一元函数微分学总结

二、典型例题分析与解答第二、三章机动目录上页下页返回结束一元函数微分学总结一、知识点与考点2021/5/91机动目录上页下页返回结束一、知识点与考点(一)导数与微分①若令②③1.导数定义:则2.左右导数:左导数:右导数:2021/5/92机动目录上页下页返回结束导函数简称导数,且有函数y=f(x)在点4.导数的几何意义:处的导数表示曲线y=f(x)在点处的切线斜率.即有曲线的切线方程为3.导函数的定义:曲线的法线方程为2021/5/93

是

x→0时比

x高阶的无穷小量,并称Ax为f(x)在其中A是与

x无关的量,若函数的增量可表示为

y=Ax+

,则称y=f(x)在点x处可微

,机动目录上页下页返回结束记为dy,即dy=Ax.5.微分的定义:由于

x=dx,所以6.微分的几何意义:点x处的微分,当

y是曲线y=f(x)上点的纵坐标的增量时,dy表示曲线的切线纵坐标的增量.2021/5/947.基本定理定理1(导数存在的判定定理)定理2(函数可导与连续的关系)机动目录上页下页返回结束可导函数必连续,但连续函数未必可导.可导定理4.(函数与其反函数的导数的关系)可微反函数的导数等于直接函数导数的倒数.定理3.(函数一阶可导与可微的关系)2021/5/95机动目录上页下页返回结束(5)(6)(7)设

及(4)

均为可导函数,则复合函数

可导,

且或

(微分形式不变性)8.运算法则(1)(3)(2)2021/5/969.基本初等函数的导数与微分公式(3)(1)(2)(4)(8)机动目录上页下页返回结束(5)(6)(7)(9)2021/5/97机动目录上页下页返回结束(10)(11)(14)(15)(12)(13)(16)(17)2021/5/9810.高阶导数2021/5/99例1.

设求使存在的最高分析:但是不存在.2又2021/5/910机动目录上页下页返回结束11.方程确定的隐函数的导数例2.设函数y=y(x)由方程确定,求解法1:方程两边对x求导数得:解得方程两边微分得:解法2:解得:2021/5/911

12.参数方程确定的函数的导数例3.设求机动目录上页下页返回结束解:13.对数求导法:求“幂指函数”及多个因子相乘除函数的导数时用对数求导法.2021/5/912解法1:取对数机动目录上页下页返回结束等式两边对x求导数:则有:例4.设解法2:作指数对数恒等变形:2021/5/913机动目录上页下页返回结束例5.设则有解取对数等式两边对x求导数:2021/5/914(二)中值定理机动目录上页下页返回结束1.罗尔定理(1)在闭区间[a,b]上连续;(3)且f(a)=f(b);成立.(2)在开区间(a,b)内可导;若函数f(x)

满足条件:则在开区间(a,b)内至少存在一点

使2.拉格朗日中值定理若函数f(x)

满足条件:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;则在开区间(a,b)内至少存在一点

使等式2021/5/9153.柯西中值定理机动目录上页下页返回结束成立.若函数f(x),F(x)满足条件:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导且则在开区间(a,b)内至少存在一点

使等式(三)导数的应用定理1设函数f(x)在(a,b)内可导,1.函数的单调性若对都有则称f(x)在(a,b)内单调增(减).2021/5/9162.函数的极值设函数f(x)在内有定义,x为该邻域内异于机动目录上页下页返回结束的任意一点,若恒有(或则称为f(x)在该邻域的极大(小)值.极大值与极小值统称为函数的极值,方程使函数取得极值的点称为极值点.定理2.(函数取得极值的必要条件)的根称为函数f(x)的驻点.则有设函数f(x)在点处可导,(可导函数的极值点必为驻点)且在该点处取得极值,2021/5/917定理3.机动目录上页下页返回结束(函数取得极值的第一充分条件)设函数f(x)在内可导,(或f(x)在点处连续但不可导).(1)若当x由左至右经过时由“+”变“–”,则为函数的极大值.(2)若当x由左至右经过时由“-”变“+”,(3)若当x由左至右经过为函数的极小值.则则不变号,不是时函数的极值.2021/5/918定理4机动目录上页下页返回结束(函数取得极值的第二充分条件)设函数f(x)在处(1)若则为函数f(x)的极大值.(2)若则为函数f(x)的极小值.3.函数的最值求连续函数

f(x)在[a,b]上的最值的步骤:(1).求f(x)在(a,b)内的驻点及导数不存在的点;(2).求出这些点的函数值及区间端点的函数值;(3).比较上述函数值,其中最大者为最大值,最小者为最大值.2021/5/919机动目录上页下页返回结束恒有(弧在弦的下方)(或则称曲线f(x)在(a,b)内为凹(凸)弧.曲线上凹弧与凸弧的分界点4.函数曲线的凹凸性和拐点设函数f(x)在(a,b)内连续,若对于(a,b)内任意两点(弧在弦的上方))称为曲线的拐点.2021/5/920定理1.(曲线凹凸性的判定定理)若在(a,b)上机动目录上页下页返回结束则曲线y=f(x)在当x自左至右经过定理2.(曲线拐点的判定定理)若在处时变号,则是曲线y=f(x)的拐点.(a,b)上为凹(凸)弧.2021/5/921二﹑典型例题分析与解答应填−1.已知则机动目录上页下页返回结束解:注释:本题考查导数的定义.例6.2021/5/922设例7.在处可导,求解:

在处连续且可导,即由由再代入(1)得2021/5/923例8.设f(x)可导,则是F(x)在x=0可导的().(A)充分必要条件;机动目录上页下页返回结束(B)充分条件但非必要条件;(C)必要条件但非充分条件;解:直接计算解此题.由于A(D)既非充分条件又非必要条件.而f(x)可导,所以F(x)的可导性与的可导性相同.2021/5/924故选项(A)正确.

(x)在x=0处可导的充分必要条件是机动目录上页下页返回结束注释:即f(0)=0.本题考查函数在一点处可导的充要条件.令由导数的定义知解题过程中化简题目的解题技巧应注意掌握.2021/5/925例9曲线在点(0,1)处的切线方程是___________.曲线在点(0,1)的切线方程为解:机动目录上页下页返回结束注释:①

两边对x求导得:即为将x=0,y=1

代入①式得:本题考查隐函数求导数及导数的几何意义.2021/5/926例10设函数由方程确定,求解由由原方程得代入(1)得再将代入(2)得注释本题考查求隐函数在一点处的一阶、二阶导数.注意求导数时,不必写出导函数.机动目录上页下页返回结束2021/5/927例11

证明方程在(0,1)内至少有一实根[分析]如令则的符号不易判别不便使用介值定理用Rolle定理来证证令则且故由Rolle定理知即在(0,1)内有一实根2021/5/928例12.处().设y=f(x)是方程则函数f(x)在点且机动目录上页下页返回结束(C)某邻域内单调增加;(B)取得极小值;的一个解,(A)取得极大值;解:(D)某邻域内单调减少.由于y=f(x)是方程的一个解,所以有即有将代入上式得所以函数f(x)在点处取得极大值.A选项(A)正确.2021/5/929机动目录上页下页返回结束例13.且设f(x)有二阶连续导数,则().(A)f(0)是f(x)的极大值;(B)f(0)是f(x)的极小值;(C)(0,f(0))是曲线y=

f(x)的拐点;(D)f(0)不是f(x)的极值点,(0,f(0))也不是曲线y=

f(x)的拐点.解:由于由极限的保号性知存在x=0的某去心邻域,在此邻域内有即有B2021/5/930即有机动目录上页下页返回结束由于当x<0时,

函数f(x)单调减.当x>0时,

由极值的第一充分条件知

f(x)在x=0处取得极小值.即有

又由极限的保号性有注释:本题考查极限的保号性和极值的判定法则.函数f(x)单调增.故选项(B)正确.2021/5/931例14.由于x=1

是

(x)在(0,+∞)机动目录上页下页返回结束则

(x)在x=1处取得极小值.又

(1)=0,即则当x>0时,则

(x)在x=1处取得区间(0,+∞)试证:当x>0时,证:

令易知

(1)=0.内的唯一的极小值点,上的最小值.证毕.2021/5/932例15.求机动目录上页下页返回