解一元一次方程一合并同类项与移项

请欣赏一首诗：太阳下山晚霞红，我把鸭子赶回笼；一半在外闹哄哄，一半的一半进笼中；剩下十五围着我，共有多少请算清．你能列出方程来解决这个问题吗？新课导入

希腊数学家丢番图（公元3～4世纪）的墓碑上记载着：

“他的生命的六分之一是幸福童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲年龄的一半；儿子死后，他在极悲痛中度过了四年，也与世长辞了．”根据以上信息，你知道丢番图活了多少岁吗？3.2解一元一次方程（一）

——合并同类项与移项知识与能力

1．能根据实际问题，建立数学模型——一元一次方程，来解决；

2．能在解方程中，正确合并同类项．教学目标过程与方法

1．由实际问题引入，进一步熟悉列方程解应用题的分析步骤；

2．渗透运用数学问题来解决实际问题的建模思想．教学目标情感态度与价值观

1．通过引导发现，培养独立思考问题的能力；

2．通过学习，更加关注生活，增强用数学的意识，从而激发学习数学的热情．教学目标重点未知数，列方程，用合并及等式性质解方程．难点

1．建立方程时寻找“相等关系”;

2．合并时“x”或“－x”前面的系数为1或“－1”．教学重难点

约公元825年，中亚细亚数学家阿尔-花拉子米写了一本代数书，阿拉伯文书名是‘ilmal-jabrwa’lmuqabalah，直译应为《还原与对消的科学》．al-jabr意为“还原”，这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项；muqabalah意即“对消”或“化简”，指方程两端可以消去相同的项或合并同类项．一般认为拉丁文中代数学一词algebra是由al-jabr演变而来．阿尔—花拉子米（约780——约850）

（1）x－2x＋4x（2）5y＋y－2y（3）2a－－＝（1－2＋4）x＝3x＝（5＋1－2）y＝4y＝（2－－）a合并同类项＝0实际问题一元一次方程

分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是解决实际问题的一种数学方法.设未知数列方程怎样解方程?

问题1：在一卷公元前1600年左右遗留下来的古埃及草卷中,记载者一些数学问题,其中一个问题翻译过来是：“啊哈,它的全部,它的其和等于16”.你能求出问题中的“它”?

解:设问题中的它为x，则：它的为.根据问题中的相等关系：它的全部＋它的＝16．可列方程合并同类项系数化为1x＝14分析：解方程，就是把方程变形，变为x=a（a为常数）的形式.答:问题中的它是14.解方程中“合并”起了什么作用？

解方程中的“合并”是利用分配律将含有未知数的项和常数项分别合并为一项．它使方程变得简单，更接近x=a的形式.

解：设计划生产Ⅰ型电视机x台，则计划生产Ⅱ型电视机15x台,计划生产Ⅲ型电视机20x台，列方程

某电视机厂今年计划生产电视机21600台，其中Ⅰ型，Ⅱ型，Ⅲ型三种电视机的数量之比为1:15:20，这三种电视机计划各生产多少台?x＋15x＋20x＝21600练一练

答：Ⅰ型电视机计划生产600台,Ⅱ型电视机计划生产9000台,Ⅲ型电视机计划生产12000台．合并同类项，得36x＝21600系数化成1，得x＝600所以计划生产Ⅱ型电视机600×15＝9000（台）,计划生产Ⅲ型电视机600×20＝12000（台）.

解：合并同类项，得

2x＝－10

系数化为1，得

x＝－5.例1：解方程（1）5x－3x＝－10

解：合并同类项，得

2x＝7系数化为1，得解：合并同类项，得

4x＝－9

系数化为1，得（3）6x－－＝－9（4）3x＋5x－6x＝－3×4＋20解：合并同类项，得

2x＝8.

系数化为1,得

x＝4.（1）－2x－＝－10;（2）3x－4x＝－15＋10;（4）－4x＋5x－3x＝3.5×3－6x＝4x＝5练一练解下列方程

1．简单方程解法步骤

移项；合并同类项；系数化为1．归纳

问题2：有一批学生去游玩，若每辆车坐43人，则还有35人没座；若每辆车坐45人，则还有15人没座，求有多少辆车，多少学生？

解：设有x辆车.

每辆车坐43人，共有43x人，加上没座的35人，共有学生43x＋35.

若每辆车坐45人，共有45x人，加上没座的15人，共有学生45x＋15.

找相等关系：学生的总人数是一个定值，表示它的两个式子应相等，所以列方程

43x＋35＝45x＋15怎样解方程?43x＋35＝45x＋1543x－45x＝15－3543x＋35－35－45x＝45x＋15－35－45x等式性质1

把等式一边的某一项变号后移到另一边.你发现了什么？移项合并同类项系数化成1X=15－2x＝－3043x－45x＝15－3543x＋35＝45x＋15答：有10辆车，660个学生.所以学生总人数为：43×15＋35＝660（人）.移项

把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．知识要点

通过移项，含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于x=a的形式．

以上解方程中“移项”起了什么作用？

下面的移项对不对？如果不对，请改正？（1）从5＋2ｘ＝10，得2ｘ＝10＋5（2）从3ｘ＝2ｘ－5，得3ｘ＋2ｘ＝5（3）从－2x＋5＝1－3ｘ，得－2x＋3x＝1＋52x＝10－53x－2x＝－5－2x＋3x＝1－5练一练下列移项正确的是（）A．由2＋x＝8，得到x＝8＋2

B．由5x＝－8＋x，得到5x＋x＝

－8C．由4x＝2x＋1，得到4x－2x＝1D．由5x－3＝0，得到5x＝－3C练一练例2：解下列方程.解：移项，得6x－3x＝8＋7合并同类项，得3x＝15.系数化为1,得x＝5.6x－7＝3x＋86x－3x＝8＋7移项时应注意改变项的符号解：移项，得合并同类项，得系数化成1，得解下列方程.（1）10x－4＝6（2）5x－7＝3x－5x＝1x＝1练一练解方程的步骤及依据：

1．移项（等式的性质1）合并（分配律）系数化为1（等式的性质2）2．“对消”与“还原”就是“合并”与“移项”

3．表示同一量的两个不同式子相等．归纳

现在你能回答前面提到的古老的代数书中的“对消”与“还原”是什么意思吗？“对消”与“还原”就是“合并”与“移项”.

下面方程的解法对吗？如果不对，应怎样改正？解：移项，得合并同类项，得系数化为1，得

1．移项时，通常把含有未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边；

2．移项要改变符号.注意

例3：有一列数,按一定的规律成－1，2，－4，8，－16，32，－64，···，其中某三个相邻数的和为1536，这三个数各是多少?解：设这三个相邻数中的第1个数为x，那么第2个数就是－2x，第3个数就是－2×（－2x）＝4x.根据这三个数的和是1536，得

x－2x＋4x＝1536.合并同类项，得

3x＝1536.系数化为1，得

x=512.所以－2x=－1024,4x＝2048.答：这三个数是512、－1024、2048.

1．有一列数，按一定规律排列成1，－5，25，－125···若其中某三个相邻数的和是13125，这三个数各是多少？练一练解：设这三个相邻数中的第1个数为x，那么第2个数就是－5x，第3个数就是－5×（－5x）＝25x.根据这三个数的和是13125，得

x－5x＋25x＝13125.合并同类项，得

19x＝13125.系数化为1，得

x=625.所以－5x=－3125,25x＝15625.答：这三个数是625、－3125

、15625.

2．三个连续的奇数的和是27，求这三个奇数．

解：设这三个相奇数中的第2个数为x，那么第1个数就是x－2，第3个数就是x＋2.根据这三个数的和是27，得（x－2）＋x＋x＋2＝27解，得x＝9所以第第1个数就是x－2＝9－2＝7；第3个数就是x＋2＝9＋2＝11.答：这3个奇数是7，9，11.解：设这三个相奇数中的第2个数为x，那么第1个数就是x－2，第3个数就是x＋2.根据这三个数的和是29，得（x－2）＋x＋x＋2＝29解，得x＝因为不是奇数，所以不存在这样的三个奇数.

3．如果三个连续奇数的和是29，你能求出这三个奇数吗？答：这个班有56个学生.通过移项，含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于x=a的形式．解：设这三个相奇数中的第2个数为x，业务B是无基本月租费，每通话一分钟付话费元，若一个月内通话x分钟。解：设这三个相奇数中的第2个数为x，解：设这三个相邻数中的第1个数为x，2x＋x＝4－1找相等关系：学生的总人数是一个定值，表示它的两个式子应相等，所以列方程解：设这三个相奇数中的第2个数为x，（3）若某人一个月通话300分钟，选择哪一种业务合算些？把等式一边的某一项变号后移到另一边.通过移项，含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于x=a的形式．第3个数就是x＋2.2x＝8.（x－2）＋x＋x＋2＝27B．由5x＝－8＋x，得到5x＋x＝－84．在某月内，李老师要参加三天的学习培训，现在知道这三天的日期的数字之和是39.（1）培训时间是连续的三天，你知道这几天分别是当月的哪几号吗？（2）若培训时间是连续三周的周六，那这几天又分是当月的哪几号？（1）12、13、14（2）6、13、201．通过引导发现，培养独立思考问题的能力；（4）3x＋5x－6x＝－3×4＋20问题1：在一卷公元前1600年左右遗留下来的古埃及草卷中,记载者一些数学问题,其中一个问题翻译过来是：“啊哈,它的全部,它的其和等于16”.43x－45x＝15－35（4）3x＋5x－6x＝－3×4＋20答：这3个奇数是7，9，11.用一元一次方程分析并解决实际问题的基本过程：（1）用式子表示两种方式的费用各是多少？再过五年，他有了儿子，感到很幸福；如果两种移动电话计费方式收费一样，移项，得根据这三个数的和是29，得1．由实际问题引入，进一步熟悉列方程解应用题的分析步骤；根据以上信息，你知道丢番图活了多少岁吗？（A）计时制：元/时；观察下列一组数：3，-6,12，-24,48，-96，。。。，其中某三个相邻的数的和是576，这三个数各式多少？192，-348,768有一列数按下列规律排列为：1，-3,5，-7,9。。。如果其中是哪个相邻数之和为-201，求这三个数。-199，201，-203某地上网有两种方式，用户可以任选其一（A）计时制：元/时；（B）包月制：60元/月此外，每种上网方式都加收通信费元/时（1）某用户上网20小时，选用哪种上网方式比较合算？（2）某用户有120元用于上网（一个月），选用哪种上网方式比较合算？（3）请你为用户设计一个方案，使用户合理地选择上网方式？某通信公司开展两种业务：业务A基本月租费50元，每通话一分钟付话费元；业务B是无基本月租费，每通话一分钟付话费元，若一个月内通话x分钟。（1）用式子表示两种方式的费用各是多少？（2）对于某个通话时间，会出现两种方式的费用一样多嘛？（3）若某人一个月通话300分钟，选择哪一种业务合算些？某校七年级五班班主任带领学生去杭州旅游，甲旅行社说：“假如班主任买全票，则其余学生可享受半价优惠”；乙旅行社说：“包括班主任在内全部按全票价的6折优惠”，若全票价为每张240元（1）问学生多少人时，甲、乙两家旅行社收费一样多？（2）就学生数讨论选哪一个旅行社更合算？

例4：根据下面的两种移动电话计费方式表，考虑下列问题．

（1）一个月本地通话时间150分和300分，计算按两种移动电话计费方式各需要交费多少元？（2）会出现两种移动电话计费方式收费一样吗？方式一方式二月租费50元/月10元/月本地通话费0.30元/分0.5元/分解：（1）方式一方式二150分95分85元300分140元160元

（2）设累计通话t分,则按方式一要收费（）元，按方式二要收费（10＋）.如果两种移动电话计费方式收费一样，则＝10＋

移项，得0.3t-0.4t=10－50

合并同类项，得－0.1t=－40.系数化为1，得t=400.由上可知，如果一个月内通话400分，那么两种计费方式的收费一样.

（1）8人分别乘两辆小汽车赶往火车站，其中一辆小汽车在距离火车站15千米的地方出了故障，此时离火车停止检票时间还有42分，这时唯一可以利用的交通工具只有一辆小汽车，连司机在内限乘5人，这辆小汽车的平均速度为60千米/时，这8人能赶上火车吗？（设走行速度为5千米/时）.练一练第一种情况：小汽车分二批送这8人，若第二批人在原地不动，那么小汽车来回要走15×3＝45千米，所需时间为＝45分>42分，因此，单靠汽车来回接送无法使8人都赶上火车.第二种情况：若在汽车送第一批人的同时，其他人先步行，可以节省时间，汽车送完第一批人后，用了x解：此题可分类讨论：小时与第二批人相遇，再用x小时送到火车站，则列方程得，解得：所用时间为：时，

因为40.4<42，因此，这时8人能赶上火车.第三种情况：这辆汽车行驶到途中一定位置时放下第一批人，然后掉头再接另一批人，使得两批人同时到达火车站，那么这时所用时间更少.

（2）一位老商人在临死前，把他的儿子叫到床前，他要把他一生积蓄的金币分给儿子们，让大儿子拿出一枚金币后，再把盘里的分给他；然后让二儿子拿二枚金币后，再分盘里的给他；让三儿子拿三枚金币后，再分盘里的给他···照这样分法分下去，让最后一个儿子拿完金币后，金币恰好分完，而且每个儿子得到的金币数相等，请你算一算，老商人一生攒了多少枚金币？他共有几个儿子？

分析：设老商人共积攒x枚金币，大儿子拿出一枚后，盘里还剩（x－1）枚，大儿子又拿了盘中的，因此大儿子共得金币枚.此时盘中剩枚，被二儿子拿走二枚后，盘中还剩枚．二儿子又分得此时盘中的，因此二儿子共得到金币枚．根据所有儿子得到的金币都相等，可列出方程.解：设老商人一生积攒了x枚金币，列方程去括号，得移项，得合并同类项，得系数化为1,得x＝36.即老商人共有36枚金币，大儿子分得

因为所有儿子分得的金币数都相等，因此老商人有答：老商人一生积攒了36枚金币，他共有6个儿子.用一元一次方程分析并解决实际问题的基本过程：实际问题数学问题（一元一次方程）实际问题的答案数学问题的解

（x=a）检验列方程解方程归纳

1．简单方程解法步骤

移项；合并同类项；系数化为1．课堂小结2．用一元一次方程分析并解决实际问题的基本过程：实际问题数学问题（一元一次方程）实际问题的答案数学问题的解

（x=a）检验列方程解方程1．若方程x＋9＝8的解也是方程ax＋3＝7解,则a＝_________.