新高考数学二轮复习培优讲义04 函数及其性质（含解析）

讲义04讲：函数及其性质【考点讲义】1．函数函数两个集合A，B设A，B是两个非空数集对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数函数记法函数y＝f(x)，x∈A2.函数的三要素(1)定义域：x的取值范围；(2)值域：y的取值范围.(3)对应关系f：A→B.3．相等函数：定义域、对应关系都一致.4．函数的表示法：解析法、图象法和列表法．5．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．6．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．7．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M(1)对于∀x∈I，都有f(x)≥M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值8．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称9．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．(3)函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．(4)若f(x＋a)＋f(x)＝c，则T＝2a(a>0，c为常数)．10．对称性对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称．(2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，0))对称．(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))对称．【方法技巧】1．求函数值域的一般方法：①分离常数法；②配方法；③不等式法；=4\*GB3④单调性法；=5\*GB3⑤换元法；=6\*GB3⑥数形结合法；=7\*GB3⑦导数法．2．确定函数单调性的四种方法(1)定义法：利用定义判断．(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．3．函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)求最值．(3)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号去掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．(4)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较．②需注意若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也单调．③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．4．利用函数奇偶性可以解决以下问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象．(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．【核心题型】题型一：求函数的定义域1．（2012·山东·高考真题（文））函数SKIPIF1<0的定义域为（）A．[－2，0)∪(0，2] B．(－1，0)∪(0，2]C．[－2，2] D．(－1，2]【答案】B【详解】x满足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.解得－1<x<0或0<x≤，选B2．（2021·全国·高一专题练习）已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由已知函数定义域求得SKIPIF1<0的定义域，再由SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的定义域内求得SKIPIF1<0的范围即可得答案．【详解】SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0．故选C．【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3)若已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的定义域由不等式SKIPIF1<0求出.3．（2011·河北衡水·三模（理））已知函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】本题考查函数的定义域及恒成立问题的解法.因为函数的定义域为R，则SKIPIF1<0恒成立.①当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0是开口向下的抛物线，不符合题意；②当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0恒满足SKIPIF1<0，符合题意③当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0恒成立的条件是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.由①②③知实数k的取值范围是SKIPIF1<0正确答案为C题型二：求函数的值域4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】根据条件求出两个函数的值域，结合若存在SKIPIF1<0，使得f（x1）＝g（x2），等价为两个集合有公共元素，然后根据集合关系进行求解即可．【详解】当SKIPIF1<0x≤2时，log2SKIPIF1<0f（x）≤log22，即﹣1≤f（x）≤1，则f（x）的值域为[﹣1，1]，当SKIPIF1<0x≤2时，2SKIPIF1<0a≤g（x）≤4+a，即1+a≤g（x）≤4+a，则g（x）的值域为[1+a，4+a]，若存在SKIPIF1<0，使得f（x1）＝g（x2），则[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠∅，若[1+a，4+a]∩[﹣1，1]＝∅，则1+a＞1或4+a＜﹣1，得a＞0或a＜﹣5，则当[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠∅时，﹣5≤a≤0，即实数a的取值范围是[﹣5，0]，故选A．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件求出两个函数的值域，结合集合元素关系进行求解是解决本题的关键．5．（2022·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数，则SKIPIF1<0称为高斯函数.例如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知函数SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的值域为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】分离常数法化简f（x），根据新定义即可求得函数y＝[f（x）]的值域．【详解】SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0>0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴当x∈（1，2）时，y＝[f（x）]＝1；当x∈[2，SKIPIF1<0）时，y＝[f（x）]＝2．∴函数y＝[f（x）]的值域是{1，2}．故选D．【点睛】本题考查了新定义的理解和应用，考查了分离常数法求一次分式函数的值域，是中档题．6．（2022·全国·高一课时练习）已知函数SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】试题分析：设SKIPIF1<0，由已知条件可知SKIPIF1<0可取到SKIPIF1<0上的所有值，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0满足题意，当SKIPIF1<0时需满足SKIPIF1<0，解不等式得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0考点：函数性质题型三：复合函数的单调性7．（2022·全国·高三专题练习）下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】分别判断四个选项的奇偶性与单调性即可得出答案.【详解】对于A，定义域为SKIPIF1<0，不关于原点对称，所以不具奇偶性，故A错误；对于B，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为非奇非偶函数，故B错误；对于C，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不是增函数，故C错误；对于D，定义域为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是奇函数，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0为增函数，SKIPIF1<0也是增函数，所以SKIPIF1<0是增函数.故D正确.故选：D.8．（2020·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三阶段练习（理））设函数SKIPIF1<0，则使得SKIPIF1<0成立的x的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】结合函数的表达式，可知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的偶函数，且在SKIPIF1<0上单调递增，从而不等式等价于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，求解即可.【详解】当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0为增函数，且SKIPIF1<0，根据复合函数的单调性，可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，又函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的偶函数，且在SKIPIF1<0上单调递增.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：D.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.9．（2019·福建省长乐第一中学高一阶段练习）函数SKIPIF1<0的单调递减区间为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题意得到关于x的不等式组，求解不等式组即可确定函数的单调递减区间.【详解】函数SKIPIF1<0的单调递减区间满足：SKIPIF1<0，则：SKIPIF1<0，据此可得：SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0.故选D.【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，复合函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.题型四：根据函数的单调性与奇偶性解不等式10．（2020·全国·高一课时练习）已知函数SKIPIF1<0是定义在R上的偶函数,且在区间SKIPIF1<0单调递增.若实数a满足SKIPIF1<0,则a的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】试题分析：函数是定义在上的偶函数，∴，等价为），即．∵函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增，∴）等价为．即，∴，解得,故选项为C．考点：（1）函数的奇偶性与单调性；（2）对数不等式.【思路点晴】本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，综合性较强.由偶函数结合对数的运算法则得：，即，结合单调性得：将不等式进行等价转化即可得到结论.11．（2022·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0为定义在R上的奇函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0(SKIPIF1<0为常数)，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据定义在SKIPIF1<0上的奇函数的性质SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0的值，即可得到当SKIPIF1<0时函数解析式，再判断其单调性，最后根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：SKIPIF1<0为定义在SKIPIF1<0上的奇函数，因为当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，根据奇函数的性质可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由不等式SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，解可得，SKIPIF1<0，故解集为SKIPIF1<0故选：SKIPIF1<0．12．（2022·湖南师大附中高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且对任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则满足不等式SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0，再结合奇偶性可知该函数在R上单调递增，又将所求不等式变形，即可由单调性解该抽象不等式.【详解】根据题意可知，SKIPIF1<0可转化为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在[0，+∞)上是增函数，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为奇函数，所以SKIPIF1<0在R上为增函数，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即x的取值范围是SKIPIF1<0.故选：A.【关键点点睛】本题的关键是将不等式SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0，从而构造函数SKIPIF1<0，再根据奇偶性和单调性解抽象不等式.题型五：奇偶函数对称性的应用13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数，且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，设函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的零点的个数为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】由题设知SKIPIF1<0的零点可转化为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点问题，而SKIPIF1<0且周期为2，关于y轴对称的函数；SKIPIF1<0且关于y轴对称，当SKIPIF1<0时有SKIPIF1<0，画出SKIPIF1<0的草图即可确定交点个数，利用对称性确定总交点数.【详解】由题意知：SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，而SKIPIF1<0的零点即为SKIPIF1<0的根，又∵SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的偶函数，知：SKIPIF1<0且周期为2，关于y轴对称的函数，而SKIPIF1<0时SKIPIF1<0且关于y轴对称∴SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的图象如下，∴共有4个交点，由偶函数的对称性知：在SKIPIF1<0上也有4个交点，所以共8个交点.故选：C.【点睛】关键点点睛：将函数零点转化为两个函数的交点问题，应用数形结合的方法，由函数的周期性、奇偶对称性判断交点的个数.14．（2022·全国·高一课时练习）设SKIPIF1<0为定义在R上的函数，函数SKIPIF1<0是奇函数.对于下列四个结论：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③函数SKIPIF1<0的图象关于原点对称；④函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称；其中，正确结论的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】令SKIPIF1<0，①：根据SKIPIF1<0求解出SKIPIF1<0的值并判断；②：根据SKIPIF1<0为奇函数可知SKIPIF1<0，化简此式并进行判断；根据SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象关系确定出SKIPIF1<0关于点对称的情况，由此判断出③④是否正确.【详解】令SKIPIF1<0，①因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的奇函数，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故正确；②因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的奇函数，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故正确；因为SKIPIF1<0的图象由SKIPIF1<0的图象向左平移一个单位得到的，又SKIPIF1<0的图象关于原点对称，所以SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称，故③错误④正确，所以正确的有：①②④，故选：C.【点睛】结论点睛：通过奇偶性判断函数对称性的常见情况：（1）若SKIPIF1<0为偶函数，则函数SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称；（2）若SKIPIF1<0为奇函数，则函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0成中心对称.15．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）已知SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数且满足SKIPIF1<0为偶函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据已知条件可得SKIPIF1<0的对称中心SKIPIF1<0，对称轴SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的一个周期，由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0列关于SKIPIF1<0的方程组，进而可得SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的解析式，再利用周期性即可求解.【详解】因为SKIPIF1<0为奇函数，所以SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0中心对称，因为SKIPIF1<0为偶函数，所以SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称.根据条件可知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的一个周期，则SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：B.题型六：函数周期性的应用16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数，满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的零点个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】函数SKIPIF1<0的零点个数转化为两个函数图象交点的个数，转化条件为函数SKIPIF1<0周期SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，根据周期性可画出它的图象，从图象上观察交点个数即可.【详解】∵SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0是周期SKIPIF1<0的周期函数．又∵函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数，且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的零点个数即为函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的图象交点个数，分别作出函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的图象，如下图，显然SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有1个交点，在SKIPIF1<0上有一个交点，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0无交点．综上，函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的图象交点个数为2，即函数SKIPIF1<0的零点个数是2．故选：A17．（2019·全国·高三专题练习（文））定义在SKIPIF1<0上的偶函数SKIPIF1<0满足：对任意的实数SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0的值为（）A．2017 B．1010 C．1008 D．2【答案】B【分析】由偶函数可得SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0可得函数SKIPIF1<0是周期为2的周期函数，于是SKIPIF1<0，由周期性可得所求的值．【详解】因为SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是周期为2的周期函数，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴于是SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故选：B．18．（2009·山东·高考真题（理））已知定义在R上的奇函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且在区间SKIPIF1<0上是增函数,若方程SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有四个不同的根，则SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【分析】说明函数是周期为8的函数，求出其对称轴，画出函数的大致图像，根据图像判断即可.【详解】解：定义在R上的奇函数SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，8是函数SKIPIF1<0的一个周期，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是函数的一条对称轴，函数的对称轴是SKIPIF1<0，根据以上性质画出函数的大致图像:有图像知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0【点睛】把函数的奇偶性、单调性、周期性与方程的根的个数结合起来考查，中档题.题型七：由函数对称性求函数值或参数19．（2022·全国·高一课时练习）已知函数SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由二次函数SKIPIF1<0的对称性求出SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0.【详解】因为函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，所以对称轴为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故选：D20．（2022·全国·高一课时练习）设定义在SKIPIF1<0上的奇函数SKIPIF1<0，满足对任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用函数SKIPIF1<0的奇偶性和对称性可分别求得SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值，相加即可求得结果.【详解】由于函数SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的奇函数，满足对任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与对称性求函数值，考查计算能力，属于基础题.21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0的图象关于原点对称，且满足SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由SKIPIF1<0和奇函数推出周期，根据周期和奇函数推出SKIPIF1<0，根据解析式求出SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得结果即可.【详解】因为函数SKIPIF1<0的图象关于原点对称，所以SKIPIF1<0为奇函数，因为SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0的周期为4，则SKIPIF1<0；而SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0；而SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了函数的周期性，属于基础题.题型八：不等式恒（能）成立问题22．（2021·浙江·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0恒成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分不必要条件【答案】B【分析】利用导数求出SKIPIF1<0的最小值，然后可判断出答案.【详解】因为SKIPIF1<0，其定义域为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以由SKIPIF1<0恒成立可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0恒成立的必要不充分条件故选：B23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，若对于任意的实数x，不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据分段函数解析式画出函数图象，易知SKIPIF1<0单调递增且关于SKIPIF1<0对称，再将不等式转化为SKIPIF1<0结合单调性求参数范围.【详解】由题设，SKIPIF1<0，图象如下：所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是R上的增函数，所以SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故选：A．24．（2022·广西·桂电中学高三阶段练习）已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由抽象函数单调性和对称性的定义可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减且SKIPIF1<0，由此可将恒成立的不等式化为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，分离变量后，根据函数最值可得SKIPIF1<0的范围.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0图象关于SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0知：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故选：D.25．（2023·全国·高三专题练习）若SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是______________．【答案】SKIPIF1<0【分析】利用不等式的基本性质分离参数，利用函数的单调性求相应最值即可得到结论.【详解】由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，根据题意，SKIPIF1<0即可，设SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，在SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<026．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值域是___________.设函数SKIPIF1<0，若对于任意实数SKIPIF1<0，总存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是___________【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】（1）求出导数即可判断出SKIPIF1<0的单调性，进而求出最值；（2）讨论SKIPIF1<0的范围求出SKIPIF1<0的最大值，即可求出SKIPIF1<0的范围.【详解】（1）SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0，综上，实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【点睛】关键点睛：本题考查函数值域的求解，解题的关键是利用导数求出单调性，考查了不等式的能成立问题，解题的关键是讨论SKIPIF1<0的范围得出SKIPIF1<0最大值.27．（2020·全国·高二课时练习（文））已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是_________.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0求解.【详解】因为对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以只需SKIPIF1<0即可，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0.【点睛】本题主要考查不等式恒能成立问题以及函数的最值的求法，属于中档题.【高考必刷】一、选择题1．（2007·江西·高考真题（文））函数SKIPIF1<0的定义域为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】首先，考查对数的定义域问题，也就是SKIPIF1<0的真数SKIPIF1<0一定要大于零，其次，分母不能是零．【详解】解：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0故，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．定义域就是SKIPIF1<0故选：B．2．（2013·山东·高考真题（文））函数SKIPIF1<0的定义域是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由题意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故选A.3．（2020·浙江温州·高一竞赛）已知集合SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】首先根据偶次根式的条件与对数函数的值域分别求得集合SKIPIF1<0，再求并集，得到结果.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：D．【点睛】该题考查函数的定义域，对数函数的值域以及集合的并集，考查基本分析求解能力，属于基础题目.4．（2022·全国·高一单元测试）已知函数SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的定义域为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】先求得函数SKIPIF1<0的定义域，再运用复合函数的定义域求解方法可得选项.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0需满足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故选：D.【点睛】本题考查函数的定义域，以及复合函数的定义域的求解方法，属于基础题.5．（2007·湖北·高考真题（理））设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的定义域为（）．A．（－4,0)∪（0,4)B．（－4，－1)∪（1,4)C．（－2，－1)∪（1,2)D．（－4，－2)∪（2,4)【答案】B【详解】试题分析：要使函数有意义，则SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有意义，须确保两个式子都要有意义，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选SKIPIF1<0.考点：1.函数的定义域；2.简单不等式的解法.6．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数，则SKIPIF1<0称为高斯函数，也称取整函数，例如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的值域为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用常数分离法将原函数解析式化为SKIPIF1<0，然后分析函数SKIPIF1<0的值域，再根据高斯函数的含义确定SKIPIF1<0的值域.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或0，SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：B.7．（2008·重庆·高考真题（理））已知函数SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0的最大值为M，最小值为m，则SKIPIF1<0的值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由题设可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，也即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，应选C.点睛：本题的求解过程体现了转化与化归的数学思想的巧妙运用.解答时，先运用两边平方这一变形手段，将问题转化为求二次函数SKIPIF1<0的最大值和最小值的问题，最后再解不等式SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，从而使得问题获解.8．（2023·全国·高三专题练习）若函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】先求出SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域，可知要想SKIPIF1<0的整体值域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值为SKIPIF1<0，最小值大于等于SKIPIF1<0，由此求出临界点，得到SKIPIF1<0的取值范围.【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0对称轴为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0

SKIPIF1<0SKIPIF1<0值域为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减又SKIPIF1<0

SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0

SKIPIF1<0SKIPIF1<0本题正确选项：SKIPIF1<0【点睛】本题考查通过分段函数、利用函数的值域求解参数范围问题，解题关键是确定最值的范围和临界点.9．（2022·新疆·乌市八中高二期末（文））设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若对于任意SKIPIF1<0，总存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0