新高考数学二轮复习重点突破训练第27讲 高考题中的填空题解法（含解析）

第27讲高考题中的填空题解法双空题—eq\a\vs4\al(扩考查宽度，增得分“容易度”)新高考在填空题中引入一题双空题，其考查初衷一是增加试题考查的覆盖面，从一定程度上防猜题押题；二是两个空的总分值仍是5分，考生答对其中一空得部分分数的概率明显提高，这有利于提高一般考生的得分，也有利于区分选拔高水平考生．一、双空填空题常见的两种类型类型(一)并列型并列型双空填空题，即各空所填的内容是题干的并列结论，相互之间没有必然的逻辑关系．1．(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________.解析：先求当x>0时，曲线y＝lnx过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，则由y′＝eq\f(1,x)，得切线斜率为eq\f(1,x0)，又切线的斜率为eq\f(y0,x0)，所以eq\f(1,x0)＝eq\f(y0,x0)，解得y0＝1，代入y＝lnx，得x0＝e，所以切线斜率为eq\f(1,e)，切线方程为y＝eq\f(1,e)x.同理可求得当x<0时的切线方程为y＝－eq\f(1,e)x.综上可知，两条切线方程为y＝eq\f(1,e)x，y＝－eq\f(1,e)x.答案：y＝eq\f(1,e)xy＝－eq\f(1,e)x2．(2019·北京高考)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)．若f(x)为奇函数，则a＝________；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是________．解析：∵f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)的定义域为R，∴f(0)＝e0＋ae－0＝1＋a＝0，∴a＝－1.∵f(x)＝ex＋ae－x，∴f′(x)＝ex－ae－x＝ex－eq\f(a,ex).∵f(x)是R上的增函数，∴f′(x)≥0在R上恒成立，即ex≥eq\f(a,ex)在R上恒成立，∴a≤e2x在R上恒成立．又e2x>0，∴a≤0，即a的取值范围是(－∞，0]．答案：－1(－∞，0]3．四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，则四面体ABCD的体积为________，球O的表面积为________．解析：因为AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，所以四面体ABCD的体积为V＝eq\f(1,3)×1×eq\f(1,2)×2×3＝1.易知四面体ABCD为“墙角四面体”，球O的表面积为4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(12＋22＋32),2)))2＝14π.答案：114π[题型技法]此种类型双空题的特点是：两空的设问相当于一个题目背景下的两道小填空题，两问之间没什么具体联系，各自成题，是对于多个知识点或某知识点的多个角度的考查；两问之间互不干扰，不会其中一问，照样可以答出另一问．所采取的解题策略是缺“问”解答或跳“问”解答，考场上切勿心浮气躁、全盘放弃．类型(二)相关型相关型双空填空题，即两空所填内容之间存在逻辑关系，一空填错会影响另一空的对错．1．(2022·北京高考)若函数f(x)＝Asinx－eq\r(3)cosx的一个零点为eq\f(π,3)，则A＝________；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝________.解析：依题意得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝A×eq\f(\r(3),2)－eq\r(3)×eq\f(1,2)＝0，解得A＝1，所以f(x)＝sinx－eq\r(3)cosx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－\f(π,3)))＝－eq\r(2).答案：1－eq\r(2)2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F且被抛物线截得的弦长为2的直线有且仅有两条，写出一个满足条件的抛物线的方程________，此时该弦中点到y轴的距离为________．解析：抛物线y2＝2px(p>0)过焦点的弦中最短的是通径，其长为2p，因为过焦点F且被抛物线截得的弦长为2的直线有且仅有两条，所以2p<2，不妨取2p＝1，则满足条件的抛物线的方程为y2＝x，此抛物线的准线方程为x＝－eq\f(1,4)，所以由抛物线的定义可知，该弦的中点到准线的距离d＝eq\f(2,2)＝1，所以该弦的中点到y轴的距离为1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).答案：y2＝xeq\f(3,4)3．(2022·浙江高考)若3sinα－sinβ＝eq\r(10)，α＋β＝eq\f(π,2)，则sinα＝________，cos2β＝________.解析：因为α＋β＝eq\f(π,2)，所以β＝eq\f(π,2)－α，所以3sinα－sinβ＝3sinα－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝3sinα－cosα＝eq\r(10)sin(α－φ)＝eq\r(10)，其中sinφ＝eq\f(\r(10),10)，cosφ＝eq\f(3\r(10),10).所以α－φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，所以α＝eq\f(π,2)＋φ＋2kπ，k∈Z，所以sinα＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ＋2kπ))＝cosφ＝eq\f(3\r(10),10)，k∈Z.因为sinβ＝3sinα－eq\r(10)＝－eq\f(\r(10),10)，所以cos2β＝1－2sin2β＝1－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5).答案：eq\f(3\r(10),10)eq\f(4,5)[题型技法]此种类型双空题的特点是：两空之间有着一定联系，一般是第二空需要借助第一空的结果再进行作答，第一空往往是整个题的切入点也是难点，只要第一空会做并且做对，第二空便可顺势解答．二、解答填空题常用的四种方法方法(一)直接法直接从题目的条件出发，利用概念、定理、公式、法则等数学基础知识得出答案，然后按照要求将最后结果填入空位处．填空题的直接法更像做解答题，但由于填空题不需要过程，因而可以跳过一些步骤，大跨度前进．为了节省时间还可手写与心算相结合，力求快速，避免“小题大做”．[例1](1)(2021·新高考Ⅰ卷)函数f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值为________．(2)(2021·浙江高考)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2eq\r(3)，则AC＝________，cos∠MAC＝________.[技法展示](1)当x＞eq\f(1,2)时，f(x)＝2x－1－2lnx，f′(x)＝2－eq\f(2,x)＝eq\f(2x－2,x).令f′(x)＞0，得x＞1，令f′(x)＜0，得eq\f(1,2)＜x＜1，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝1.当0＜x≤eq\f(1,2)时，f(x)＝1－2x－2lnx，f′(x)＝－2－eq\f(2,x)＝eq\f(－2x－2,x)＜0，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上单调递减，所以f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－2lneq\f(1,2)＝2ln2＞1.所以f(x)的最小值为1.(2)在△ABM中，由余弦定理，得AM2＝AB2＋BM2－2BM·ABcosB，即(2eq\r(3))2＝22＋BM2－2BM·2cos60°，则BM2－2BM－8＝0，解得BM＝4(负值已舍去)．又点M是BC的中点，所以BC＝2BM＝8.在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝22＋82－2×2×8×cos60°＝52，所以AC＝2eq\r(13)(负值已舍去)．在△AMC中，MC＝BM＝4，由余弦定理，得cos∠MAC＝eq\f(AC2＋AM2－MC2,2AC·AM)＝eq\f(52＋12－16,2×2\r(13)×2\r(3))＝eq\f(48,8\r(39))＝eq\f(2\r(39),13).[答案](1)1(2)2eq\r(13)eq\f(2\r(39),13)方法(二)特例法当填空题暗示答案是一个“定值”或具“定性”特征时，我们可以取特殊数值、特殊图形、特殊位置或特殊结构来确定这个“定值”“定性”，以节省推理论证的过程．我们把这些解填空题的方法统称为特例法．对于解答题，特例常常只是提供论证的方向，而对填空题来说，往往不需要过程，就成为答案了．当题目的条件是从一般性的角度给出时，特例法尤为有效．[例2]设(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a4＝________；a1＋a3＋a5＝________.[技法展示]这是“计算型双空填空题”，由二项式定理系数公式得a4＝Ceq\o\al(4,5)24＝80.第二个空可以分别计算a1＝10，a3＝80，a5＝32，相加得a1＋a3＋a5＝122.也可以令x＝±1(特例法)，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(35＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，,－15＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，))两式相减，得a1＋a3＋a5＝eq\f(1,2)(35＋1)＝122.可见，两个空之间没有必然的逻辑联系，是并列关系．[答案]80122方法(三)图解法由于填空题不用写出论证过程，因而画出辅助图示进行直观分析便可填上最后答案．数学上的数轴、韦恩图、函数的图象、方程的曲线、三角函数、复数、向量等，本身就具有数形结合的特征．使用图解法特别要用好坐标系，要善于进行几何结构的分析，还要学会构造图形．[例3](1)(2021·北京高考)已知f(x)＝|lgx|－kx－2，给出下列四个结论：①若k＝0，则f(x)有两个零点；②∃k＜0，使得f(x)有一个零点；③∃k＜0，使得f(x)有三个零点；④∃k＞0，使得f(x)有三个零点．以上正确结论的序号是__________．(2)设直线l：y＝kx＋b(k＞0)，圆C1：x2＋y2＝1，C2：(x－4)2＋y2＝1，若直线l与C1，C2都相切，则k＝______；b＝________.[技法展示](1)零点个数问题，转化成两个函数图象的交点个数来分析．令f(x)＝|lgx|－kx－2＝0，可转化成两个函数y1＝|lgx|，y2＝kx＋2的图象的交点个数问题．对于①，当k＝0时，y1＝|lgx|，y2＝2，如图1所示，两图象有两个交点，①正确；对于②，如图2所示，存在k＜0，使得y1＝|lgx|与y2＝kx＋2相切，故②正确；对于③，如图2所示，若k＜0，y1＝|lgx|与y2＝kx＋2的图象最多有两个交点，故③错误；对于④，当k＞0时，过点(0,2)存在函数g(x)＝lgx(x＞1)图象的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切的斜率时，就会有3个交点，如图3所示，故④正确．(2)法一：直接法由直线l与两圆都相切知，两圆心(0,0)，(4,0)到直线l：y＝kx＋b的距离都等于1，由点到直线的距离公式，有eq\f(|b|,\r(1＋k2))＝eq\f(|4k＋b|,\r(1＋k2))＝1(k＞0)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|b|＝|4k＋b|，,|b|＝\r(1＋k2)，))k>0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2k＋b＝0，,b2＝1＋k2，))k>0.解得k＝eq\f(\r(3),3)，b＝－eq\f(2\r(3),3).两个几何参数k，b表面上是并列的，实际上存在内在联系，一个算错影响另一个的计算．法二：图解法依题意可作图如图，由直线l与两圆相切知，直线经过两圆连心线的中点A(2,0)，|OA|＝2.又单位圆的半径|OB|＝1，故在Rt△ABO中，∠OAB＝30°，从而在Rt△AOC中，|OC|＝eq\f(|OA|,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3)，tan∠DAx＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).解得k＝eq\f(\r(3),3)，b＝－eq\f(2\r(3),3).[答案](1)①②④(2)eq\f(\r(3),3)－eq\f(2\r(3),3)方法(四)猜想法猜想是根据部分理由而得出结论的合情推理，一个完整的数学解题过程常常要经历“先猜后证”的两个阶段，猜想也是一种能力．解填空题除了要重点掌握好直接法、特例法、图解法外，也可辅以猜想法．新高考出现了开放性填空题，意味着考生在掌握基础知识的前提下，能先猜后证．[例4](1)(2021·新高考Ⅱ卷)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)：__________________.①f(x1x2)＝f(x1)f(x2)；②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0；③f′(x)是奇函数．(2)写出一个满足a1a2＝2a3的等比数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通项公式an＝________.[技法展示](1)由②知f(x)在(0，＋∞)上单调递增；由③知f(x)是偶函数，又f(x)满足①，则f(x)＝x2或f(x)＝x4等都可以．(2)设等比数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的公比为q，由a1a2＝2a3可得aeq\o\al(2,1)q＝2a1q2，即a1＝2q，所以an＝a1qn－1＝2qn.取q＝3，则an＝2×3n符合题意．[答案](1)f(x)＝x2(x∈R)(答案不唯一)(2)2×3n(答案不唯一)[题型技法]答案不唯一的填空题可以大致分为两种：(1)举例子；(2)求题目中参数满足的关系式，并取其中一个特殊参数作为答案．对于第(1)种，要求学生掌握基础知识，联想题目中的条件可以对应自己学过的哪些内容；对于第(2)种，需要把题目条件转化得到关系式，取满足条件的其中一个结果即可．针对训练一、填空题1．已知数列SKIPIF1<0的通项SKIPIF1<0，则其前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0_________．【答案】SKIPIF1<0【分析】判断出数列SKIPIF1<0为等差数列，利用等差数列的求和公式可求得SKIPIF1<0.【详解】对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，数列SKIPIF1<0为等差数列，且其首项为SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.2．SKIPIF1<0的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n的值是___________．【答案】8【分析】根据二项式展开式的通项公式可得第5项为SKIPIF1<0，结合题意即可求解.【详解】由题意知，SKIPIF1<0展开式的通项公式为SKIPIF1<0，所以第5项为SKIPIF1<0，由第5项为常数项，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：8.3．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为_________．【答案】SKIPIF1<0【分析】由简单随机抽样的定义，每个个体被抽到的概率是一样的，结合容量，即可求得概率.【详解】由题意得，每个个体被抽到的概率为SKIPIF1<0，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0二、双空题4．已知A，B，C三点在球心为O，半径为R的球面上，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，那么A，B两点的球面距离为___________，球心到平面SKIPIF1<0的距离为___________.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】由题意画图，三角形ABC截面圆心在AB中点，求出SKIPIF1<0，然后求出SKIPIF1<0两点的球面距离；球心到平面ABC的距离就是SKIPIF1<0.【详解】解：如图所示：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是截面的直径，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等边三角形所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0两点的球面距离为SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0,所以球心到平面SKIPIF1<0的距离：SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<05．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为________，SKIPIF1<0的值为_____．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】（1）用正切的二倍角公式求；（2）由（1）的结果有SKIPIF1<0的值，再用两角和的正切公式计算【详解】（1）SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<06．从0，1，2，3这四个数中选三个不同的数作为函数SKIPIF1<0的系数，可组成不同的一次函数共有____________个，不同的二次函数共有____________个．（用数字作答）【答案】

SKIPIF1<0；

SKIPIF1<0.【分析】根据一次函数和二次函数的定义，结合乘法计数原理进行求解即可.【详解】因为只有当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0才是一次函数，所以可组成不同的一次函数共有SKIPIF1<0；因为只有当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0才是二次函数，所以可组成不同的二次函数共有SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<07．椭圆SKIPIF1<0的离心率是____________，准线方程是____________．【答案】

SKIPIF1<0##0.8

SKIPIF1<0【分析】根据椭圆的方程求出SKIPIF1<0，直接求解即可.【详解】由SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故离心率SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.8．已知n次式项式SKIPIF1<0．如果在一种算法中，计算SKIPIF1<0的值需要SKIPIF1<0次乘法，计算SKIPIF1<0的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算SKIPIF1<0的值共需要______次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：SKIPIF1<0．利用该算法，计算SKIPIF1<0的值共需要6次运算．计算SKIPIF1<0的值共需要_______次运算．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】分别计算乘法运算次数和加法运算次数得到常规算法计算SKIPIF1<0的值共需要SKIPIF1<0次运算，用秦九韶算法需要SKIPIF1<0次，代入数据计算得到答案.【详解】在利用常规算法计算多项式SKIPIF1<0的值时，算SKIPIF1<0项需要SKIPIF1<0次乘法，则在计算时共需要乘法SKIPIF1<0次，需要加法：SKIPIF1<0次，则计算SKIPIF1<0的值共需要SKIPIF1<0次运算，故计算SKIPIF1<0的值共需要65次运算；在使用秦九韶算法计算多项式SKIPIF1<0的值时，共需要乘法：SKIPIF1<0次，需要加法：SKIPIF1<0次，则计算SKIPIF1<0的值共需要SKIPIF1<0次运算.故计算SKIPIF1<0的值至多需要20次运算.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<09．已知函数SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的定义域是___________；（2）若SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是减函数，则实数a的取值范围是___________．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】（1）利用具体函数定义域求法即可得到SKIPIF1<0的定义域；（2）分类讨论SKIPIF1<0与SKIPIF1<0两种情况，结合SKIPIF1<0的取值范围与单调性即可得解.【详解】（1）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0；（2）当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，要使SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是减函数，需要SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数，同时SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数显然成立，此时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，要使SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是减函数，需要SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数，同时SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0显然成立；综上：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.10．将杨辉三角中的每一个数SKIPIF1<0都换成分数SKIPIF1<0，就得到一个如下图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0_____________，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_____________．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【分析】从莱布尼茨三角形可看出，下一行的两个分数之和等于肩上的上一行的那个分数，进而得SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0求和得SKIPIF1<0，再求解极限即可.【详解】解：从莱布尼茨三角形可看出，下一行的两个分数之和等于肩上的上一行的那个分数，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0……SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.11．设函数SKIPIF1<0的图象与直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0轴所围成图形的面积称为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的面积，已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的面积为SKIPIF1<0．（1）SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的面积为______；（2）SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的面积为______．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】（1）函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0类比，可以得出函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的面积，得出函数SKIPIF1<0