新高考数学二轮复习培优训练专题12 空间几何体的折叠与多面体的问题（含解析）

专题12空间几何体的折叠与多面体的问题1、【2022年新高考1卷】已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3≤l≤33A．18,814 B．274,【答案】C【解析】∵球的体积为36π，所以球的半径R=3,设正四棱锥的底面边长为2a，高为ℎ，则l2=2a所以6ℎ=l2所以正四棱锥的体积V=1所以V'当3≤l≤26时，V'>0，当2所以当l=26时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为64又l=3时，V=274，l=33所以正四棱锥的体积V的最小值为274所以该正四棱锥体积的取值范围是274故选：C.2、（2019•新课标Ⅲ，理16文16）学生到工厂劳动实践，利用SKIPIF1<0打印技术制作模型，如图，该模型为长方体SKIPIF1<0，挖去四棱锥SKIPIF1<0后所得的几何体，其中SKIPIF1<0为长方体的中心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分别为所在棱的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0打印所用原料密度为SKIPIF1<0，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为SKIPIF1<0．【答案】118．8【解析】该模型为长方体SKIPIF1<0，挖去四棱锥SKIPIF1<0后所得的几何体，其中SKIPIF1<0为长方体的中心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分别为所在棱的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0该模型体积为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0打印所用原料密度为SKIPIF1<0，不考虑打印损耗，SKIPIF1<0制作该模型所需原料的质量为：SKIPIF1<0．3、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，SKIPIF1<0，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0，同理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.4、（2020江苏9）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，内孔半径为SKIPIF1<0，则此六角螺帽毛坯的体积是SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】记此六角螺帽毛坯的体积为SKIPIF1<0，正六棱柱的体积为SKIPIF1<0，内孔的体积为正六棱柱的体积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．5、【2021年新高考1卷】（多选题）在正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的周长为定值B．当SKIPIF1<0时，三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值C．当SKIPIF1<0时，有且仅有一个点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，有且仅有一个点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】BD【解析】易知，点SKIPIF1<0在矩形SKIPIF1<0内部（含边界）．对于A，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即此时SKIPIF1<0线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0周长不是定值，故A错误；对于B，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故此时SKIPIF1<0点轨迹为线段SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．对于C，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0点轨迹为线段SKIPIF1<0，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0均满足，故C错误；对于D，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0点轨迹为线段SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，故D正确．故选：BD．6、【2020年新高考1卷（山东卷）】已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以SKIPIF1<0为球心，SKIPIF1<0为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．【答案】SKIPIF1<0.【解析】如图：取SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<060°，直四棱柱SKIPIF1<0的棱长均为2，所以△SKIPIF1<0为等边三角形，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又四棱柱SKIPIF1<0为直四棱柱，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0侧面SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为侧面SKIPIF1<0与球面的交线上的点，则SKIPIF1<0，因为球的半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以侧面SKIPIF1<0与球面的交线上的点到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以侧面SKIPIF1<0与球面的交线是扇形SKIPIF1<0的弧SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以根据弧长公式可得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.7、【2019年新课标2卷理科】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．【答案】

共26个面.

棱长为SKIPIF1<0.【解析】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有SKIPIF1<0个面．如图，设该半正多面体的棱长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0交正方体棱于SKIPIF1<0，由半正多面体对称性可知，SKIPIF1<0为等腰直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即该半正多面体棱长为SKIPIF1<0．题组一空间几何体的折叠问题1-1、（2022·江苏宿迁·高三期末）如图，一张长､宽分别为SKIPIF1<0的矩形纸，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是其四条边的中点.现将其沿图中虚线折起，使得SKIPIF1<0四点重合为一点SKIPIF1<0，从而得到一个多面体，则（）A．在该多面体中，SKIPIF1<0B．该多面体是三棱锥C．在该多面体中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．该多面体的体积为SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】由于长、宽分别为SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0分别是其四条边的中点，现将其沿图中虚线折起，使得SKIPIF1<0四点重合为一点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，从而得到一个多面体SKIPIF1<0，所以该多面体是以SKIPIF1<0为顶点的三棱锥，故B正确；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A不正确；由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，故D正确；因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故C正确.故选：BCD1-2、（2022·江苏扬州·高三期末）在边长为6的正三角形ABC中M，N分别为边AB，AC上的点，且满足SKIPIF1<0，把△AMN沿着MN翻折至A′MN位置，则下列说法中正确的有（）A．在翻折过程中，在边A′N上存在点P，满足CP∥平面A′BMB．若SKIPIF1<0，则在翻折过程中的某个位置，满足平面A′BC⊥平面BCNMC．若SKIPIF1<0且二面角A′－MN－B的大小为120°，则四棱锥A′－BCNM的外接球的表面积为61πD．在翻折过程中，四棱锥A′－BCNM体积的最大值为SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】对于选项A，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则无论点P在A′N上什么位置，都存在CP与BQ相交，折叠后为梯形BCQP，则CP不与平面A′BM平行，故选项A错误；对于选项B，设SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，若SKIPIF1<0，则AE＞DE，所以存在某一位置使得A′D⊥DE，又因为MN⊥A′E，MN⊥DE，且A′E∩DE＝E，所以MN⊥平面A′DE，所以MN⊥A′D，SKIPIF1<0，所以A′D⊥平面BCNM，所以A′BC⊥平面BCNM，故选项B正确；对于选项C，设SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，若SKIPIF1<0且二面角A′－MN－B的大小为120°，则△AMN为正三角形，∠BMN＝120°，∠C＝60°，则BCNM四点共圆，圆心可设为点G，其半径设为r，DB＝DC＝DM＝DN＝3，所以点G即为点D，所以r＝3，二面角A′－MN－B的平面角即为∠A′ED＝120°，过点A′作A′H⊥DE，垂足为点H，EH＝SKIPIF1<0，DH＝SKIPIF1<0，A′H＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设外接球球心为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得R2＝SKIPIF1<0，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝61π，故选项C正确；对于选项D，设SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，设SKIPIF1<0是四棱锥SKIPIF1<0的高.S△AMN＝SKIPIF1<06λ6λSKIPIF1<0＝9SKIPIF1<0λ2，S△ABC＝SKIPIF1<066SKIPIF1<0＝9SKIPIF1<0，所以S四边形BCNM＝9SKIPIF1<0（1－λ2），则VA′－BCNM＝SKIPIF1<09SKIPIF1<0（1－λ2）h≤3SKIPIF1<0（1－λ2）A′E＝3SKIPIF1<0（1－λ2）3SKIPIF1<0λ＝27（－λ3＋λ），λ∈（0，1），可设f（λ）＝27（－λ3＋λ），λ∈（0，1），则SKIPIF1<0＝27（－3λ2＋1），令SKIPIF1<0＝0，解得λ＝SKIPIF1<0，则函数f（λ）在（0，SKIPIF1<0）上单调递增，在（SKIPIF1<0，1）上单调递减，所以f（λ）max＝f（SKIPIF1<0）＝6SKIPIF1<0，则四棱锥A′－BCN体积的最大值为SKIPIF1<0，故选项D正确.故选：BCD1-3、（2021·江苏苏州市·高三期末）已知四边形是等腰梯形（如图1），，，，．将沿折起，使得（如图2），连结，，设是的中点.下列结论中正确的是（）A． B．点到平面的距离为C．平面 D．四面体的外接球表面积为【答案】BD【解析】因为，，所以为等腰直角三角形，过C做，交AB于F，如图所示：所以，即AE=BF，又，，所以，则，对于A：因为，，平面BCDE，所以平面BCDE，平面BCDE，所以，若，且平面ADE，则平面ADE，所以DE与已知矛盾，所以BC与AD不垂直，故A错误；对于B：连接MC，如图所示，在中，DE=DC=1，所以，又，EB=2，所以，所以，又因为，平面AEC，所以平面AEC，平面AEC，所以，即为直角三角形，在中，，所以，因为是的中点，所以的面积为面积的一半，所以，因为，所以DE即为两平行线CD、EB间的距离，因为，设点E到平面的距离为h，则，即，所以，所以点到平面的距离为，故B正确；对于C：因为，平面ADC，平面ADC，所以平面ADC，若平面，且平面AEB，所以平面ACD平面AEB，与已知矛盾，故C错误.对于D：因为，所以的外接圆圆心为EB的中点，又因为，所以的外接圆圆心为AB的中点M，根据球的几何性质可得：四面体的外接球心为M，又E为球上一点，在中，所以外接球半径,所以四面体的外接球表面积，故D正确.故选：BD题组二几何体的多边形问题2-1、（2020·山东·模拟预测）足球运动是一项古老的体育活动，众多的资料表明，中国古代足球的出现比欧洲早，历史更为悠久，如图，现代比赛用足球是由正五边形与正六边形构成的共32个面的多面体，著名数学家欧拉证明了凸多面体的面数(F)，顶点数(V)，棱数(E)满足F+V-E=2，那么，足球有______.个正六边形的面，若正六边形的边长为SKIPIF1<0，则足球的直径为______.cm(结果保留整数)(参考数据SKIPIF1<0【答案】

20

22【解析】因为足球是由正五边形与正六边形构成，所以每块正五边形皮料周围都是正六边形皮料，每两个相邻的多边形恰有一条公共边，每个顶点处都有三块皮料，而且都遵循一个正五边形，两个正六边形结论.设正五边形为SKIPIF1<0块，正六边形为SKIPIF1<0块，有题知：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以足球有SKIPIF1<0个正六边形的面.每个正六边形的面积为SKIPIF1<0.每个正五边形的面积为SKIPIF1<0.球的表面积SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以足球的直径为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.2-2、（2021·全国高三专题练习（文））碳70是一种碳原子族，可高效杀灭癌细胞，它是由70个碳原子构成的，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共37个面，则其六元环的个数为（）．A．12 B．25 C．30 D．36【答案】B【解析】根据题意，顶点数就是碳原子数即为70，每个碳原子被3条棱长共用，故棱长数，由欧拉公式可得面数=2+棱长数-顶点数，设正五边形x个，正六边形y个，则，，解得，，故正六边形个数为25个，即六元环的个数为25个，故选：B2-3、（2022·湖北江岸·高三期末）如图，该几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若被截的正方体棱长为2，则该几何体的表面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】根据题意，该几何体的表面积分成两部分，一部分是6个完全相同的正方形，另一部分是8个完全相同的等边三角形6个完全相同的正方形的面积之和为：SKIPIF1<08个完全相同的等边三角形的面积之和为：SKIPIF1<0故该几何体的表面积为：SKIPIF1<0故选：B题组三几何体的综合性问题3-1、（2022·江苏常州·高三期末）已知正方体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的定点，且SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的动点，则（）A．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是直角三角形B．四棱锥SKIPIF1<0的体积最小值为SKIPIF1<0C．存在点SKIPIF1<0，使得直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．任意点SKIPIF1<0，都有直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】AB【解析】由已知计算可得：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0为直角三角形，A对SKIPIF1<0SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合时，SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离最小在SKIPIF1<0上取SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，B对SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0不平行，SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0不垂直SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合时，平面SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0矛盾，D错.故选:AB3-2、（2022·广东揭阳·高三期末）如图所示，已知正方体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的动点，则下列说法正确的是（）A．平面SKIPIF1<0截正方体所得的截面可以是四边形､五边形或六边形B．当点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0两点不重合时，平面SKIPIF1<0截正方体所得的截面是五边形C．SKIPIF1<0是锐角三角形D．SKIPIF1<0面积的最大值是SKIPIF1<0【答案】BD【解析】解：如图，当点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0两点不重合时，将线段SKIPIF1<0向两端延长，分别交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，连接SKIPIF1<0，此时截面为五边形MPSNR，故B正确；当点SKIPIF1<0与点A或点SKIPIF1<0重合时，截面为四边形，不可能为六边形，故A不正确；考虑SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为钝角，所以C错误；当点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合时，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离取到最大值，SKIPIF1<0的面积取到最大值，此时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0边上的高为SKIPIF1<0，面积为SKIPIF1<0，即最大值为SKIPIF1<0，故D正确.故选：BD.3-3、（2022·广东罗湖·高三期末）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若将SKIPIF1<0沿AC边上的中线BD折起，使得平面SKIPIF1<0平面BCD．点E在由此得到的四面体ABCD的棱AC上运动，则下列结论正确的为（）A．SKIPIF1<0 B．四面体ABCD的体积为SKIPIF1<0C．存在点E使得SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0 D．四面体ABCD的外接球表面积为SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】对于A：取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面BCD，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，显然不可能，故选项A错误；对于B：考查三棱锥SKIPIF1<0的体积，易知SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，在平面SKIPIF1<0中，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线，交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0，即三棱锥SKIPIF1<0的高为SKIPIF1<0，所以三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，即四面体SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，故选项B正确；对于C：显然当SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的面积取得最小值，易知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又四面体SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，所以存在点SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，故选项C正确；对于D：设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的外心依次为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂线SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂线SKIPIF1<0，则四面体SKIPIF1<0的外接球球心SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点，则四边形SKIPIF1<0为矩形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四面体SKIPIF1<0的外接球半径为SKIPIF1<0，则外接球表面积为SKIPIF1<0，故选项D正确.故选：BCD.1、（2022·河北保定·高三期末）（多选题）如图，SKIPIF1<0为正方体中所在棱的中点，过SKIPIF1<0两点作正方体的截面，则截面的形状可能为（）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【答案】BD【解析】由正方体的对称性可知，截面的形状不可能为三角形和五边形，如图，截面的形状只可能为四边形和六边形.故选：BD2、（2021·辽宁高三模拟）“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，其中“扭棱十二面体”就是一种“阿基米德多面体”.它是由SKIPIF1<0个正三角形和SKIPIF1<0个正五边形组成的，若多面体的顶点数、棱数和面数满足：顶点数SKIPIF1<0棱数SKIPIF1<0面数SKIPIF1<0，则“扭棱十二面体”的顶点数为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为扭棱十二面体是由SKIPIF1<0个正三角形和SKIPIF1<0个正五边形组成的，所以面数为SKIPIF1<0，棱数为SKIPIF1<0，因为多面体的顶点数、棱数和面数满足：顶点数SKIPIF1<0棱数SKIPIF1<0面数SKIPIF1<0，所以扭棱十二面体的顶点数为：SKIPIF1<0，故选：C3、（2022·江苏如东·高三期末）已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，AC1⊥平面α，当平面α过点B1时，平面α截此正方体所得截面多边形的面积为_________；当平面α过线段BC中点时，平面α截此正方体所得截面多边形的周长为_________.【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】如下图所示，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可证，SKIPIF1<0，由线面垂直判定可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即平面α截此正方体所得截面就是平面SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0.分别取SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0，容易得出SKIPIF1<0的延长线交于一点SKIPIF1<0，如下图所示，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0共面，SKIPIF1<0共面，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0共面，容易证明SKIPIF1<0，由线面垂直判定可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即平面α截此正方体所得截面就是平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以平面α截此正方体所得截面多边形的周长为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<04、（2022·广东·铁一中学高三期末）（多选题）如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的动点(不含端点)，且SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（）A．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．四面体SKIPIF1<0的体积是定值C．异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的正切值为SKIPIF1<0D．二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】解：对于A，在直三棱柱SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0是矩形，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以A正确；对于B，设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，四面体SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，所以四面体SKIPIF1<0的体积不是定值，所以B错误；对于C，因为SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，所以异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以C正确；对于D，如图，以SKIPIF1<0为坐标原点，以SKIPIF1<0所在的直线分别为SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可求得平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0，所以D正确，故选：ACD5、（2022·湖南常德·高三期末）（多选题）已知正方体SKIPIF1<0的棱长为2，P，Q分别为棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，M为线段BD上的动点，则（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值D．M为BD的中点时，则二面角SKIPIF1<0的平面角为60°【答案】BC【解析】由正方体的性质可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不平行，故A错误；由正方体的性质可知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故B正确；由题可知M到平面SKIPIF1<0的距离为定值d=2，三角形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0为定值，所以SKIPIF1<0为定值，故C正确；如图建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，设平面PQM的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量可取SKIPIF1<0，设二面角SKIPIF1<0的平面角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故D错误.故选：BC.6、（2022·湖北武昌·高三期末）（多选题）已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边长为SKIPIF1<0的菱形，B，C分别为AE，FD的中点，SKIPIF1<0，则在该四面体中（）A．SKIPIF1<0B．BE与平面DCE所成角的余弦值为SKIPIF1<0C．四面体ABCD的内切球半径为SKIPIF1<0D．四面体ABCD的外接球表面积为SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】由题意得，展开图拼成的几何体如下图所示，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取AB中点M，CD中点N，MN中点O，连MN、OA，过O作SKIPIF1<0于H，则OH是内切球的半径，OA是外接球的半径.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0对于A：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面ABN，而SKIPIF1<0平面ABN，所以SKIPIF1<0，故A正确；对于B：由于SKIPIF1<0平面ACD，故平面ABNSKIPIF1<0平面ACD，故SKIPIF1<0是BE与平面DCE所成角，故SKIPIF1<0，故B错误；对于C：SKIPIF1<0，故C正确；对于D：SKIPIF1<0所以外接球的表面积为SKIPIF1<0，故D正确.故选：ACD7、（2022·湖南郴州·高三期末）（多选题）如图，点SKIPIF1<0是棱长为2的正方体SKIPIF1<0的表面上一个动点，则（）

A．当SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上运动时，四棱锥SKIPIF1<0的体积不变B．当SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上运动时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的取值范围是SKIPIF1<0C．当直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为45°时，点SKIPIF1<0的轨迹长度为SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，当SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0上运动，且满足SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0长度的最小值是SKIPIF1<0【答案】AC【解析】A.当SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上运动时，点SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距离不变，SKIPIF1<0不变，故四棱锥SKIPIF1<0的体积不变，故A正确；B.建立如图所示空间直角坐标系：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，综上：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的取值范围是SKIPIF1<0，故B错误；C.因为直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0内，因为SKIPIF1<0最大，不成立；在平面SKIPIF1<0内，点SKIPIF1<0的轨迹是SKIPIF1<0，在平面SKIPIF1<0内，点SKIPIF1<0的轨迹是SKIPIF1<0，在平面SKIPIF1<0时，如图所示：，作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为圆心，以SKIPIF1<0为半径的四分之一圆，所以点SKIPIF1<0的轨迹长度为SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹总长度为长度为SKIPIF1<0，故C正确；D.建立如图所示空间直角坐标系：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SK