2024届河北师范大学附属实验中学高三上学期10月月考数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat12页2024届河北师范大学附属实验中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．设集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】解不等式求集合B，利用交集的概念计算即可.【详解】由，故，所以，故选：B．2．命题p：，，则命题p的否定为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题，判断命题p的否定形式.【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题p的否定应该为，．故选：C．3．函数的图象在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据导数的几何意义进行求解即可.【详解】∵，∴，∴，，∴所求的切线方程为，即.故选：D4．若，则＝（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二倍角余弦公式，齐次式弦化切得解.【详解】.故选：B.5．已知函数，．若有2个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】有2个零点，则函数与函数的图象有2个交点，利用函数图象判断实数a的取值范围.【详解】时，，函数在上单调递减，，令可得，作出函数与函数的图象如图所示：

由上图可知，当时，函数与函数的图象有2个交点，此时，函数有2个零点．因此，实数a的取值范围是．故选：D．6．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】B【分析】根据三角函数的图像变换求解.【详解】因为，所以，故为了得到的图象，只需将的图象向右平移个单位长度.故选:B.7．国家新能源车电池衰减规定是在质保期内，电池的性能衰减不能超过，否则由厂家免费为车主更换电池．某品牌新能源车动力电池容量测试数据显示：电池的性能平均每年的衰减率为，该品牌设置的质保期至多为（

）（参考数据：，）A．12年 B．13年 C．14年 D．15年【答案】C【分析】根据题意列出不等式，两边取对数，即可求解.【详解】设该品牌设置的质保期至多为年，由题意可得，，则，两边取对数，即，则，即，则，因为，所以，则，又因为，所以，故选：C.8．海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c直接求三角形面积S的公式，表达式为：（其中）；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦-秦九韶公式．现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（

）A． B． C． D．12【答案】C【分析】由正弦定理得三角形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可．【详解】∵，∴，∵周长为，即，∴，∴，∴的面积．故选：C．二、多选题9．（多选）下列说法中正确的是（

）A．在三角形中，已知两边及其一边的对角，不能用余弦定理求解三角形B．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形C．利用余弦定理，可以解决已知三角形三边求角的问题D．在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例【答案】BCD【分析】根据余弦定理对各个选项进行判断.【详解】在三角形中，已知两边及其一边的对角，可用余弦定理列出第三边的方程，解方程得第三边，故A错误；余弦定理反映了任意三角形中边角的关系，它适用于任意三角形，故B正确；余弦定理可以直接解决已知三边求角，已知两边及其夹角求第三边的问题，故C正确；当夹角为时，余弦定理就变成了勾股定理，故D正确.故选：BCD.10．下列选项正确的是（

）A．B．C．若终边上有一点，则D．若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为【答案】BC【分析】利用诱导公式判断A，根据弧度与角度的关系判断B，根据三角形函数的定义判断C，由扇形的弧长与面积公式判断D.【详解】对于A：，故A错；对于B：，故B正确；对于C：若终边上有一点，则，故C正确；对于D：若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的半径，所以扇形的面积，故D不正确.故选：BC11．下列说法正确的是（

）A．若的定义域为，则的定义域为B．函数的值域为C．函数的值域为D．函数在上的值域为【答案】AC【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D.【详解】对于A，因为的定义域为，所以，解得，即的定义域为，故A正确；对于B，，所以，即函数的值域为，故B不正确；对于C，令，则，，所以，，所以当时，该函数取得最大值，最大值为，所以函数的值域为，故C正确；对于D，，其图象的对称轴为直线，且，，所以函数在上的值域为，故D不正确．故选：AC．12．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是（

）A．若，则是等腰三角形B．若，，，则满足条件的三角形有且只有一个C．若不是直角三角形，则D．若，则为钝角三角形【答案】BC【分析】对于A，利用正弦定理整理等式，结合正弦函数以及三角形的内角性质，可得答案；对于B，利用余弦定理，建立方程，根据一元二次方程的求解，可得答案；对于C，根据正切函数的和角公式，整理等式，结合直角三角形的性质，可得答案；对于D，利用平面向量的数量积的定义式，可得答案.【详解】对于A，因为，所以由正弦定理得，即，因为，，所以，，所以或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B，由余弦定理得，即，即，解得，由，所以，则满足条件的三角形有且只有一个，故B正确；对于C，因为不是直角三角形，且，所以，即，所以，故C正确；对于D，，即，所以，因为，则，所以一定是直角三角形，故D错误.故选：BC.三、填空题13．．【答案】/【分析】根据已知条件,结合三角函数的诱导公式,以及正弦的两角和公式,即可求解.【详解】.故答案为：.14．已知函数，则的值是.【答案】【分析】根据分段函数的表达式代入进行求解即可.【详解】因为，所以，所以，故答案为：15．函数，则．【答案】【分析】先对函数求导，再将代入即可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故答案为【点睛】本题主要考查导函数的值，利用取到公式求出导函数即可求解，属于基础题型.16．函数的图象为C，以下结论中正确的是写出所有正确结论的编号）.①图象C关于直线对称；②图象C关于点对称；③函数在区间内是增函数；④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.【答案】①②③【分析】对于①，通过计算可得答案；对于②，通过计算可得答案；对于③，通过的范围，求出的范围，通过单调性可判断；对于④，直接通过平移的规则可得答案；【详解】对于①，，故图象C关于直线对称，①正确；对于②，，故图象C关于点对称，②正确；对于③，，则，在上单调递增，故函数在区间内是增函数，③正确；对于④，由的图象向右平移个单位长度得，不为，④错误；故答案为：①②③.四、解答题17．如图，在平面坐标系xOy中，第二象限角的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据三角函数的定义求出，再利用同角三角函数关系结合角的范围，求出；（2）在第一问的基础上，代入求解即可.【详解】（1）由题知，，因为，所以，又为第二象限角，所以，即（2）.18．在中，，，.(1)求的面积；(2)求c及的值.【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用平方关系求得，应用三角形面积公式求的面积；（2）余弦公式求c，再应用正弦定理求.【详解】（1）由且，则，所以.（2）由，则，而，则.19．已知是等差数列的前项和，，.(1)求数列的通项公式；(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)12【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式基本量列出方程，求出公差，进而求出通项公式；（2）在第一问的基础上，求出，得到不等式，求出，结合，得到的最小值.【详解】（1）设数列的公差为，因为，所以.解得.所以.（2），所以.令，得，解得：（舍去）.因为，所以的最小值是12.20．已知函数.(1)求单调区间；(2)求在区间上的最值.【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；(2)最小值为，最大值为4【分析】（1）先求定义域，再求导，利用导函数的正负求出单调区间；（2）结合第一问求出最小值，再比较端点值求出最大值.【详解】（1）定义域为R，，令得：或，令得：，所以单调递增区间为，单调递减区间为（2）由（1）可知：在处取得极小值，且为最小值，故，又因为，而，所以，所以在区间上的最小值为，最大值为421．已知函数，.（1）求函数的单调递增区间；（2）求时，函数的值域.【答案】（1）；（2）【解析】（1）先根据降幂公式以及辅助角公式化简三角函数，令即可得出答案；（2）由得，由此即可求出答案．【详解】解：；（1）令，得，所以函数的单调递增区间为；（2）由得，∴，从而函数的值域为．【点睛】本题主要考查三角函数的化简以及性质，属于基础题．22．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场.根据市场调研情况，预计每枚纪念章的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下表.上市时间/天2632市场价/元1486073(1)根据上表数据，从①，②，③中选取一个恰当的函数描述每枚纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系（无需说明理由），并求出该函数的解析式；(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及每枚纪念章的最低市场价.【答案】(1)，(2)当该纪念章上市12天时，市场价最低，最低市场价为每枚48元.【分析】（1）根据表中数据的关系可选③来