概率论与数理统计：随机变量与分布函数

概率论与数理统计概率论与数理统计概率论部分

2第二章随机变量与分布函数§2.1随机变量足球比赛:Ω

={负,平,胜},定义变量:

ξ

:Ω---->R,ξ(负)=0,ξ(平)=1,ξ(胜)=3

ξ:ΩR,ξ(H)=1,ξ(T)=0掷骰子:Ω

={1,2,3,4,5,6}

ξ(1)=1,……,ξ(6)=6引入随机变量的必要性随机变量：把随机试验的结果数量化。3事实上，当A是实轴上任意区间、单点集或由它们经过可列次交、并、补、差运算而得到的集合时，{ξ∈A}都是事件，都可测，即都有概率可言。4例2.掷骰子:Ω

={1,2,3,4,5,6}.M是由Ω的所有子集构成的集族。ξ(ω)=ω,ω=1,2,3,4,5,6是r.v.注：ξ一般看作实轴上的随机点坐标.5有了随机变量ξ,以前的各种随机事件均可用ξ的变化范围来表示:如例1中:A=“正面朝上”={ξ

=1},C=“正面朝上或背面朝上”={ξ

=1或ξ

=0}=S,反过来,ξ的一个变化范围表示一个随机事件.{0<ξ

<2}=“正面朝上”.{ξ

<0}=,{-5<ξ

<5}=S.62.分类：(2)可用随机变量ξ的取值描述事件.(2)随机变量随着试验的结果而取不同的值,在试验之前不能确切知道它取什么值,但是随机变量的取值有一定的统计规律性—概率分布.(1)离散型随机变量;(2)

非离散型随机变量.10连续型随机变量20奇异型随机变量注:

(1)任何随机试验都可以找到相应的随机变量7§2.2离散型随机变量的概率分布1.离散型随机变量的定义r.v.ξ的可能取值只有有限个或可列个,则称是离散型的r.v.说明离散型r.v.包含两个要素:它的所有可能取值它取每个值的概率.

8ξx1x2…xn…pkp1p2…pn...2.离散型r.v.的分布律93.分布律的性质4.求分布律的步骤:(1)明确ξ的一切可能取值;(2)利用概率的计算方法计算ξ取各个确定值的概率,即可写出X的分布律.10例1.设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯,每盏信号灯以概率p禁止汽车通过,以ξ表示汽车首次停下时已通过信号灯的盏数,求ξ的分布律.(设各信号灯的工作是相互独立的).作业：2.1,2.5115.几种重要的离散型r.v.的分布律：

ξx1x2

pkp1-p其中0<p<1,若x1=0,x2=1,则称为0－1分布P{ξ=k}=pk(1-p)1-k,k=0,1.(一)两点分布

12(二)泊松分布(Poisson)泊松分布有很多应用.通常用来刻画一段间隔中某类事件发生的次数例如,一定时间间隔内电话交换台收到的呼唤次数，某一地区一个时间间隔内发生的交通事故数等都服从泊松分布.作业：2.6(可查书P204表1)13(三)贝努利试验

(二项分布)例2.设ξ是n重贝努利试验中事件A发生的次数,则ξ是一个随机变量,我们来求它的分布律.若n=4,求:P{ξ

=k}，k=0,1,2,3,4.一般地有称ξ服从参数为n,p的二项分布,记为ξ

~b(n,p).当n=1时,P{ξ

=k}=pk(1-p)1-k,k=0,1,即为0-1分布.14二项分布中最可能出现次数的定义与推导定义:ξ

~b(n,p),对于固定的n和p,若P{ξ=k}最大,则称k为最可能出现的次数,简称为最可能次数15

当(n+1)p=整数时,在k=(n+1)p与(n+1)p–1处的概率取得最大值对固定的n、p,P(ξ=k)的取值呈不对称分布固定p,随着

n

的增大，其取值的分布趋于对称

当(n+1)p

整数时,在k=[(n+1)p]

处的概率取得最大值16例

3独立射击5000次,命中率为0.001,求命中次数不少于1次的概率.17令X表示命中次数,则X~b(5000,0.001)问题如何计算？

18泊松定理1.在定理的条件下,二项分布的极限分布是泊松分布.2.当n很大且p又较小时（p≤0.1）,19证

记20解令X表示命中次数,则令此结果与用二项分布算得的结果

0.9934仅相差万分之一.利用Poisson定理再求例3

X~B(5000,0.001)21例4.设有80台同类型的设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率大小。作业：1.25

,2.3,2.4,2.722(四）几何分布设某射手一次射击命中率为p，今向某一目标连续射击直到击中目标一次为止，试求到击中目标时所射击的次数ξ的分布律。23若该人共准备购买10次,共10元钱,即如果中奖就停止,否则下次再购买1张,直到10元共花完为止,求购买次数η的分布律.例5设某种社会定期发行的奖券,每券1元,中奖率为p,某人每次购买1张奖券,如果没有中奖下次继续再买1张,直到中奖为止,求购买次数ξ的分布律.作业：2.22425§3随机变量的分布函数1.引入的必要性1)对于非离散型r.v.其可能取值不能一一列举;2)对于连续型r.v.ξ,P{ξ=a}=03)我们常常对取值落在某一区间的概率感兴趣P{x1<ξ

≤

x2}=P{ξ

≤x2}-P{ξ

≤x1},因此我们只要考虑P{ξ

≤x}型的概率就可以了.262.定义：设r.v.ξ,x

R,则F(x)=P{ξ≤x}称为ξ的分布函数.(2)无论是离散型r.v.还是非离散型r.v.,分布函数都可以描述它.注(1)P{x1<ξ≤x2}=P{ξ≤x2}-P{ξ≤x1}=F(x2)-F(x1).3.性质:(1)F(x)是单调不减函数.

x2>x1,F(x2)-F(x1)=P{x1<ξ

≤x2}

0.(2)0≤F(x)≤1,F(-

)=0,F(+

)=1.(3)F(x)

是右连续的,F(x+0)=F(x).(3)F(x)是普通的实数到实数上的函数(4)把ξ看成实数轴上随机点，F（x）就是ξ落在x点左方的概率。27注2829例1.离散型r.v.,已知分布律可求出分布函数.

ξ-123

pk1/41/21/4

求：ξ的分布函数,并求P{ξ≤1/2},P{3/2<ξ≤5/2}.结论

30§4.连续型随机变量的概率密度则称为连续型r.v.f(x)称为ξ概率密度函数,简称概率密度.连续型r.v.的分布函数是连续函数,这种r.v.的取值是充满某个区间的.注注：由定义知，改变概率密度f(x)在个别点的函数值不影响分布函数F(x)的取值。因此，并不在乎改变概率密度在个别点上的值。31(5)设ξ为连续型r.v.它取任一指定的实数值a的概率均为0.即P{ξ=a}=0.强调概率为0(1)的事件未必不发生(发生)32对于连续型r.v.

Xbxf(x)a33例1.一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能击中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.试求X的分布函数.34例2.设随机变量X具有概率密度(1)确定常数k(1/6);(2)求X的分布函数F(x);(3)求作业：2.8，2.9,2.10354.几个常用的连续型r.v.分布(一)均匀分布:若ξ的密度函数是则称随机变量ξ在[a,b]上服从均匀分布,记作ξ

~U[a,b].分布函数为:注：这正是几何概型的一种。36(二)正态分布:37性质:38如何计算?通过标准正态分布计算其它一切正态分布的概率:(2)标准正态分布:39引理:结论40例3：若从南郊某地乘车到火车站有两条路可走，第一条穿过市区，路程较短但交通拥挤，所需时间（单位为分）服从正态分布N(50,100),第二条路线沿环城公路走，路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从N(60,16),问：(1)若有70分钟可用，应走那一条路线？(2)若有65分钟可用，应走那一条路线？41例4设某商店出售的白糖每包的标准全是500克,设每包重量X(以克计)是随机变量,ξ

~N(500,25),求:(1)随机抽查一包,其重量大于510克的概率;(2)随机抽查一包,其重量与标准重量之差的绝对值在8克之内的概率;(3求常数c,使每包的重量小于c的概率为0.05.注(1)由(x)=0.05怎样查表求x的值?(2)服从正态分布N(,2)的r.v.ξ之值基本上落入[-2,+2]之内,几乎全部落入[-3,+3]内.作业：2.11，2.1642(3)指数分布434445§5.随机变量的函数的分布一、ξ为离散型r.v.例1.设ξ具有以下的分布律,求(1)η=2ξ－1(2)η=ξ2的分布律.

ξ-1012

pk0.20.30.10.4定义:ξ是r.v.,g(.)是连续函数.η=g(ξ)就称为ξ的函数.注意:η

=g(ξ)也是随机变量.46(2)若g(x1),g(x2),…中不是互不相等的,则应将那些相等的值则应将那些相等的值只写一次,但把各自所对应的概率相加,,就得到了η的概率分布律.1.离散r.v.分布函数的概率分布的求法:设X的概率分布如下表:

ξx1x2…xk…P{ξ=xi)p1p2…pk...(1)记yi=g(xi)(i=1,2,…)yi的值也是互不相同的,则η的概率分布如下表:

ηy1y2…yk…P{η=yi)p1p2…pk...47二、ξ为连续型r.v.1.“分布函数法”:(1)先求出η的分布函数:

Fη(y)=P{η≤y}=P{g(ξ)≤y}=P{ξG},其中

G={x:g(x)≤y},