2023-2024学年四川省绵阳市涪城区九年级上学期期中数学质量检测试题（含解析）

2023-2024学年四川省绵阳市涪城区九年级上学期期中数学质量检测试题本试卷分为试题卷和答题卡两部分。满分100分，考试时间90分钟。注意事项:1.答题前考生务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考点、考场号。2.选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨迹签字笔书写在答题卡的对应框内。超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。3.考试结束后，将答题卡交回。第I卷(选择题，共36分)一.选择题:本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．在一元二次方程﹣x2﹣4x+1＝0中，二次项系数和一次项系数分别是（）A．﹣1，4 B．﹣1，﹣4 C．1，4 D．1，﹣42．用配方法解方程x2+2x﹣5＝0时，下列配方结果正确的是（）A．（x﹣1）2＝5 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+1）2＝7 D．（x+1）2＝63．下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线 C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线4．巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管最大喷水高度为3米，此时喷水水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是（）A． B． C． D．5．下列关于x的一元二次方程中有两个相等的实数根的是（）A．（x﹣3）2＝4 B．x2＝x C．x2+2x+1＝0 D．x2﹣16＝06．某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，第3年的销售量为y台，则y关于x的函数解析式为（）A．y＝5000（1+2x） B．y＝5000（1+x）2 C．y＝5000+2x D．y＝5000x27．若将一个二次函数的图象向下平移2个单位，再向左平移3个单位，所得函数解析式是y＝x2，那么这个函数解析式为（）A．y＝（x+3）2﹣2 B．y＝（x+3）2+2 C．y＝（x﹣3）2﹣2 D．y＝（x﹣3）2+28．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，D、E分别在AB、AC上，CE＝﹣1，且△BED是等腰直角三角形，其中∠BED＝90°，则AD的值是（）A．1 B． C． D．9．已知关于x的一元二次方程x2+2m＝4x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m≥2 B．m＜2 C．m≥0 D．m＜010．定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{1，3}＝3，因此max{﹣1，﹣3}＝﹣1；按照这个规定，若max{x，﹣x}＝，则x的值是（）A．﹣1 B．﹣1或2+ C．2+ D．1或2﹣11．如图，将Rt△ABC绕着直角顶点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′，则∠CC′A的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．90°12．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值满足：当﹣1≤x≤1时，﹣1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝﹣x均是“闭函数”．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）是“闭函数”且抛物线经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），则a的取值范围是（）A． B．或 C．﹣1≤a≤1 D．﹣1≤a＜0或0＜a≤1二．填空题（共6小题，每小题4分,满分18分）13．若是关于自变量x的二次函数，则n＝．14．已知点A（3a﹣9，2﹣a）关于原点对称的点为A′，点A′关于x轴对称的点为A″，点A″在第四象限，那么a的取值范围是．15．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB'C'，点C′恰好落在边AB上，连接BB'，则∠C′B'B的度数是．16．如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为．17．如图，点P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝，PB＝，PC＝2，则∠APB的度数为．18．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），有以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③a﹣b≤m（am+b）（m为任意实数）；④若方程a（x+3）（1﹣x）＝﹣1的两根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣3＜x1＜x2＜1，其中说法正确的有．三．解答题（共6小题，满分46分）19．（6分）在下面的网格（每个小正方形的边长为1）中按要求画出图形并解答：（1）先将△ABC向下平移5格得△A1B1C1，再将△ABC以点O为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°得△A2B2C2；（2）请在图中以点O为坐标原点，建立适当直角坐标系，写出此时点A2、B2、C2的坐标．20．(8分)如图，已知抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m的对称轴为x＝1，请你解答下列问题：（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求出抛物线与x轴的交点；（Ⅲ）当y随x的增大而减小时x的取值范围．（Ⅳ）当y＜0时，x的取值范围．21．（7分）某公司的商品进价每件60元，售价每件130元，为了支持“抗新冠肺炎”，每销售一件捐款4元．且未来30天，该商品将开展每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，市场调查发现，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销量为y件，y与x满足一次函数关系，其对应数据如表：x（天）……1357……y（件）……35455565……（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）在这30天内，哪一天去掉捐款后的利润是6235元？（3）设第x天去掉捐款后的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少元？22．（7分）如图，长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的底端滑动1m，求梯子顶端下滑的区间．（精确到0.1米）23．（8分）某学校活动小组探究了如下问题，请你帮助他们完成解答过程：（1）操作发现：如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为边BC上的一点，连接AD，作∠FAD＝90°，并截取FA＝AD，连接DF．求证：BD2+CD2＝DF2；（2）灵活运用：如图2，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长．24．（10分）如图，在顶点为P的抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的对称轴l上取点A（h，k+14a），过A作BC⊥l交抛物线于B、C两点（B在C的左侧），点A′和点A关于点P对称；过A′作直线m⊥l，又分别过点B、C作BE⊥m和CD⊥m，垂足为E、D．在这里我们把点A叫此抛物线的焦点，BC叫此抛物线的直径，矩形（1）直接写出抛物线y＝14x2（2）求抛物线y＝14（x﹣3）2（3）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的直径为32，求a（4）①已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的焦点矩形的面积为2，求a的值．②直接写出抛物线y＝14（x﹣3）2+2的焦点矩形与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1有两个公共点时m答案1.B2．D3．A4．C5．C6．B7．D8．C9．B10．B11．B12．B13．214．2＜a＜315．20°16．y＝2x2﹣4x+417．150°18．②③19．解：A2（5，2），B2（1，4），C2（3，1）．20．解：（Ⅰ）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴m＝3；（Ⅱ）∵m＝3，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）；（Ⅲ）∵a＝﹣1＜0，对称轴为直线x＝1，∴当x＞1时，y的值随x的增大而减小，故答案为x＞1；（Ⅳ）当x＜﹣1或x＞3时，y＜0，故答案为x＜﹣1或x＞3．21．解：（1）设y与x满足的一次函数数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（1.35），（3，45）分别代入得：，解得：，∴y与x的函数关系式为y＝5x+30；（2）根据题意得：（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30）＝6235，整理得：x2﹣60x+851＝0，解得：x＝23或x＝37（舍），∴在这30天内，第23天去掉捐款后的利润是6235元；（3）由题意得：W＝（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30＝﹣5x2+300x+1980＝﹣5（x﹣30）2+6480，∵a＝﹣5＜0，∴当x＝30时，W有最大值，最大值为6480元．∴W与x之间的函数关系式是W＝﹣5（x﹣30）2+6480，第30天的利润最大，最大利润是6480元．22．解：设梯子顶端下滑了xm，依题意得：（8﹣x）2+（+1）2＝102，解得：x1＝8﹣≈0.9，x2＝8+≈15.1（不合题意，舍去）．答：梯子顶端下滑了约0.9m．23．（1）证明：∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠ACD＝90°∵∠FAD＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAF﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAF，∵AB＝AC，DA＝FA，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴BD＝CF，∠B＝∠ACF，∴∠ACF+∠ACD＝90°，∴∠DCF＝90°，∴DC2+CF2＝DF2，∴BD2+CD2＝DF2；（2）以CD为边在CD的右侧作等边三角形CDE，连接AE，∴CD＝CE＝DE，∠DCE＝∠CDE＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE＝5，∵∠ADC＝30°，∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°，∴DE＝＝＝4，∴DE＝DC＝4，∴CD的长为4．24．解：（1）∵抛物线y＝x2，∴此抛物线焦点的横坐标是0，纵坐标是：0+＝1，∴抛物线y＝x2的焦点坐标为（0，1），将y＝1代入y＝x2，得x1＝﹣2，x2＝2，∴此抛物线的直径是：2﹣（﹣2）＝4；（2）∵y＝（x﹣3）2+2，∴此抛物线的焦点的横坐标是：3，纵坐标是：2+＝3，∴焦点坐标为（3，3），将y＝3代入y＝（x﹣3）2+2，得，3＝（x﹣3）2+2，解得，x1＝5，x2＝1，∴此抛物线的直径时5﹣1＝4；（3）∵焦点A（h，k+），∴k+＝a（x﹣h）2+k，解得x1＝h+，x2＝h﹣，∴直径为：h+﹣（h﹣）＝＝，解得，a＝±，即a的值是±；（4）①由（3）得，BC＝，又CD＝A'A＝，所以，S＝BC•CD＝×＝＝2，解得，a＝±；②当1﹣＜m≤1或5≤m＜5+时，2个公共点，理由：由（2）知抛物线y＝（x﹣3）2+2的焦点矩形顶点坐标分别为：B（1，3），C（5，3），E（1，1），D（5，1），当y＝x2﹣2mx+m2+1＝