新高考数学二轮复习重点突破训练第17讲 数列的通项、求和及数列不等式的证明（含解析）

第17讲数列的通项、求和及数列不等式的证明真题展示2022新高考一卷第17题记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列．（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）证明：SKIPIF1<0．【思路分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．【解析】（1）解：【解法一】(隔项累乘法)：已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，①，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，②，①SKIPIF1<0②得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，化简得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0（首项符合通项）．所以SKIPIF1<0．【解法二】(王安寓补解)(相邻累乘)：仿法一得SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0=QUOTEa1∙a2a1∙a3a2∙…∙anan-11×SKIPIF1<0QUOTE2×31×2=SKIPIF1<0显然n=1时SKIPIF1<0=1适合上式，故SKIPIF1<0=QUOTEn(n+1)2SKIPIF1<0.【解法三】(王安寓补解)(构造常数列)：仿法一得(n−1)SKIPIF1<0=(n+1)SKIPIF1<0,即n(n−1)SKIPIF1<0=(n+1)nSKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故{SKIPIF1<0}是常数列，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0=QUOTEn(n+1)2SKIPIF1<0.（2）证明：由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．【试题评价】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．试题亮点试题以考生熟悉的等差数列为载体而设计，但不是通常的给定等差数列求通项、求和等常规操作，而是将等差数列的性质融合在前n项和与通项的关系之中，特别是第（2）问中的数列的求和运算涉及裂项相消．试题源于教材、其创新思想又高于教材，充分体现高考的选拔功能.试题对高中数学教学具有指导作用，要求考生在强化基本功的同时，加强对知识的灵活运用，形成学科素养.知识要点整理数列求和问题数列求和是数列问题中的基本题型，是数列部分的重点内容，在高考中也占据重要地位，它具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点．数列求和的方法主要有公式法、分组转化法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、并项求和法等．一、公式法求和例1求数列1,3＋5,7＋9＋11,13＋15＋17＋19，…的前n项和．解所求数列的前n项中共有1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)个连续的奇数，这些奇数组成等差数列，首项为1，公差为2，故该数列的前n项和Sn＝eq\f(nn＋1,2)×1＋eq\f(1,2)×eq\f(nn＋1,2)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)－1))×2＝eq\f(nn＋1,2)＋eq\f(nn＋1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)－1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))2＝eq\f(n2n＋12,4).反思感悟公式法求和中的常用公式有(1)等差、等比数列的前n项和①等差数列：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d(d为公差)或Sn＝eq\f(na1＋an,2).②等比数列：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，))其中q为公比．(2)四类特殊数列的前n项和①1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(1,2)n(n＋1)．②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.③12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)．④13＋23＋33＋…＋n3＝eq\f(1,4)n2(n＋1)2.二、分组转化法求和例2求和：Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))2＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xn＋\f(1,xn)))2(x≠0)．解当x≠±1时，Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))2＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xn＋\f(1,xn)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋2＋\f(1,x2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x4＋2＋\f(1,x4)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2n＋2＋\f(1,x2n)))＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)＋\f(1,x4)＋…＋\f(1,x2n)))＝eq\f(x2x2n－1,x2－1)＋eq\f(x－21－x－2n,1－x－2)＋2n＝eq\f(x2n－1x2n＋2＋1,x2nx2－1)＋2n；当x＝±1时，Sn＝4n.综上可知，Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4n，x＝±1，,\f(x2n－1x2n＋2＋1,x2nx2－1)＋2n，x≠±1且x≠0.))反思感悟某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．三、倒序相加法求和例3设F(x)＝eq\f(4x,4x＋2)，求Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2021)))＋Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2021)))＋…＋Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2020,2021))).解∵F(x)＋F(1－x)＝eq\f(4x,4x＋2)＋eq\f(41－x,41－x＋2)＝1，∴Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2021)))＋Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2020,2021)))＝Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2021)))＋Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2019,2021)))＝…＝1.设Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2021)))＋Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2021)))＋…＋Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2020,2021)))＝S，∴S＝eq\f(1,2)×2S＝eq\f(1,2)×2020＝1010.反思感悟(1)倒序相加法类比推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1＋an)．(2)如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求其和可以用倒序相加法．四、裂项相消法求和例4求和：eq\f(1,22－1)＋eq\f(1,32－1)＋eq\f(1,42－1)＋…＋eq\f(1,n2－1)，n≥2，n∈N*.解∵eq\f(1,n2－1)＝eq\f(1,n－1n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n＋1)))，∴原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,4)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n＋1)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)－\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝eq\f(3,4)－eq\f(2n＋1,2nn＋1)(n≥2，n∈N*)．延伸探究求和：eq\f(22,22－1)＋eq\f(32,32－1)＋eq\f(42,42－1)＋…＋eq\f(n2,n2－1)，n≥2，n∈N*.解∵eq\f(n2,n2－1)＝eq\f(n2－1＋1,n2－1)＝1＋eq\f(1,n2－1)，∴原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,22－1)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,32－1)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,42－1)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n2－1)))＝(n－1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,22－1)＋\f(1,32－1)＋\f(1,42－1)＋…＋\f(1,n2－1)))以下同例4解法．∴原式＝n－eq\f(1,4)－eq\f(2n＋1,2nn＋1)(n≥2，n∈N*)反思感悟(1)对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法，可用待定系数法对通项公式拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项．(2)常见的拆项公式有①eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).②eq\f(1,nn＋k)＝eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋k))).③eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).④eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).⑤eq\f(1,nn＋1n＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,nn＋1)－\f(1,n＋1n＋2))).五、错位相减法求和例5已知{an}是等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝1，b1＝3，a2＋b2＝7，a3＋b3＝11.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn＝eq\f(bn,an)，n∈N*，求数列{cn}的前n项和Tn.解(1)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，等差数列{bn}的公差为d，依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝q＋3＋d＝7，,a3＋b3＝q2＋3＋2d＝11，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q＋d＝4，,q2＋2d＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q＝2，,d＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q＝0，,d＝4))(舍去)．所以an＝2n－1，n∈N*，bn＝3＋2(n－1)＝2n＋1，n∈N*.(2)由(1)得cn＝eq\f(bn,an)＝eq\f(2n＋1,2n－1)，所以Tn＝eq\f(3,1)＋eq\f(5,2)＋…＋eq\f(2n＋1,2n－1)，①所以eq\f(1,2)Tn＝eq\f(3,2)＋eq\f(5,22)＋…＋eq\f(2n－1,2n－1)＋eq\f(2n＋1,2n)，②由①－②，得eq\f(1,2)Tn＝3＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,22)＋…＋\f(1,2n－1)))－eq\f(2n＋1,2n)＝3＋2×eq\f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n－1))),1－\f(1,2))－eq\f(2n＋1,2n)＝5－eq\f(2n＋5,2n)，所以Tn＝10－eq\f(2n＋5,2n－1).反思感悟一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便于下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．六、并项求和法求和例6求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)．解当n为奇数时，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1)＝2·eq\f(n－1,2)＋(－2n＋1)＝－n.当n为偶数时，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)]＝2·eq\f(n,2)＝n.∴Sn＝(－1)n·n(n∈N*)．反思感悟通项中含有(－1)n的数列求前n项和时可以考虑使用奇偶并项法，分项数为奇数和偶数分别进行求和．三年真题1．设SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0是等比数列，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0；(3)求SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)证明见解析(3)SKIPIF1<0【详解】（1）设SKIPIF1<0公差为d，SKIPIF1<0公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0舍去），所以SKIPIF1<0；（2）证明：因为SKIPIF1<0所以要证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0显然成立，所以SKIPIF1<0；（3）因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，作差得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.2．已知SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0是公比为2的等比数列，且SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)求集合SKIPIF1<0中元素个数．【答案】(1)证明见解析；(2)SKIPIF1<0．【详解】（1）设数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即可解得，SKIPIF1<0，所以原命题得证．（2）由（1）知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，亦即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以满足等式的解SKIPIF1<0，故集合SKIPIF1<0中的元素个数为SKIPIF1<0．3．已知等差数列SKIPIF1<0的首项SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0．记SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若对于每个SKIPIF1<0，存在实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0成等比数列，求d的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（2）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由已知方程SKIPIF1<0的判别式大于等于0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0对于任意的SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0对于任意的SKIPIF1<0恒成立，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<04．已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求a的取值范围；(3)设SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0的减区间为SKIPIF1<0，增区间为SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0(3)见解析【详解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的减区间为SKIPIF1<0，增区间为SKIPIF1<0.（2）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为连续不间断函数，故存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，总有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0为增函数，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0为增函数，故SKIPIF1<0，与题设矛盾.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，下证：对任意SKIPIF1<0，总有SKIPIF1<0成立，证明：设SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0成立.由上述不等式有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0总成立，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，所以SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，所以SKIPIF1<0.综上，SKIPIF1<0.（3）取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，总有SKIPIF1<0成立，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立.所以对任意的SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，整理得到：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.5．记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和．已知SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0是等差数列；(2)若SKIPIF1<0成等比数列，求SKIPIF1<0的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)SKIPIF1<0．【详解】（1）因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为公差的等差数列．（2）[方法一]：二次函数的性质由（1）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．[方法二]：【最优解】邻项变号法由（1）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0.则当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出SKIPIF1<0的最小值，适用于可以求出SKIPIF1<0的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．6．已知SKIPIF1<0为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的SKIPIF1<0，在Q中存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则称Q为SKIPIF1<0连续可表数列．(1)判断SKIPIF1<0是否为SKIPIF1<0连续可表数列？是否为SKIPIF1<0连续可表数列？说明理由；(2)若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0连续可表数列，求证：k的最小值为4；(3)若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0连续可表数列，且SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【答案】(1)是SKIPIF1<0连续可表数列；不是SKIPIF1<0连续可表数列．(2)证明见解析．(3)证明见解析．【详解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0连续可表数列；易知，不存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0连续可表数列．（2）若SKIPIF1<0,设为SKIPIF1<0SKIPIF1<0,则至多SKIPIF1<0，6个数字，没有SKIPIF1<0个，矛盾；当SKIPIF1<0时,数列SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（3）SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0最多有SKIPIF1<0种，若SKIPIF1<0，最多有SKIPIF1<0种，所以最多有SKIPIF1<0种，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0至多可表SKIPIF1<0个数，矛盾,从而若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0至多可表SKIPIF1<0个数，而SKIPIF1<0，所以其中有负的，从而SKIPIF1<0可表1~20及那个负数（恰21个），这表明SKIPIF1<0中仅一个负的，没有0，且这个负的在SKIPIF1<0中绝对值最小，同时SKIPIF1<0中没有两数相同,设那个负数为SKIPIF1<0，则所有数之和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足SKIPIF1<0个，SKIPIF1<0（仅一种方式），SKIPIF1<0与2相邻，若SKIPIF1<0不在两端,则SKIPIF1<0形式，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（有2种结果相同，方式矛盾），SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在一端，不妨为SKIPIF1<0形式，若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0（有2种结果相同，矛盾），SKIPIF1<0同理不行，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（有2种结果相同，矛盾），从而SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0,由表法唯一知3,4不相邻,、故只能SKIPIF1<0，①或SKIPIF1<0，②这2种情形，对①：SKIPIF1<0，矛盾，对②：SKIPIF1<0，也矛盾，综上SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，数列SKIPIF1<0满足题意，SKIPIF1<0．【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为SKIPIF1<0可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和能表示从SKIPIF1<0到SKIPIF1<0中间的任意一个值．本题第二问SKIPIF1<0时，通过和值可能个数否定SKIPIF1<0；第三问先通过和值的可能个数否定SKIPIF1<0，再验证SKIPIF1<0时，数列中的几项如果符合必然是SKIPIF1<0的一个排序，可验证这组数不合题．7．记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和，已知SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)证明：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)见解析【详解】（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,又∵SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列，∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,整理得：SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，显然对于SKIPIF1<0也成立，∴SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<08．已知SKIPIF1<0是公差为2的等差数列，其前8项和为64．SKIPIF1<0是公比大于0的等比数列，SKIPIF1<0．（I）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；（II）记SKIPIF1<0，（i）证明SKIPIF1<0是等比数列；（ii）证明SKIPIF1<0【答案】（I）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【详解】（I）因为SKIPIF1<0是公差为2的等差数列，其前8项和为64．所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（负值舍去），所以SKIPIF1<0；（II）（i）由题意，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是等比数列；（ii）由题意知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【点睛】关键点点睛：最后一问考查数列不等式的证明，因为SKIPIF1<0无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即可得证.9．记SKIPIF1<0是公差不为0的等差数列SKIPIF1<0的前n项和，若SKIPIF1<0．（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0；（2）求使SKIPIF1<0成立的n的最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)7.【分析】(1)由题意首先求得SKIPIF1<0的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.【详解】(1)由等差数列的性质可得：SKIPIF1<0，则：SKIPIF1<0，设等差数列的公差为SKIPIF1<0，从而有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而：SKIPIF1<0，由于公差不为零，故：SKIPIF1<0，数列的通项公式为：SKIPIF1<0.(2)由数列的通项公式可得：SKIPIF1<0，则：SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为正整数，故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.10．设p为实数.若无穷数列SKIPIF1<0满足如下三个性质，则称SKIPIF1<0为SKIPIF1<0数列：①SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）如果数列SKIPIF1<0的前4项为2，-2，-2，-1，那么SKIPIF1<0是否可能为SKIPIF1<0数列？说明理由；（2）若数列SKIPIF1<0是SKIPIF1<0数列，求SKIPIF1<0；（3）设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0.是否存在SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由．【答案】（1）不可以是SKIPIF1<0数列；理由见解析；（2）SKIPIF1<0；（3）存在；SKIPIF1<0．【详解】(1)因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以数列SKIPIF1<0，不可能是SKIPIF1<0数列.(2)性质①SKIPIF1<0，由性质③SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，由性质②可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，矛盾；若SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，矛盾.因此只能是SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，不满足SKIPIF1<0，舍去.当SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0前四项为:0，0，0，1，下面用数学归纳法证明SKIPIF1<0：当SKIPIF1<0时，经验证命题成立，假设当SKIPIF1<0时命题成立，当SKIPIF1<0时：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，利用性质③：SKIPIF1<0，此时可得：SKIPIF1<0；否则，若SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，而由性质②可得：SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0矛盾.同理可得：SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0即当SKIPIF1<0时命题成立，证毕.综上可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(3)令SKIPIF1<0，由性质③可知：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，因此数列SKIPIF1<0为SKIPIF1<0数列.由（2）可知:若SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足题意.11．记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和，已知SKIPIF1<0，且数列SKIPIF1<0是等差数列，证明：SKIPIF1<0是等差数列.【答案】证明见解析.【详解】∵数列SKIPIF1<0是等差数列，设公差为SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0是等差数列.12．已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项；（2）设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【详解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0①，得SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列，SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0时不等式恒成立；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0.【点睛】易错点点睛：（1）已知SKIPIF1<0求SKIPIF1<0不要忽略SKIPIF1<0情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中SKIPIF1<0恒成立，要对SKIPIF1<0讨论，还要注意SKIPIF1<0时，分离参数不等式要变号.13．记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和，SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项积，已知SKIPIF1<0．（1）证明：数列SKIPIF1<0是等差数列;（2）求SKIPIF1<0的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0.【详解】（1）[方法一]：由已知SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,取SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,由于SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项积，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,由于SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0所以数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，以SKIPIF1<0为公差等差数列;[方法二]【最优解】：由已知条件知SKIPIF1<0

①于是SKIPIF1<0．

②由①②得SKIPIF1<0．

③又SKIPIF1<0，

④由③④得SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．所以数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公差的等差数列．[方法三]：

由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．故数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公差的等差数列．[方法四]：数学归纳法

由已知SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，猜想数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公差的等差数列，且SKIPIF1<0．下面用数学归纳法证明．当SKIPIF1<0时显然成立．假设当SKIPIF1<0时成立，即SKIPIF1<0．那么当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．综上，猜想对任意的SKIPIF1<0都成立．即数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公差的等差数列．（2）由（1）可得，数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，以SKIPIF1<0为公差的等差数列，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,当n=1时，SKIPIF1<0,当n≥2时,SKIPIF1<0,显然对于n=1不成立,∴SKIPIF1<0.【整体点评】（1）方法一从SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，然后利用SKIPIF1<0的定义，得到数列SKIPIF1<0的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；方法二先从SKIPIF1<0的定义，替换相除得到SKIPIF1<0，再结合SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，从而证得结论，为最优解；方法三由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的定义得SKIPIF1<0，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列SKIPIF1<0，然后利用数学归纳法证得结论．（2）由（1）的结论得到SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0的表达式,然后利用和与项的关系求得SKIPIF1<0的通项公式；14．已知数列SKIPIF1<0的各项均为正数，记SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列SKIPIF1<0是等差数列：②数列SKIPIF1<0是等差数列；③SKIPIF1<0．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】证明过程见解析【详解】选①②作条件证明③：[方法一]：待定系数法+SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关系式设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0也是等差数列，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.[方法二]：待定系数法设等差数列SKIPIF1<0的公差为d，等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0对于SKIPIF1<0恒成立．则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．选①③作条件证明②：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等差数列，所以公差SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等差数列.选②③作条件证明①：[方法一]：定义法设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0满足等差数列的定义，此时SKIPIF1<0为等差数列；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不合题意，舍去.综上可知SKIPIF1<0为等差数列.[方法二]【最优解】：求解通项公式因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0也为等差数列，所以公差SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，满足上式，故SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1