椭圆和双曲线综合

椭圆和双曲线综合练习卷1.设椭圆，双曲线，（其中）的离心率分别为，则（）A．B．C．D．与1大小不确定【答案】，，所以，故选B.2.已知双曲线的左焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C设在渐近线上，直线方程为，由，得，即，由，得，因为在双曲线上，所以，化简得，．故选C．3.已知，若圆与双曲线有公共点，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A由圆及双曲线的对称性可知，当，即时，圆与双曲线有公共点，则离心率，故选A．4.为双曲线的渐近线位于第一象限上的一点，若点到该双曲线左焦点的距离为，则点到其右焦点的距离为（）A．B．C．D．【答案】A由题意，知，，，渐近线方程为，所以不妨令，则有，解得，所以，所以点到其右焦点的距离为，故选A．5.设分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值为（）A.B.C.D.【答案】B由椭圆与双曲线的定理，可知，所以，，因为，所以，即，即，因为，所以，故选B．6.若圆与双曲线的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【答案】A由题意得，选A.7.已知双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C直线方程为，即，由题意，变形为，∵，∴，．故选C．8.已知双曲线的左，右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支相交于两点，且点的横坐标为2，则的周长为（）A．B．C．D．【答案】D易知，所以轴，，，又，所以周长为．9.若点F1、F2分别为椭圆C:的左、右焦点,点P为椭圆C上的动点,则△PF1F2的重心G的轨迹方程为（）A． B．C． D．【答案】C10.过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|＝4，则满足条件的直线l有（）A．4条B．3条C．2条D．无数条【答案】B∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，∴过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，当直线与实轴垂直时，有，∴，∴直线AB的长度是4，综上可知有三条直线满足|AB|=4，故选B．11.在区间和内分别取一个数，记为和，则方程表示离心率小于的双曲线的概率为（）A．B．C．D．【答案】B因为方程表示离心率小于的双曲线，.它对应的平面区域如图中阴影部分所示，则方程表示离心率小于的双曲线的概率为：,故选B.12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线的离心率为，若双曲线上一点使，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B由双曲线方程得，由双曲线定义得，因为，所以由正弦定理得，可解得，由知，根据余弦定理可知，，故选B.13.已知点，是椭圆上的动点，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C设，则，由题意有，所以所以，当时，有最大值，当时，有最小值，故选C.14.椭圆的左、右顶点分别为,点在上且直线的斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是 （）A． B． C． D．【答案】B15.已知分别是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点,若是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是（）A． B． C． D．答案：C16.过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，则的最小值为（）A．10B．13C．16D．19【答案】B【解析】如图所示，根据切线，可有，，所以最小值为.17.过点作直线与双曲线交于A，B两点，使点P为AB中点，则这样的直线（）A．存在一条,且方程为 B．存在无数条C．存在两条,方程为 D．不存在答案：D18.已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．【答案】[2，＋∞)19.已知双曲线：的左、右焦点分别是，，正三角形的一边与双曲线左支交于点，且，则双曲线的离心率为．【答案】【解析】设，则，所以20.已知双曲线的左、右焦点分别为，是圆与位于轴上方的两个交点，且，则双曲线的离心率为______________．【答案】【解析】由双曲线定义得，因为，所以，再利用余弦定理得，化简得21.已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为__________.【答案】【解析】由双曲线定义可知，故，可知当三点共线时，最小，且最小值为.22.如图，已知双曲线上有一点,它关于原点的对称点为，点为双曲线的右焦点，且满足,设,且,则该双曲线离心率的取值范围为．【答案】【解析】设是左焦点，由对称性得，设，，则，又，因为，，又，则．又，，∴，，再由，得，即．23.以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为正常数，，则动点P的轨迹为椭圆；②双曲线与椭圆有相同的焦点；③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点及定直线的距离之比为的点的轨迹方程为．其中真命题的序号为_______【答案】②③【解析】①中需要对的取值范围加以限定；②中有公式可知两个曲线的焦点分别是；③中方程的两个根分别是和；④中直线的方程应该是；故答案为②③.24.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为.设线段的中点为，若，则该椭圆离心率的取值范围为【答案】25.过点作一直线与椭圆相交于A．B两点，若点恰好为弦的中点，则所在直线的方程为．【答案】【解析】设，分别代入椭圆的方程中，可得：①②，由①-②可得，，因为点是弦的中点，∴，∴=，又因为直线过点（1,1），所以直线的方程为，即.26.设F1，F2分别为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2eq\r(3).（1）求椭圆C的焦距；（2）如果eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，求椭圆C的方程．解：(1)设焦距为2c，则F1(－c,0)F2(c,0)∵kl＝tan60°＝eq\r(3)∴l的方程为y＝eq\r(3)(x－c)即：eq\r(3)x－y－eq\r(3)c＝0∵f1到直线l的距离为2eq\r(3)∴eq\f(|－\r(3)c－\r(3)c|,(\r(3))2＋(－1)2)＝eq\f(2\r(3)c,2)＝eq\r(3)c＝2eq\r(3)∴c＝2∴椭圆C的焦距为4(2)设A(x1，y1)B(x2，y)由题可知y1＜0，y2＞0直线l的方程为y＝eq\r(3)(x－2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)(x－2),\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1))得(3a2＋b2)y2＋4eq\r(3)b2y－3b2(a2－4)＝0由韦达定理可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝\f(4\r(3)b2,3a＋b2)①,y1，y2＝\f(－3b2(a2－4),3a2＋b2)②))∵eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))∴－y1＝2y2，代入①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－y2＝－\f(4\r(3)b2,3a2＋b2)③,－2y\o\al(2,2)＝\f(－3b2(a2－4),3a2＋b2)④))eq\f(③2,④)得eq\f(1,2)＝eq\f(48b4,(3a2＋b2)2)·eq\f(3a2＋b2,3b2(a2－4))＝eq\f(16b2,(3a2＋b2)(a－4))⑤又a2＝b2＋4⑥由⑤⑥解得a2＝9b2＝5∴椭圆C的方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝127.已知双曲线的中心在坐标原点,焦点在轴上,离心率,虚轴长为.（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线与曲线相交于两点（均异于左、右顶点），且以为直径的圆过双曲线的左顶点,求证：直线过定点,并求出定点的坐标.【答案】（1）（2）试题解析：（1）设双曲线的标准方程为,由已知得又,解得,所以双曲线的标准方程为.设,联立,得,有,,以为直径的圆过双曲线的左顶点,,即,,解得或.当时,的方程为,直线过定点,与已知矛盾；当时,的方程为,直线过定点,经检验符合已知条件,所以直线过定点,定点坐标为.28.已知椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋eq\f(1,2)对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．解(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－eq\f(1,m)x＋b.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝－\f(1,m)x＋b，))消去y，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,m2)))x2－eq\f(2b,m)x＋b2－1＝0.因为直线y＝－eq\f(1,m)x＋b与椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋eq\f(4,m2)>0，①设M为AB的中点，则Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2mb,m2＋2)，\f(m2b,m2＋2)))，代入直线方程y＝mx＋eq\f(1,2)解得b＝－eq\f(m2＋2,2m2).②由①②得m<－eq\f(\r(6),3)或m>eq\f(\r(6),3).(2)令t＝eq\f(1,m)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),2)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(6),2)))，则|AB|＝eq\r(t2＋1)·eq\f(\r(－2t4＋2t2＋\f(3,2)),t2＋\f(1,2))，且O到直线AB的距离d＝eq\f(t2＋\f(1,2),\r(t2＋1)).设△AOB的面积为S(t)，所以S(t)＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)eq\r(－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2－\f(1,2)))2＋2)≤eq\f(\r(2),2)，当且仅当t2＝eq\f(1,2)时，等号成立．故△AOB面积的最大值为eq\f(\r(2),2).29.已知椭圆的左焦点为,离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为c，（1）求直线的斜率；（2）求椭圆的方程；（3）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围.【答案】(I)；(II)；(=3\*ROMANIII).【解析】(I)由已知有，又由，可得，，设直线的斜率为，则直线的方程为，由已知有，解得.(II)由(I)得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立，消去，整理得，解得或，因为点在第一象限，可得的坐标为，由，解得，所以椭圆方程为(=3\*ROMANIII)设点的坐标为，直线的斜率为，得，即,与椭圆方程联立，消去，整理得，又由已知，得，解得或，设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，整理可得.=1\*GB3①当时，有，因此，于是，得=2\*GB3②当时，有，因此，于是，得综上，直线的斜率的取值范围是30.已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．（1）求椭圆的离心率；（2）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点