新高考数学二轮复习重点突破训练第12讲 函数与导数的综合（含解析）

第12讲函数与导数的综合真题展示2022新高考一卷第12题已知函数SKIPIF1<0及其导函数SKIPIF1<0的定义域均为SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为偶函数，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0（4） D．SKIPIF1<0（2）【思路分析】由SKIPIF1<0为偶函数，可得SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，可判断SKIPIF1<0；SKIPIF1<0为偶函数，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，可判断SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，可得SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极值点，SKIPIF1<0也是极值点，从而判断SKIPIF1<0；SKIPIF1<0图象位置不确定，可上下移动，故函数值不确定，从而判断SKIPIF1<0．【解析】【解法一】(特殊值验证)：SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（4），故SKIPIF1<0正确；SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，故SKIPIF1<0不正确；SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的一个极值点，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的一个极值点，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的一个极值点，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正确；SKIPIF1<0图象位置不确定，可上下移动，即没一个自变量对应的函数值是确定值，故SKIPIF1<0错误．故选：SKIPIF1<0．【解法二】(导数推导)：由f(SKIPIF1<0),g(2+x)均为偶函数，得f(SKIPIF1<0)=f(SKIPIF1<0QUOTE32+2x),g(2+x)=g(2−x)，故f(SKIPIF1<0)=f(SKIPIF1<0QUOTE32+x),两边同时求导得−f'(SKIPIF1<0)=f'(SKIPIF1<0QUOTE32+x),即−g(SKIPIF1<0QUOTE32-x)=g(SKIPIF1<0QUOTE32+x),∴g(x)关于直线x=2对称，且关于点(SKIPIF1<0QUOTE32,0)对称，从而可得g(x)的周期为T=4(2−SKIPIF1<0)=2,由−g(SKIPIF1<0QUOTE32-x)=g(QUOTE32+xSKIPIF1<0)可得−g(QUOTE32SKIPIF1<0)=g(QUOTE32SKIPIF1<0),即g(QUOTE32SKIPIF1<0)=0，∴g(SKIPIF1<0)=g(SKIPIF1<0+2)=g(QUOTE32SKIPIF1<0)=0,B正确；g(−1)=g(−1+2)=g(1)=g(SKIPIF1<0SKIPIF1<0)=−g(SKIPIF1<0SKIPIF1<0QUOTE32+12)=−g(2)，D不正确。由导函数与原函数的关系知函数f(x)的周期为2，关于直线x=QUOTE32SKIPIF1<0对称，关于点(2，m)对称，若m=0，则f(0)=f(2)=0，若m≠0，f(0)=f(2)≠0，A错误；由f(x)关于直线x=QUOTE32SKIPIF1<0对称，得f(−1)=f(SKIPIF1<0−SKIPIF1<0)=f(SKIPIF1<0QUOTE32+SKIPIF1<0QUOTE52)=f(4)，C正确。【解法三】(特殊函数)：构造函数f(x)=sinπx+2，则g(x)=πcosπx，适合题意条件，验证选项，A、D错误，B、C正确。【试题评价】本题考查函数的奇偶性，极值点与对称性，考查了转化思想和方程思想，属中档题．考查目标试题以抽象函数作为背景，考查函数的奇偶性、对称性、周期性等基础知识.试题考查了考生分析问题的能力和运用函数、导数相关知识解决问题的能力.作为新高考试卷的压轴选择题，试题紧扣课程标准，力图引导教学，符合基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求．试题将导函数与函数的性质结合，设计新颖，具有较好的选拔功能.试题亮点以往试题中考查抽象函数性质的问题，往往通过特殊值法、单调性、奇偶性即可得出结论.试题除了考查抽象函数的奇偶性、周期性、对称性，还创造性地将导函数引入其中，这便成为本题的一大亮点；同时多选题的题型设置也为不同能力层次的考生提供了发挥的空间．试题源于教材，紧扣课程标准，对考生的能力能进行很好的区分，具有较好的选拔功能.知识要点整理构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：（1）直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如lnx≤x－1，ex≥x＋1，lnx＜x＜ex(x＞0)，eq\f(x,x＋1)≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)；(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．方法高考示例思维过程直接构造法已知函数f(x)＝eq\f(1,x)－x＋alnx.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＜a－2.……(2)证明：由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a＞2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0(函数在极值点处的导数为0)，所以x1x2＝1.不妨设x1＜x2，则x2＞1(注意原函数的定义域)．由于eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＝－eq\f(1,x1x2)－1＋aeq\f(lnx1－lnx2,x1－x2)＝－2＋aeq\f(lnx1－lnx2,x1－x2)＝－2＋aeq\f(－2lnx2,\f(1,x2)－x2)，所以eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＜a－2等价于eq\f(1,x2)－x2＋2lnx2＜0.【关键1：将所证不等式进行变形与化简】设函数g(x)＝eq\f(1,x)－x＋2lnx，由(1)知，g(x)在(0，＋∞)单调递减，【关键2：直接构造函数，判断函数单调性】又g(1)＝0，从而当x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0，所以eq\f(1,x2)－x2＋2lnx2＜0，即eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＜a－2.【关键3：结合单调性得到函数最值，证明不等式】放缩构造法已知函数f(x)＝aex－lnx－1.(1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a≥eq\f(1,e)时，f(x)≥0.……(2)证明：当a≥eq\f(1,e)时，f(x)≥eq\f(ex,e)－lnx－1.【关键1：利用不等式性质放缩，将a代换掉】设g(x)＝eq\f(ex,e)－lnx－1，【关键2：利用不等式右边构造函数】则g′(x)＝eq\f(ex,e)－eq\f(1,x).当0＜x＜1时，g′(x)＜0；当x＞1时，g′(x)＞0.所以x＝1是g(x)的最小值点．【关键3：利用导数研究函数的单调性、最值】故当x＞0时，g(x)≥g(1)＝0.【关键4：利用函数最值使放缩后的不等式得到证明】因此，当a≥eq\f(1,e)时，f(x)≥0.构造双函数法设函数f(x)＝aexlnx＋eq\f(bex－1,x)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)＞1.……(2)证明：由(1)知，f(x)＝exlnx＋eq\f(2,x)ex－1，从而f(x)＞1等价于xlnx＞xe－x－eq\f(2,e).【关键1：将所证不等式等价转化，为构造双函数创造条件】设函数g(x)＝xlnx，则g′(x)＝1＋lnx，所以当x∈(0，eq\f(1,e))时，g′(x)＜0；当x∈(eq\f(1,e)，＋∞)时，g′(x)＞0.故g(x)在(0，eq\f(1,e))上单调递减，在(eq\f(1,e)，＋∞)上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(eq\f(1,e))＝－eq\f(1,e).【关键2：构造函数，利用导数研究函数的单调性，求最小值】设函数h(x)＝xe－x－eq\f(2,e)，则h′(x)＝e－x(1－x)．所以当x∈(0，1)时，h′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＜0.故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－eq\f(1,e).【关键3：构造函数，利用导数研究函数的单调性，求最大值】因为g(x)min＝g(eq\f(1,e))＝h(1)＝h(x)max，所以当x＞0时，g(x)＞h(x)，即f(x)＞1.【关键4：利用函数最值证明不等式】突破疑难点2利用分类讨论法确定参数取值范围一般地，若a＞f(x)对x∈D恒成立，则只需a＞f(x)max；若a＜f(x)对x∈D恒成立，则只需a＜f(x)min.若存在x0∈D，使a＞f(x0)成立，则只需a＞f(x)min；若存在x0∈D，使a＜f(x0)成立，则只需a＜f(x0)max.由此构造不等式，求解参数的取值范围．常见有两种情况，一种先利用综合法，结合导函数零点之间大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另外一种，直接通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数．提示：求解参数范围时，一般会涉及分离参数法，理科试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常需要设出导函数的零点，难度较大．方法高考示例思维过程结合导函数的零点分类讨论已知函数f(x)＝x－1－alnx.(1)若f(x)≥0，求a的值；(2)设m为整数，且对于任意正整数n，(1＋eq\f(1,2))(1＋eq\f(1,22))…(1＋eq\f(1,2n))＜m，求m的最小值．(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)(求函数定义域)．①若a≤0，因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(1,2)＋aln2＜0，所以不满足题意．【关键1：利用原函数解析式的特点确定分类标准】②若a＞0，由f′(x)＝1－eq\f(a,x)＝eq\f(x－a,x)知，当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．【关键2：根据导函数的零点分类讨论】故x＝a是f(x)在(0，＋∞)上的唯一最小值点．由于f(1)＝0，所以当且仅当a＝1时，f(x)≥0，故a＝1.……设函数f(x)＝emx＋x2－mx.(1)证明：f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；(2)若对于任意x1，x2∈[－1，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范围．……(2)由(1)知，对任意的m，f(x)在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，故f(x)在x＝0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[－1，1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1的充要条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（1）－f（0）≤e－1，,f（－1）－f（0）≤e－1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(em－m≤e－1，,e－m＋m≤e－1.))①【关键1：利用充要条件把不等式恒成立等价转化】设函数g(t)＝et－t－e＋1，则g′(t)＝et－1.【关键2：直接构造函数，并求导】当t＜0时，g′(t)＜0；当t＞0时，g′(t)＞0.故g(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．又g(1)＝0，g(－1)＝e－1＋2－e＜0，故当t∈[－1，1]时，g(t)≤0.【关键3：根据导函数的零点分类讨论】故当m∈[－1，1]时，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立；当m＞1时，由g(t)的单调性，知g(m)＞0，即em－m＞e－1；当m＜－1时，g(－m)＞0，即e－m＋m＞e－1.【关键4：通过分类讨论得到参数的取值范围】综上，m的取值范围是[－1，1].由导函数的特点直接分类讨论函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(1，2)是增函数，求a的取值范围．……(2)当a＞0，x＞0时，f′(x)＝3ax2＋6x＋3＞0.【关键1：函数求导，根据导函数的特点确定分类标准】故当a＞0时，f(x)在区间(1，2)是增函数．当a＜0时，f(x)在区间(1，2)是增函数，当且仅当f′(1)≥0且f′(2)≥0，解得－eq\f(5,4)≤a＜0.【关键2：利用导数判断函数的单调性，结合需满足的条件，求解关于参数的不等式，得到参数的取值范围】综上，a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－eq\f(5,4)，0))∪(0，＋∞).突破疑难点3两法破解函数零点个数问题两类零点问题的不同处理方法：利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0.①直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明f(a)·f(b)＜0；②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)＜0.方法高考示例思维过程直接法(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ax2－ax－xlnx，且f(x)≥0.(1)求a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e－2＜f(x0)＜2－2.……(2)证明：由(1)知f(x)＝x2－x－xlnx，f′(x)＝2x－2－lnx.设h(x)＝2x－2－lnx，则h′(x)＝2－eq\f(1,x).当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，eq\f(1,2)))时，h′(x)＜0；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(1,2)，＋∞))时，h′(x)＞0.所以h(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，eq\f(1,2)))上单调递减，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(1,2)，＋∞))上单调递增．【关键1：构造函数，利用导数研究函数的单调性】又h(e－2)＞0，heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜0，h(1)＝0，所以h(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，eq\f(1,2)))上有唯一零点x0，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(1,2)，＋∞))上有唯一零点1，【关键2：利用零点存在性定理判断导函数零点的位置】且当x∈(0，x0)时，h(x)＞0；当x∈(x0，1)时，h(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)＞0.因为f′(x)＝h(x)，所以x＝x0是f(x)的唯一极大值点．由f′(x0)＝0得lnx0＝2(x0－1)，故f(x0)＝x0(1－x0)．由x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，eq\f(1,2)))得f(x0)＜eq\f(1,4).【关键3：求二次函数值域得到f(x0)的范围】因为x＝x0是f(x)在(0，1)上的最大值点，由e－1∈(0，1)，f′(e－1)≠0得f(x0)＞f(e－1)＝e－2，所以e－2＜f(x0)＜2－2.【关键4：利用函数最值证明不等式】分类讨论法已知函数f(x)＝x3＋ax＋eq\f(1,4)，g(x)＝－lnx.(1)当a为何值时，x轴为曲线y＝f(x)的切线；(2)用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x＞0)，讨论h(x)零点的个数．……(2)当x∈(1，＋∞)时，g(x)＝－lnx＜0，从而h(x)＝min{f(x)，g(x)}≤g(x)＜0，故h(x)在(1，＋∞)上无零点．【关键1：对x的取值分类讨论，适当放缩，判断h(x)的符号，确定函数零点个数】当x＝1时，若a≥－eq\f(5,4)，则f(1)＝a＋eq\f(5,4)≥0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝g(1)＝0，故x＝1是h(x)的零点；若a＜－eq\f(5,4)，则f(1)＜0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝f(1)＜0，故x＝1不是h(x)的零点．【关键2：当x的取值固定时，对参数a的取值分类讨论，确定函数值的符号得到零点个数】当x∈(0，1)时，g(x)＝－lnx＞0，所以只需考虑f(x)在(0，1)上的零点个数．(ⅰ)若a≤－3或a≥0，则f′(x)＝3x2＋a在(0，1)上无零点，故f(x)在(0，1)上单调．而f(0)＝eq\f(1,4)，f(1)＝a＋eq\f(5,4)，所以当a≤－3时，f(x)在(0，1)上有一个零点；当a≥0时，f(x)在(0，1)上没有零点．(ⅱ)若－3＜a＜0，则f(x)在(0，eq\r(－\f(a,3)))上单调递减，在(eq\r(－\f(a,3))，1)上单调递增，故在(0，1)上，当x＝eq\r(－\f(a,3))时，f(x)取得最小值，最小值为f(eq\r(－\f(a,3)))＝eq\f(2a,3)eq\r(－\f(a,3))＋eq\f(1,4).①若f(eq\r(－\f(a,3)))＞0，即－eq\f(3,4)＜a＜0，则f(x)在(0，1)上无零点；②若f(eq\r(－\f(a,3)))＝0，即a＝－eq\f(3,4)，则f(x)在(0，1)上有唯一零点；③若f(eq\r(－\f(a,3)))＜0，即－3＜a＜－eq\f(3,4)，由于f(0)＝eq\f(1,4)，f(1)＝a＋eq\f(5,4)，所以当－eq\f(5,4)＜a＜－eq\f(3,4)时，f(x)在(0，1)上有两个零点；当－3＜a≤－eq\f(5,4)时，f(x)在(0，1)上有一个零点．【关键3：当x的取值固定在一个范围内时，对参数a的取值分类讨论，利用函数单调性、最值、零点存在性定理得到零点个数】综上，当a＞－eq\f(3,4)或a＜－eq\f(5,4)时，h(x)有一个零点；当a＝－eq\f(3,4)或a＝－eq\f(5,4)时，h(x)有两个零点；当－eq\f(5,4)＜a＜－eq\f(3,4)时，h(x)有三个零点.突破疑难点4两法破解由零点个数确定参数问题已知函数有零点求参数范围常用的方法：(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．方法高考示例思维过程由导数特点分类讨论已知函数f(x)＝ex－ax2.(1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求a.……(2)设函数h(x)＝1－ax2e－x.f(x)在(0，＋∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(0，＋∞)只有一个零点．【关键1：构造函数h(x)，将f(x)的零点情况转化为h(x)的零点情况】(ⅰ)当a≤0时，h(x)＞0，h(x)没有零点．(ⅱ)当a＞0时，h′(x)＝ax(x－2)e－x.【关键2：对参数a分类讨论，结合函数值判断函数零点情况】当x∈(0，2)时，h′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)时，h′(x)＞0.所以h(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．故h(2)＝1－eq\f(4a,e2)是h(x)在(0，＋∞)的最小值．【关键3：分类讨论，利用导数研究函数单调性，求函数最值】①若h(2)＞0，即a＜eq\f(e2,4)，h(x)在(0，＋∞)没有零点；②若h(2)＝0，即a＝eq\f(e2,4)，h(x)在(0，＋∞)只有一个零点；③若h(2)＜0，即a＞eq\f(e2,4)，由于h(0)＝1，所以h(x)在(0，2)有一个零点．由(1)知，当x＞0时，ex＞x2，所以h(4a)＝1－eq\f(16a3,e4a)＝1－eq\f(16a3,（e2a）2)＞1－eq\f(16a3,（2a）4)＝1－eq\f(1,a)＞0.故h(x)在(2，4a)有一个零点．因此h(x)在(0，＋∞)有两个零点．【关键4：对函数最小值的符号分类讨论，结合函数单调性判断零点情况，求出参数值】综上，f(x)在(0，＋∞)只有一个零点时，a＝eq\f(e2,4).直接分类讨论已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．……(2)(ⅰ)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一个零点．【关键1：针对f(x)解析式的特点，可对参数a直接分类讨论】(ⅱ)若a＞0，由(1)知，当x＝－lna时，f(x)取得最小值，最小值为f(－lna)＝1－eq\f(1,a)＋lna.【关键2：结合函数单调性求函数最小值，进而根据最小值直接判断零点的情况】①当a＝1时，由于f(－lna)＝0，故f(x)只有一个零点；②当a∈(1，＋∞)时，由于1－eq\f(1,a)＋lna＞0，即f(－lna)＞0，故f(x)没有零点；③当a∈(0，1)时，1－eq\f(1,a)＋lna＜0，即f(－lna)＜0.又f(－2)＝ae－4＋(a－2)e－2＋2＞－2e－2＋2＞0，故f(x)在(－∞，－lna)上有一个零点．设正整数n0满足n0＞ln(eq\f(3,a)－1)，则f(n0)＝en0(aen0＋a－2)－n0＞en0－n0＞2n0－n0＞0.由于ln(eq\f(3,a)－1)＞－lna，因此f(x)在(－lna，＋∞)上有一个零点．【关键3：对参数a分类讨论，结合函数单调性与最小值判断函数零点情况，求参数取值范围】综上，a的取值范围为(0，1).三年真题一、单选题1．设SKIPIF1<0分别是定义在SKIPIF1<0上的奇函数和偶函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．且SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因此函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是奇函数．①SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时单调递增，故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．②当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是奇函数，可知：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，的解集为SKIPIF1<0．③当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不符合要求SKIPIF1<0不等式SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：D2．曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线的倾斜角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】∵SKIPIF1<0，∴曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线的斜率SKIPIF1<0，则倾斜角为SKIPIF1<0，故选：B．3．曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0，在点SKIPIF1<0处的切线为SKIPIF1<0，截距分别为SKIPIF1<0，故切线与坐标轴所围三角形的面积为SKIPIF1<0.故选：D4．设SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的导函数，SKIPIF1<0的图像如图所示，则SKIPIF1<0的图像最有可能的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由导函数的图象可得当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,函数SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,函数SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,函数SKIPIF1<0单调递增.只有C选项的图象符合.故选:C.5．当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】B【分析】根据题意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即可解得SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0即可解出．【详解】因为函数SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，所以依题可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，在SKIPIF1<0上递减，SKIPIF1<0时取最大值，满足题意，即有SKIPIF1<0．故选：B.6．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则（

）A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1【答案】A【详解】由题意可知k＝SKIPIF1<0，又(0，b)在切线上，解得：b＝1.故选：A.7．用计算器验算函数SKIPIF1<0的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是（

）A．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是单调减函数 B．SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0有最小值 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，A错误SKIPIF1<0，B错误；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，其在SKIPIF1<0上无最小值，C错误；综上，可排除SKIPIF1<0,故选：D.8．SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的非负可导函数，且满足SKIPIF1<0．对任意正数a，b，若SKIPIF1<0，则必有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】解：令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为常函数或递减,SKIPIF1<0若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为单调递减，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②①②两式相乘得：所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为常函数，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0③，SKIPIF1<0④，③④两式相乘得：所以SKIPIF1<0，综上所述，SKIPIF1<0故选：A9．下列四个命题中，不正确的是（

）A．若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处连续，则SKIPIF1<0B．函数SKIPIF1<0的不连续点是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0C．若函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由连续函数的定义知A正确；函数SKIPIF1<0的定义域是SKIPIF1<0，因此其不连续点是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，B正确；SKIPIF1<0，D正确；例如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不存在，C错．故选：C．10．若SKIPIF1<0，则常数a，b的值为（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】C【详解】SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：C．11．函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0的最小值、最大值分别为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0单调递增；在区间SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0单调递减，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最小值为SKIPIF1<0，最大值为SKIPIF1<0.故选：D12．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则该正四棱锥体积的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】∵球的体积为SKIPIF1<0，所以球的半径SKIPIF1<0,[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以正四棱锥的体积SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，正四棱锥的体积SKIPIF1<0取最大值，最大值为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,所以正四棱锥的体积SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，所以该正四棱锥体积的取值范围是SKIPIF1<0.故选：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0取到SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，球心在正四棱锥高线上，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，正四棱锥体积SKIPIF1<0，故该正四棱锥体积的取值范围是SKIPIF1<0二、多选题13．已知函数SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0有两个极值点 B．SKIPIF1<0有三个零点C．点SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0的对称中心 D．直线SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0的切线【答案】AC【详解】由题，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0是极值点，故A正确；因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一个零点，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上无零点，综上所述，函数SKIPIF1<0有一个零点，故B错误；令SKIPIF1<0，该函数的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是奇函数，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的对称中心，将SKIPIF1<0的图象向上移动一个单位得到SKIPIF1<0的图象，所以点SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0的对称中心，故C正确；令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，当切点为SKIPIF1<0时，切线方程为SKIPIF1<0，当切点为SKIPIF1<0时，切线方程为SKIPIF1<0，故D错误.故选：AC.14．已知函数SKIPIF1<0及其导函数SKIPIF1<0的定义域均为SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为偶函数，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为偶函数，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0①，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0，故C正确；对于SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，由①求导，和SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，因为其定义域为R，所以SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，从而周期SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B正确，D错误；若函数SKIPIF1<0满足题设条件，则函数SKIPIF1<0（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定SKIPIF1<0的函数值，故A错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知SKIPIF1<0周期为2，关于SKIPIF1<0对称，故可设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，显然A，D错误，选BC.故选：BC.[方法三]：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为偶函数，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故C正确；函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的图象分别关于直线SKIPIF1<0对称，又SKIPIF1<0，且函数SKIPIF1<0可导，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B正确，D错误；若函数SKIPIF1<0满足题设条件，则函数SKIPIF1<0（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定SKIPIF1<0的函数值，故A错误.故选：BC.三年模拟多选题1．已知SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【详解】对于A选项，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0.即存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0.但此时，SKIPIF1<0.故A错误.对于B选项，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0.得SKIPIF1<0在在SKIPIF1<0上单调递增.注意到SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，则有SKIPIF1<0.故B正确.对于C选项，由B选项可知SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0.故C正确.对于D选项，因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.（1）若SKIPIF1<0，注意到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0.（2）当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，注意到SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0.（3）当SKIPIF1<0，注意到SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，又由（1）分析可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.则SKIPIF1<0.综上，有SKIPIF1<0.故D正确.故选：BCD2．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数B．SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，则正实数SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0【答案】ABD【详解】对于A，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0根据复合函数单调性可知：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，A正确；对于B，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为正实数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则正实数SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，B正确；对于C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增；SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；不妨设SKIPIF1<0，则必有SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，等价于SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则等价于SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0不成立，C错误；对于D，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由C知：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，D正确.故选：ABD.3．对于三次函数SKIPIF1<0，给出定义：设SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的导数，SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的导数，若方程SKIPIF1<0有实数解SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0的极大值点为SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0有且仅有3个零点C．点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的对称中心D．SKIPIF1<0【答案】BCD【详解】由题意知SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递增；令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0上单调递减.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处有极大值SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0处有极小值SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的极大值点为-2，A项错误；又极大值SKIPIF1<0，极小值SKIPIF1<0，作出SKIPIF1<0的图象，有图象可知，SKIPIF1<0有且仅有3个零点，故B正确；SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0