江苏省宿迁市剑桥国际学校高三数学文期末试卷含解析

江苏省宿迁市剑桥国际学校高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义域为的偶函数满足对，有，且当时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B2.要得到函数y=sin(2x+)的图象,只需将函数y=cos2x的图象

（

）A.向左平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位

D.向右平移个单位 参考答案：D3.设f（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）的奇函数，其导函数为f'（x），且，当x∈（0，π）时，f'（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于x的不等式的解集为（）A． B．C． D．参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】设g（x）=，利用导数判断出g（x）单调性，根据函数的单调性求出不等式的解集．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）=，∵f（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的奇函数，故g（﹣x）===g（x）∴g（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的偶函数．∵当0＜x＜π时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0∴g'（x）＜0，∴g（x）在（0，π）上单调递减，∴g（x）在（﹣π，0）上单调递增．∵f（）=0，∴g（）==0，∵f（x）＜2f（）sinx，即g（）?sinx＞f（x）；①当sinx＞0时，即x∈（0，π），g（）＞=g（x）；所以x∈（，π）；②当sinx＜0时，即x∈（﹣π，0）时，g（）=g（﹣）＜=g（x）；所以x∈（﹣，0）；不等式f（x）＜2f（）sinx的解集为解集为（﹣，0）∪（，π）．故选：B．4.设方程和方程的根分别为和，设函数，则（

）A．

B．C．

D．参考答案：A略5.定义域为的函数的图象的两个端点为A,B,M图象上任意一点，其中，若不等式恒成立，则称函数上“k阶线性近似”．若函数上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围是(

) A． B．

C． D．参考答案：B6.已知函数，若对于任一实数x，与至少有一个为正数，则实数a的取值范围是（

）

A.［0，3）

B.［3，9）

C.［1，9）

D.［0，9）参考答案：D略7.函数的图像可能是（

）参考答案：B略8.已知函数且则下列结论正确的是()(A)

(B)(C)

(D)参考答案：C略9.“a＞b＞0”是“ab＜”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略10.已知，函数在上单调递减，则的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：A

不合题意排除,

合题意排除

另：，

得：.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若实数满足，则的最小值为

．参考答案：112.函数y=f（x）图象上不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）处的切线的斜率分别是kM，kN，规定φ（M，N）=（|MN|为线段MN的长度）叫做曲线y=f（x）在点M与点N之间的“弯曲度”．①函数f（x）=x3+1图象上两点M与点N的横坐标分别为1和2，φ（M，N）=；②设曲线f（x）=x3+2上不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），且x1?x2=1，则φ（M，N）的取值范围是．参考答案：（0，）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】对于①，由y=x3+1，得y′=3x2，则kM=3，kN=12，则|kM﹣kN|=9，y1=2，y2=9，则|MN|==5，即可求出φ（M，N）==；对于②，利用定义，再换元，即可得出结论．【解答】解：对于①，由y=x3+1，得y′=3x2，则kM=3，kN=12，则|kM﹣kN|=9，y1=2，y2=9，则|MN|==5，φ（M，N）==；②曲线f（x）=x3+2，则f′（x）=3x2，设x1+x2=t（|t|＞2），则φ（M，N）===，∴0＜φ（M，N）＜．故答案为，（0，）．【点评】本题考查新定义，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．13.已知则_____________.参考答案：略14.集合中，每两个相异数作乘积，将所有这些乘积的和记为，如：；；则=

▲

．（写出计算结果）

参考答案：546

15.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即.给出如下四个结论：①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”.其中，正确的结论的个数是

．参考答案：3，，真；，，假；显然③真；若则,,则,若,则,，,④真.16.若正数a，b满足3+log2a=1+log4b=log8（a+b），则a=，b=

．参考答案：，．【考点】4H：对数的运算性质．【分析】正数a，b满足3+log2a=1+log4b=log8（a+b），利用对数的运算法则与单调性可得：8a==，解出即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足3+log2a=1+log4b=log8（a+b），∴log2（8a）==，∴8a==，解得a==b．故答案为：，．17.若满足则的最小值为____________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且nan+1=2Sn（n∈N*）．（I）证明数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（II）数列{bn}满足，，对任意n∈N*，都有．若对任意的n∈N*，不等式2n+1bnsn＜3×2n+1bn+λn（n+2）恒成立，试求实数λ的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）∵nan+1=2Sn，∴（n﹣1）an=2Sn﹣1（n≥2），两式相减得nan+1﹣（n﹣1）an=2an，∴nan+1=（n+1）an，即（n≥2），由a1=1，可得a2=2，从而对任意n∈N*，，又，即是首项公比均为1的数列，所以=1×1n﹣1=1，故数列{an}的通项公式an=n（n∈N*）．（II）在数列{bn}中，由，知数列{bn}是等比数列，且首项、公比均为，∴数列{bn}的通项公式故原不等式可化为（1﹣λ）n2+（1﹣2λ）n﹣6＜0对任意的n∈N*，恒成立，变形可得λ＞对任意的n∈N*，恒成立，令f（n）===1﹣=1﹣=1﹣，由n+6≥7，单调递增且大于0，∴f（n）单调递增，且当n→+∞时，f（n）→1，且f（n）＜1，故λ≥1故实数λ的取值范围是[1，+∞）略19.（12分）已知椭圆C：经过点，且离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线：与椭圆C交于两个不同的点A，B，求面积的最大值（O为坐标原点）．参考答案：（1）由题意，知考虑到，解得所以，所求椭圆C的方程为.

.................................................4分（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，整理得.由，得.

①设，，则，.于是.又原点O到直线AB：的距离.所以.因为，当仅且当，即时取等号.所以，即面积的最大值为.

..............................12分20.某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和,现安排甲组研发新产品,乙组研发新产品.设甲,乙两组的研发是相互独立的.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品研发成功,预计企业可获得万元,若新产品研发成功,预计企业可获得利润万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.参考答案：试题解析:(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件且事件为事件的对立事件,则事件为新产品都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为,则,再根据对立事件概率之间的概率公式可得,所以至少一种产品研发成功的概率为.21.（本题满分12分）将正弦函数f1（x）＝sinx与余弦函数f2（x）＝cosx线性组合成函数

f（x）＝Af1（x）＋Bf2（x）(A，B是常数,xR)，函数f（x）的图象称（A，B）曲线．（1）若（A，B）曲线与（C，D）曲线重合，求证:A＝C，B＝D；（2）已知点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）且x1－x2≠k（），求证：经过点P1与点P2的（A，B）曲线有且仅有一条．参考答案：

22.如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，CA=CB，A1B⊥AC1．（1）求证：平面A1BC⊥平面ABC1；（2）若直线AA1与底面ABC所成的角为60°，求直线AA1与平面ABC1所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出BC⊥侧面ACC1A1，所以AC1⊥BC，再由A1B⊥AC1，得到AC1⊥面A1BC，由此能证明面ABC1⊥面A1BC．（2）利用等体积方法，求出A1到平面ABC1的距离，即可求直线AA1与平面ABC1所成角的正弦值．【解答】（1）证明：因为底面ABC是等腰直角三角形，CA=CB，所以BC⊥AC因为侧面ACC1