专题01第一章 勾股定理（基础类型10大类型）（原卷版）

专题01第一章勾股定理【专题过关】类型一、判断勾股数【解惑】下列各组数中，是勾股数的是（）A．8，24，25 B．8，15，17 C．10，20，26 D．14，36，39【融会贯通】1．（2023春·云南昭通·八年级统考期中）下列各组数中，是勾股数的是（

）A．1，1，2 B．2，3，4 C．6，8，10 D．6，6，62．（2023春·江苏南通·八年级统考期末）勾股定理最早出现在《周解算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，为正整数），则其弦是（结果用含的式子表示）（

）A． B． C． D．3．（2023春·安徽·八年级统考期末）下列各组数为勾股数的是（）A．3，4，5 B．5，10，12 C．，，1 D．8，15，164．（2023秋·全国·八年级专题练习）如果正整数满足等式，那么正整数叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（）A．67 B．34 C．98 D．735．（2023春·安徽蚌埠·八年级统考期中）课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．老师给出一组数让学生观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是老师提出以下问题让学生解决．(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11，______，______；(2)若第一个数用字母（为奇数，且）表示，那么后两个数用含的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：，，，…，则用含的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为______，______；(3)用所学知识证明（2）中你所发现的这类用字母表示的勾股数的规律．类型二、判断三边形成直角三角形【解惑】以下各组数据为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（

）A． B． C． D．【融会贯通】1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）A．2、3、4 B．4、5、6 C．5、11、12 D．8、15、172．（2023春·全国·八年级期中）若的三边为下列四组数据，则能判断是直角三角形的是（）A．1、2、2 B．2、3、4 C．6、7、8 D．6、8、103．（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级校联考期中）下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（）A． B．C． D．4．（2021秋·贵州贵阳·八年级校考期中）以下列三个数为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（

）A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，8，10 D．9，16，255．（2021春·全国·八年级专题练习）判断由线段组成的三角形是不是直角三角形．（1）＝7，＝24，＝25；（2）＝，＝1，＝；（3），，()；类型三、用勾股定理求面积【解惑】已知Rt△ABC中,，若a+b=14，c=10，则Rt△ABC的面积是（

）A．24 B．14 C．10 D．16【融会贯通】1．（2019秋·八年级课时练习）直角三角形两直角边，分别为6，8，则以该三角形的斜边为边长的正方形的面积等于.2．（2023春·湖南长沙·八年级校考期末）如图，，，，则阴影部分的面积是．3．（2023春·陕西安康·八年级统考期末）如图，在中，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是．4．（2022秋·辽宁阜新·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD中，，，，，，求四边形ABCD的面积.5．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，，根据图中所标数据求阴影部分（长方形）的面积．

类型四、用勾股定理求边长【解惑】如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（

）

A．7 B．8 C．9 D．10【融会贯通】1．（2023秋·山西运城·八年级统考期中）据说古埃及人曾用“拉绳”的方法画直角．现有一根长24厘米的绳子，请你利用（它拉出一个周长为24厘米的直角三角形，那么你拉出的直角三角形的斜边长为厘米．2．（2023春·贵州铜仁·八年级校考阶段练习）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的边长是3．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）如果一直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长是．4．（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）若一个直角三角形的两边长为12和5，则第三边上的高等于是．5．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）一个直角三角形的两边长为6和8，则它的斜边长为.类型五、勾股定理与网格【解惑】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的中，边长为有理数的边数为（

）．A．0 B．1 C．2 D．3【融会贯通】1．（2023秋·全国·八年级专题练习）图1、图2的两个正方形网格的面积分别为、，正方形、满足，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．2．（2023春·八年级单元测试）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则（

）A． B． C． D．3．（2023秋·北京西城·九年级北京四中校考开学考试）如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为．

4.（2023春·安徽宣城·八年级校联考期中）如图，的顶点都在边长为1的正方形网格上．于点D，则．5．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，和的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，且和关于直线成轴对称．

(1)求出的面积；(2)请在如图所示的网格中作出对称轴；(3)请在直线上作一点，使得最小；(4)请在线段的上方找一点，画出，使．类型六、旗杆高度问题【解惑】如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）（

）

A． B． C． D．【融会贯通】1．（2023春·云南昆明·八年级校考期中）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部的A处，则旗杆折断部分的高度是（）

A． B． C． D．2．（2023春·河南新乡·八年级新乡市第一中学校考期中）《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（）A． B．C． D．3．（2023春·重庆渝北·八年级重庆市松树桥中学校校考阶段练习）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”设绳索的长为x尺，下列方程正确的是（

）．

A． B．C． D．4．（2023春·河南安阳·八年级校考期中）在第十四届全国人大一次会议召开之际，某中学举行了庄严的升旗仪式．看着着冉升起的五星红旗（如图1），小乐想用刚学过的知识计算旗杆的高度．如图2，为旗杆上用来固定国旗的绳子，点距地面的高度．将绳子拉至的位置，测得点到的距离，到地面的垂直高度，求旗杆的高度．5．（2023春·河南洛阳·八年级统考期中）学过勾股定理后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度，得到如下信息：测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长米如图；当将绳子拉直时，测得此时拉绳子另一端的手到地面的距离为米，到旗杆的距离为米如图．根据以上信息，求旗杆的高度．

类型七、大树折断问题【解惑】如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面处折断，树顶端落在离树底部处，则树折断之前高（

）

A． B． C． D．【融会贯通】1．（2021春·广东惠州·八年级校考期中）如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面处折断，树顶端落在离树底部处，则树折断之前高（）

A． B． C． D．2．（2023秋·河北廊坊·九年级校考开学考试）一个大树高8米，折断后大树顶端落在离大树底端2米处，则折断处离地面的高度是多少米？

3．（2023秋·全国·八年级专题练习）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（

）A． B．C． D．4．（2023春·重庆忠县·八年级校考阶段练习）在一棵大树距地面10米的地方有两只猴子，一只猴子往上爬到树顶后，再沿直线由树顶跳到地面的池塘边喝水，另一只猴子沿树干滑到树底，再沿地面爬到同一地方喝水，结果两只猴子经过的路程都为15米，则大树的高为．5．（2023春·湖北恩施·八年级统考期中）《九章算术》中“折竹”问题（如图）．今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？答：折者高尺（1丈=10尺）

类型八、水中筷子问题【解惑】一个圆柱形铁桶（厚度不计）的底面直径为，高为，则这个桶内所能容下的最长木棒长为（

）A． B． C． D．【融会贯通】1．（2023春·广西玉林·八年级统考期中）如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为，高为，今有一支的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为（）

A． B． C． D．不能确定2.（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是，内壁高．若这支笔长，则这支笔在笔筒外面部分的长度是(

)A． B． C． D．3．（2023·广东潮州·统考模拟预测）如图，一根长为18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围为．4．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是．5．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，一个直径为的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外，当筷子倒向杯壁时(筷子底端不动)，筷子顶端刚好触到杯口，求筷子长度和杯子的高度．

类型九、航海问题【解惑】如图，一轮船从港口出发以16海里/时的速度向北偏东方向航行，另一轮船同时从港口出发以12海里/时的速度向南偏东方向航行，航行2小时后，两船相距（）

A．25海里 B．30海里 C．40海里 D．60海里【融会贯通】1．（2023春·山西大同·八年级统考阶段练习）如图，两艘轮船和分别从港口出发，轮船以4海里/时的速度向东北方向航行，轮船以3海里/时的速度从港口出发向东南方向航行，行驶5个小时后，两船的距离为海里．2．（2023春·黑龙江大庆·七年级统考阶段练习）解放军某连一、二班进行野营训练，一班以的速度向北偏东方向行进；与此同时，二班在同一地点以的速度向南偏东方向行进，后，两班相距．3．（2023春·吉林·八年级统考期中）如图，我军巡逻艇正在处巡逻，突然发现在南偏东方向距离12海里的处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点处将其追上，求我军巡逻艇的航行速度是多少？

4．（2023春·云南昆明·八年级统考期末）如图，已知，两艘船同时从港口出发，船以40km/h的速度向东航行，船以的速度向北航行，它们离开港口后相距多远？

5．（2023春·重庆巴南·八年级统考期末）在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里．

(1)求点A与点B之间的距离；(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）．类型十、