初始值解得：，故最优轨线为：，又，所以最优控制律为：，此时3-28已知系统的状态方程，控制约束为|u（t）|1。试求最优控制u*（t），使系统由任意初态最快地转移到，的末态。写出开关曲线方程，并绘出开关曲线的图形。解：本例为二次积分模型的最小时间控制问题。容易判定系统可控，因而必为Bang-Bang控制。构造哈密顿函数:由协态方程得：解得：。，知最优控制u(t)最多切换一次，具有四种可能：【+1】，【-1】，【+1，-1】，【-1，+1】。若时，代入状态方程考虑到初始状态，解得：，消t得：，同理，若时，解得：，由末态配置到，取开关曲线为过（2,1）的那条曲线，即开关曲线方程为：开关曲线图如下：开关曲线3-31设二阶系统：，控制约束|u（t）|1。试求使系统由已知初态最快地转移到坐标原点的时间最优控制u*（t）和开关曲线。（注：本题书上的是错的，因为按书上的得不到相平面轨迹方程）解：本例为二次积分模型的最小时间控制问题。容易判定系统可控，因而必为Bang-Bang控制。构造哈密顿函数:，知最优控制：，知最优控制u(t)最多切换一次，具有四种可能：【+1】，【-1】，【+1，-1】，【-1，+1】。若时，代入状态方程考虑到初始状态，解得：，消t得：，同理，若时，解得：，消t得：，即开关曲线方程为：开关曲线图如下：本题初始点A(1，1),最优控制曲线如上图，最优控制律为u={-1，+1}。3-33已知受控系统，目标集为，试求由目标集外的任意初态转移到目标集的时间最优控制律。解：哈密尔顿函数为，协态方程，边界条件：，目标集约束：，由极小值条件知，最优控制律：若时，代入状态方程，解得：，消t得相轨迹方程：；同理，若时，解得：，消t得相轨迹方程：；由相轨迹方程与目标集相切且满足末态要求的相轨迹曲线：，，所以系统的开关曲线开关曲线图如下所示：相轨迹如上图所示：ⅰ、当初态在区域或上时，知最优控制为终于上半圆；ⅱ、当初态在区域或上时，知最优控制为终于下半圆；ⅲ、当初态在区域中，知最优控制为；ⅳ、当初态在区域中，知最优控制为；3-42已知系统方程，控制约束|u（t）|1。试求以切换时间表示的时间-燃料最优控制u*（t），使性能指标取极小值，并求最优控制J*。解：哈密顿函数为：由，解得：由极小值条件知：，因为初态=知时间—燃料最优控制为：，设的切换时间为和，则有①当时，有u=-1，初态=，由状态方程得：②当时，u=0，初态为：，由状态方程解得：。当时，u=+1，初态为：，由状态方程解得：。末态值求得，，于是时间—燃料最优控制为：，，从而有。4-4设二阶离散系统试求使性能指标：为极小的最优控制和最优轨线。解：本题为二级最优决策问题，其中、不受约束。令N=2，k=1时：，=0，所以由于不受约束：，求得：。将结果代入得：。令N=1，k=0时：，=0，所以=，代入初始值，求得：，，，，，，于是本题的最优控制，最优轨线及最优代价分别为：，，，，4-13已知二阶系统，，性能指标：试用连续动态规划求最优控制和最优轨线。解：解：（1）由题意可得：，，，，令,得，显然{A，b}可控，{A，D}可观，故存在且唯一。令，代入黎卡提方程：，代入A,b，Q，r可得:,于是最优控制：,最优控制指标:,将代入状态方程，得闭环系统方程：代入初始值解得：将、代入状态反馈的最优控制，求得：。4-14已知系统方程：，性能指标：，试确定该系统的哈密顿-雅可比方程。解：令哈密顿函数为：由于不受约束，则，由最优解的充分条件知：，代入，得：。因为系统是时不变的，并且性能指标的被积函数不是时间的显函数，故，则有。在性能指标中，令，得边界条件：。所以本题的哈密顿—雅可比方程为：5-8给下列二阶系统：，试确定最优控制，使下列性能指标极小：解：该题为有限时间状态调节器问题。由题意得：令，代入黎卡提方程：，代入A,b，Q，r，边界条件：,,即：解得：,于是最优控制：,最优性能指标:。5-10已知系统的状态方程：，性能指标极小：试确定最优控制。解：该题为无限时间状态调节器问题。由题意得：，令,得，，，故{A，b}可控，{A，D}可观，故存在且唯一。令，代入黎卡提方程：，代入A,B，Q，R解得：,于是最优控制：,最优性能指标:。5-20已知为具有性质的李亚普诺夫函数。其中，满足式。试用李亚普诺夫稳定性定理证明最优闭环系统是渐近稳定的。证明：取二次型函数：，对于由于>0必有。所以李亚普诺夫函数。，将代入，整理得：=，又由，知，代入整理得：，即：。所以知，为负定。又显然。根据李亚普诺夫稳定性定理，最优闭环系统大范围渐近稳定。6-2设有二次积分模型：，，性能指标：，试求使性能指标极小的最优控制，并求最优性能指标。解:由题意可知：，，，Q=1，，，R=4。因为rank[BAB]=rank=2，rank=rank=2rank=rank=2,所以，{A,B}可控，{A,C}可观，{A,D}可观，故可以构造渐近稳定的最优输出调节器。,设，解黎卡提代数方程：得：得>0，此时：=，最优性能指标：。6-3已知系统的动态方程：，性能指标：，试求使性能指标极小并使闭环系统渐近稳定的最优控制。解:由题意可知：，，，Q=100，，，R=1。因为rank[BAB]=rank=2，rank=rank=2rank=rank=2,所以，{A,B}可控，{A,C}可观，{A,D}可观，故可以构造渐近稳定的最优输出调节器。,设，解黎卡提代数方程：得：，解得，此时：=，将代入状态方程得：，解得闭环系统特征值为：所以闭环系统是渐近稳定的。………………………..6-10设用控制系统可以自动地保持潜艇的深度，潜艇从艇尾水平角到实际深度的传递函数，可以近似为：，试设计控制律，使性能指标最小。其中希望深度=100。假定，实际深度可用压力传感器测量，并可用于反馈。解：………………………..8-2设二阶系统方程：，控制约束。性能指标式中自由。试验证系统能否出现奇异弧。解:本例为线性定常系统，积分型性能指标、自由的最优控制问题。构造哈密顿函数：，根据极小值原理可知，相应于正常弧段的最优控制为如下邦-邦控制：邦-邦弧段满足下列正则方程：函数H线性依赖于，所以可能存在奇异弧。在奇异弧上必有：解方程组知：得异最优解：，即系统有奇异解。8-6已知系统方程，控制约束。性能指标试用奇异调节器方法求奇异最优控制.解：首先对原系统状态方程进行线性变换。令得修正奇异调节器系统状态方程：，式中即：设，解黎卡提代数方程：：解得：,此时，式中,即，则原奇异调节器的最优控制9-3设随机系统状态方程为：其状态转移矩阵为，且满足下列方程：试证明：x(t)的均值和方差阵分别为：证明：x(t)的均值满足以下矩阵微分方程：其解为：证得一式。应满足又可得证毕。9-5设随机系统方程为，式中与为互不相关的零均值高斯白噪声，其方差为和。试求最优控制，使下列性能指标极小：式中。解：依据定理9-7（线性连续随机系统分离定理），可知F＝1，G＝1，H＝1，Q＝0，R＝……………（1）（1）式中状态反馈增益矩阵…………（2）而满足下列Riccati矩阵微分方程及其边界条件：…………（3）解出（3）式微分方程：…………（4）将（4）式代入（2）式得到：…………（5）由以下Kalman滤波方程给出：………（6）（6）式中Kalman增益矩阵………（7）而满足以下Riccati矩阵微分方程及初始条件：………（8）解出（8）式微分方程：……（9）将（9）式代入（7）式得到：………（10）现在，只要由（10）式代入（6）式即可解出：………（11）将（5）式和（11）代入（1）式，即可算出最优控制……图9.5随机输出反馈调节器结构图9-6设离散系统状态方程和量测方程为：，式中是零均值高斯白噪声