2021届甘肃省民乐县一中高三年级上册1月一诊断考试数学（理）试卷及答案

2021届甘肃省民乐县一中高三上学期1月一诊断考试

数学（理）试卷

★祝考试顺利★

（含答案）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）

1.已知集合A=（x|；＜2”21,8=｛x|ln（x—；）＜（）1则An&3）=（）

c2sin2acos-a/、

2.------------------------=()

1+cos2acos2a

A.tanaB.tan2aC.1D.—

2

3.已知。为△ABC的边8c的中点，AABC所在平面内有一个点“满足》=丽+衣，则

Igl则的值为（)

而

A.-B.-C.1D.2

23

4.在锐角△ABC中，BC=LNA=2NB,则4c的取值范围是()

5.数列｛玉｝满足西=1,々=2,且'-+」-=2（〃N2）,则x“等于（）

3x“+i%

A.4B.（I）-1C.（1）«D.告

6.算盘是中国传统的计算工具,是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟

大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”一词最早

见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时,经纬三才，”北周甄为此作

注,大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的下图

是一把算盘的初始状态，自右向左,分别是个位、十位、百位、，上面一粒珠（简称上珠）代

表5,下面一粒珠（简称下珠）是1,即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小现在从个位

和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠往上拨2粒下珠,算盘表示的数为质数（除了1和

本身没有其它的约数）的概率是（）

1

121

B.-C.-D.-

4036

y<x+l

8.设x,y满足约束条件,y22%-1,若目标函数z=a/zx+y(a>0,/?>())的最大值为11,贝Ija+A

x>0,y>0

的最小值为（）

A.2B.4C.6D.8

9,正方体A8CO-A8cA棱长为4,眼4P分别是棱AQ,的中点，则过加“P三点

的平面截正方体所得截面的面积（）

A.273B.4GC.673D.1273

10.已知函数/(x)=cosxsinx(xeR)，给出下列四个命题：

①若/(%)=-/(/)，则玉=一々；②/(x)的最小正周期是2%；

③“X)在区间［-上是增函数；④“X)的图象关于直线1=彳对称；

⑤当xe-p|时，/(x)的值域为-乎当其中错误的命题为()

A.①②⑤B.①③④C.②③D.③④

22

11.双曲线C：十/=1(。>°力>°)的左，右焦点分别为耳(一3°)，鸟(W"两点在双曲

线C上，且MN//£%|耳周=4|MN|,线段KN交双曲线C于点。，且恒。|=|。叫，，则双曲

线。的离心率为()

A.GB.2C.>/5D.瓜

12.已知定义在??上的函数y=/(x)满足函数y=/(x-l)的图象关于直线x=l对称，且当

xe(fo,0),/(%)+靖(%)<0成立((。)是函数/(x)的导数)，若a=g/(log2立)，

8=(ln2)/(ln2),c=2/(logJ)则a",c的大小关系是()

24

A.c>a>bB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

二、填空题：本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.设关于x的方程f-2处+2-m=0(meR)的两个实数根分别是a,p，则〃+,+5的.最

小值为.

14.若复数：满足|z|=l,则|z-7c[的最小值为.

15.已知点A（3,l）,在抛物线V=2x上找一点月使得归目+|酬取最小值（F为抛物线的焦点），

此时点户的坐标是.

16.如图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,如此共可截去八个三棱锥,

得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等,其中八个为正三角形，六个为正方

形,称这样的半正多面体为二十四等边体若该二十四等边体棱长为1,则该二十四等边体

的体积为.

三、解答题（共70分，应写出解题过程或演算步骤）

17.（12分）

已知等差数列｛叫的前〃项和为S“，公差d>（）,且勺。3=40,%+4=13;公比为

q（0<4<l）的等比数列也,｝,中，耳，&,b5]

[OU3乙ZX）oZJ

（1）求数列｛%｝,也｝的通项公式。“，4;

（2）若数列匕｝满足q,=4+（d）2,求数列｛%｝的前"项和7；.

18.（12分）

已知椭圆的中心为原点0,长轴在x轴上,上顶点为4左、右焦点分别为6，居，线段。6，

OF2的中点分别为B,,B2,且DAB#2是面积为4的直角三角形.

(I)求该椭圆的离心率和标准方程

(II)过用作直线/交椭圆于P、0,PB2LQB2,求直线/的方程.

19.（12分）

如图，三棱柱A8C—A4G中A6=AC=A4,=5G=2,ZAA,C,=60°,平面ABC,，平面

AA,C,C,AG与AC相交于点D.

(I)求证：BOL平面A41cC；

(II)求二面角C-AB-C的余弦值.

20.(12分)

如图，面积为S的正方形ABC中有一个不规则的图形M,可按下面方法估计〃的面积：在正

方形ABQD中随机投掷〃个点若"个点中有m个点落入"中,则"的面积的估计值为以S.假

n

设正方形ABC。的边长为2,"的面积为1,并向正方形A8CO中随机投掷10000个点，以不表示

落入"中的点的数目.

(H)求用以上方法估计"的面积时,"的面积的估计值与实际值之差在区间(-0.03,0.03)内

的概率.

附表：p(k)=£(G'oooox0.25'x0.751")

i=0

k2424242525742575

P(k)0.04030.04230.95700.9590

选做题：本题满分10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的

第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

丫=22ccqf)

22.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为",(。为参数)，以坐标原点0

y=2sin6

为极点,X轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线/的极坐标方程为0cos(。-g=1.

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)已知射线=ae(0,马，若加与圆C交于点4(异于点0)，力与直线/交于点8

2

求3的最大值.

\OB\

23.设不等式卜+1|-忖-"<2的解集为4

(1)求集合力；

(2)若a,6,ceA,证明：-->1.

ab-c

2021届甘肃省民乐县一中高三上学期1月一诊断考试

数学(理)参考答案

一、选择题

题号123456789101112

答案BBCDDAABDADC

二、填空题

13.714.615.(-,1)16.也

23

三、解答题

17.解：(1)因为｛4｝为等差数歹5所以4+%=々+%=13

又4%=40,a2,.是方程-—13x+40=0的两实数根.

又公差d>0,所以〃2<。3,所以。2=5,=8

q+d=5

所以

q+2d=8

角窣得q=2,d=3,所以。〃=3〃一1,

因为公比为以0<q<1)的等比数列也}中，

b},4,bse/J—_,J—_,—_L,—J__11,

351600,322,200,8,2J

所以，当且仅当伪=L4=!，仇=’时成立.

2832

此时公比“J所以a=冉”.

h}42\2J

(2)因为c.=(3〃—1)+(；)"

所以(=[2+5+8H-----++*+----------F、)

1Y).

n(2+3/?-1)411

“+工n-\------

22233^4"

4

22

18.解：(I)设椭圆的方程为r列+方=l(a>b>0),8(c,0)

是的直角三角形，

ZB,AB2为直角，从而|(M|=|0鸟|,即。=].

c2=a2-b2,a2=5b2,c2=4b~,

：.e=3=Z小,

a5

在△AqB?中，OALB}B2,S=；|g62l|OA|=]〃=〃

・「S=4,「"2=4,二.4=5〃=20

r2v2

「•椭圆标准方程为二+匕=1;

204

(II)由(I)知始(—2,0),星(2,0),由题意,直线PQ的倾斜角不为0,

故可设直线PQ的方程为x=加y-2,

代入椭圆方程,消元可得(1+5)):-4:殴-16=0①

设P(X|,y),Q(x2,y2),

.4m-16

••X+y2=^T7'

m+5m+5

••,郎=Oi-2,y),醺=(务-2,%)

16/4

W-B^Q=(x,-2)(x,-2)+y]y2=-^-^

m'+5

PB2±QB2,郎•即=0

故直线/的方程为x+2y+2=0和x—2y+2=0.

19.解：（I）依题意，侧面AAGC是菱形，。是AG的中点

因为BA=BC1,所以BO_LAG，

又平面ABC]J.平面AA|C|C,且BDu平面ABC^,

平面ABC,n平面A4,C,C=ACX,所以8。J_平面AAtCtC.

(ID以，为原点建立空间直角坐标系如图所示，

由已知可得AC〕=2,AD=l,BD-A^D—DC-,BC=A/6

故。(0,0,0),40,0,0),5(0,0,73),C,(-1,0,0),C((),8,())，

贝I]通=(一1,(),百)，元=。6,一百)

设平面ABC的一个法向量是C.-AB-C,

则”即X=6z

，解得

y=z

令z=1,得〃=(G,1,1)

显然配=(0,73,0)是平面ABC,的一个法向量,

n-DC73V5

所以cosDC^

InllCI_75x73-T

即二面角C「AB-C的余弦值是好.

20.解：(I)每个点落入"中的概率均为p=；.

依题意知X〜5(10000」)

4

EX=10000x1=2500.

4

Y

(II)依题意所求概率为P(-0.03<一一*4-1<0.03),

10000

x

尸(一0.03<-----x4-l<0.03)

10000

=P(2425<X<2575)

?574

=Ec：00nox0.25、0.75四3

1=2426

25742425

10n10000

=EC00mX0.25X0.751°g£C：00Gox0.25xOJS'',

1=01=0

=0.9570-0.()423

=0.9147

-2tx~+f-2

21.(D/1(%)=

(x+l)2+tx+1(x+l)2«x+l)

①当此2时，f\x)>0.即/(x)是［0,+8)上的增函数;

(2)由不等式e，">-220,xe[0,+oo)恒成立,

得不等式>ln2,xe［0,+oo)恒成立.

①当此2时，由(1)知/(x)是［0,+8)上的增函数,

/(x)k=〃0)=l>ln2,即当出2时，

不等式2In2,xe[0,+oo)恒成立.

②当0</<2时，XG

,+oo时/'(x)>0.

7

令芹则〃＞。"高

=/(〃)=詈+2ln(l+〃)—ln(l+/?),

要使不等式/(x)2in2,xe[0,+oo)恒成立,

只要上幺+21n(l+〃)-ln(l+〃2)zin2,

1+4

令g(〃)=+2ln(l+〃)-ln(l+/?)-In2,〃w(0,+00)

1+4

，/、-222〃2〃2〃

g(〃)=------H-----------7=-------------<0,

(!+//)•l+〃l+〃-(1+〃)-l+〃-

二g(〃)是(0,+8)上的减函数,又g⑴=(),

g(")20=g(l),贝

即解曾导fiL故1W/W2.

综合①,②得此1,即大的取值范围是U,+oo).

x=2+2cos6、出十仝她八

22.(1)由圆C的参数方程为八消去参数氏

y=2sin0

得到圆的普通方程为(x-2)2+丁=4,

所以其极坐标方程为产一4rcos6=0,即0=4cos(9；

(2)由题意，将。=a代入圆C的极坐标方程得|。4|=幺=4costz；

将8=a代入/的极坐标方程，