专题08平面向量与复数(解析版)

专题08平面向量与复数目录一常规题型方法1题型一平面向量的基本概念1题型二平面向量的线性运算4题型三平面向量的坐标运算9题型四平面向量数量积13题型五复数的概念与运算16题型六复数的几何意义19二针对性巩固练习22练习一平面向量的基本概念22练习二平面向量的线性运算23练习三平面向量的坐标运算26练习四平面向量数量积27练习五复数的概念与运算30练习六复数的几何意义31常规题型方法题型一平面向量的基本概念【典例分析】典例1-1．（2022·内蒙古大学满洲里学院附属高一期末）给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若与同向，且，则>；④λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线．其中假命题的个数为（）A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【分析】根据向量共线定义判断①；根据向量相等的定义和平行四边形的定义判断②；根据两向量不能比较大小判断③；举反例否定④.【详解】①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线；②正确．∵＝，∴||＝||且；又∵是不共线的四点，∴四边形是平行四边形．反之，若四边形是平行四边形，则且与方向相同，因此＝；③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当时，与可以为任意向量，满足λ＝μ，但与不一定共线．故选：.典例1-2．（2022·陕西·渭南高级高一阶段练习）下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则存在唯一实数使得C．若，，则D．与非零向量共线的单位向量为【答案】D【分析】对A，向量模相等，则向量相等或相反；对B，向量共线定理判断；对C，利用向量平行（或共线）的性质判断，对D利用非零向量的单位向量的求解方法求解.【详解】若，则或，所以选项A错误；若，此时不存在，选项B错误；若，由，，不一定得到，选项C不正确；由向量为非零向量，根据单位向量的定义，选项D正确.故选：D.【方法技巧总结】1.类型：向量概念、向量的模、零向量与单位向量、向量相等、向量平行（共线）2.技巧：向量不可以比较大小，零向量的方向是任意的，单位向量长度为1，向量平行也称向量共线。【变式训练】1．（2022·安徽·高三阶段练习）下列说法正确的有（

）A．若向量，，则B．若向量，则向量、的夹角为锐角C．向量，，是三个非零向量，若，则D．向量，是两个非零向量，若，则【答案】D【分析】本题主要利用平面向量的相关概念及运算性质来解决.【详解】对于A，若，则与不一定平行，故A错误；对于B，由得，向量与的夹角为锐角或角，故B错误；对于C，由得，则，故C错误；对于D，由题可知，向量，共起点，作平行四边形，对角线相等，此四边形是矩形，，故D正确.故选：D.2．（2022·河北·高碑店市崇德实验高三阶段练习）与向量共线的单位向量是（

）A． B． C． D．(0，1)【答案】B【分析】根据单位向量的概念即可求解【详解】由可得，与向量共线的单位向量是和，分别为和，故选：B题型二平面向量的线性运算【典例分析】典例2-1．（2022·广东·饶平县第二高一阶段练习）如图，在矩形中，分别为的中点，为中点，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先根据题意得到，，再根据求解即可.【详解】连接，如图所示：因为分别为的中点，所以，，因为为中点，所以.故选：C典例2-2．（江西省西路片七校2023届高三上学期第一次联考数学（文）试题）已知四边形是以和为底边的梯形，（），，（，是平面内两个非零且不共线向量），则（

）A． B． C． D．6【答案】C【分析】求得，再根据向量平行，即可求得结果.【详解】根据题意，，又//，故可得，解得.故选：C.典例2-3．（2022·上海·高二专题练习）O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：＝，则直线AP一定通过△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】C【分析】取线段BC的中点E，则．动点P满足：，，则．即可判断出结论．【详解】取线段BC的中点E，则．动点P满足：，，则则.则直线AP一定通过△ABC的重心．故选：C．典例2-4．（山西省吕梁市2023届高三上学期阶段性测试数学试题）如图，在中，O为线段BC上一点，且，G为线段AO的中点，过点G的直线分别交直线AB，AC于D，E两点，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】根据向量的线性运算的几何表示及向量共线可得，然后利用基本不等式即得.【详解】因为，所以，即，又因为G为线段AO的中点，所以，因为，，所以，因为D、G、E三点共线，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号．故选：C.【方法技巧总结】1.类型：基底、向量共线定理、“四心”问题。2.技巧：将所求向量分解为一组不共线的基底向量是常见的向量两大方法之一，向量共线定理要注意系数的几何意义，四心问题要记好常见的一些结论，如下：=1\*GB3①重心⇔PA+PB+PC=0；=2\*GB3②内心⇔aPA+bPB+cPC=0；=4\*GB3④垂心PA⋅PB=PB⋅PC【变式训练】1．（2022·山东德州·高三期中）设为所在平面内一点,,则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据向量加法的首尾相连,根据将往上拼凑即可得出结果.【详解】解:由题知,,即.故选:A2．（2022·河南·郑州市第一〇六高级高二阶段练习）设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三点共线的向量表示方法即可求解.【详解】由题意可知,,因为三点共线，所以,即，所以，解得.故选:A.3．（2007·天津·高考真题（文））O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解.【详解】，令，则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，即在的平分线上，，共线，故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选：B4．（2022·安徽·高二开学考试）如图，在中，是的中点，是上一点，且，过点作一条直线与边分别相交于点，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由平面向量基本定理，向量和用基底表示，再由三点共线，求出的值.【详解】是的中点，，，，三点共线，，即，解得，故选：B．题型三平面向量的坐标运算【典例分析】典例3-1．（2022·江苏盐城·高三阶段练习）已知，，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据平面向量平行的坐标表示可知，再根据余弦二倍角公式化简、解方程可得,进而可得，再根据两角差的正切公式即可求出结果.【详解】因为，所以，，，所以或，又，所以，所以，所以，故选：B.典例3-2．（山西省运城市2023届高三上学期期中数学试题）已知向量，且，则a-b=（

A．5 B． C． D．【答案】A【分析】转化，求解，再结合向量线性运算和模长的坐标公式求解即可.【详解】由题意，，，解得，故a-b=故选：A典例3-3．（2007·福建·高考真题（理））已知，点C在内，且.设，则等于（

）A． B．3 C． D．【答案】B【分析】由题意可得,建立坐标系，由已知条件可得，进而可得，即可得答案.【详解】解：因为，所以,又因为点C在内，且，建立如图所示的坐标系：则,,又因为，所以，所以，所以.故选：B.【方法技巧总结】1.技巧：熟练掌握公式及其应用；并在一些规则图形中可以使用建立直角坐标系的方法把问题用坐标运算解决，这也是向量的两大方法之一。2.注意：给出两点坐标也可以求两点所成向量，坐标是后减前。根据钝角锐角使用夹角公式求参数范围，需注意平角和零角的特殊情况。【变式训练】1．（2022·陕西·咸阳市高新高二期中（理））已知平面向量，若，则实数x的值为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】由向量线性关系的坐标运算得，再由向量垂直的坐标表示列方程求参数值即可.【详解】因为，所以，因为，所以，解得x=6.故选：A2．（2021·陕西·无高二期中（理））已知，若与的夹角为锐角，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由条件可得，且不共线，然后可求出答案.【详解】因为与的夹角为锐角，所以，且不共线，所以，解得且，故选：D3．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高三期中）在边长为3的正方形ABCD中，E是BC上靠近B点的三等分点，则（

）A．3 B．－3 C．－4 D．4【答案】A【分析】以为原点建立直角坐标系，写出相关坐标，得到，，代入计算即可.【详解】以为原点建立如图所示直角坐标系，是上靠近点的三等分点，且边长为3，所以，所以，所以.故选：A.题型四平面向量的数量积【典例分析】典例4-1．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平面向量的定义求夹角的余弦值，即cos2【详解】2a2a所以，cos2a+故选：D.典例4-2．（2022·山西忻州·高三阶段练习）已知平面向量与的夹角为，若，，则（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】D【分析】由两边平方化简可求得答案【详解】由平方可得，因为，平面向量与的夹角为，所以即，解得或（舍去），故选：D典例4-3．（2022·湖北·宜都高三期中）如图，在平行四边形中，，点E是的中点，点F满足，且，则（

）A．9 B． C． D．【答案】A【分析】用分别表示出，结合已知，可得，然后进行数量积的运算即可得出．【详解】因为，所以，即，解得，又，所以，故选：A．典例4-4．（2022·上海市嘉定区第一高二期中）已知，则在方向上的投影为（

）A． B． C．4 D．8【答案】C【分析】由两向量夹角的正切值计算余弦值，再计算投影.【详解】因为，且向量夹角取值范围为，所以，所以在方向上的投影为.故选：C.【方法技巧总结】1.公式：数量积公式、夹角公式、投影公式2.技巧：不管是题干还是问题，出现向量的绝对值（绝对值里不是单独的一个向量）都需要进行平方。投影公式要注意还有一个推式适用于不知道夹角的情况。【变式训练】1．（2022·河南·郑州市第一〇六高级高二阶段练习）已知空间向量满足，，，，则=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据得到，两边平方，利用向量数量积公式求出.【详解】因为，所以，则，即，从而，解得：.故选：D2．（2022·江苏南京·模拟预测）已知，为单位向量.若，则（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】根据数量积的计算以及模长公式即可求解，由模长公式可求解.【详解】记，的夹角为，由以及得，即，所以，或（舍去），所以，所以.故选：C3．（2022·福建·泉州高三期中）已知在△ABC中，，，，，P在CD上，，则的值为（

）A． B． C．4 D．6【答案】C【分析】由三点共线求出，再由得出的值.【详解】三点共线，，，故选：C4．（2022·天津河西·高三期中）已知点，，，，则向量在方向上的投影向量的长度为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据投影向量的定义、向量的模计算求解即可.【详解】因为，，所以向量在方向上的投影向量为，投影向量的长度为，故选：A题型五复数的概念与运算【典例分析】典例5-1．（河南省豫南九校2022-2023学年高三上学期第一次联考数学（文）试题）已知复数，其中i为虚数单位，则的虚部为（

）A． B．26 C． D．13【答案】C【分析】将复数化简，即可得到结果.【详解】因为，则复数的虚部为.故选:C.典例5-2．（辽宁省名校联盟2022-2023学年高三上学期11月份联合考试数学试题）已知复数，若是纯虚数，则实数的值为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】由复数的四则运算与纯虚数的概念求解，【详解】，若是纯虚数，则且，得故选：C典例5-3．（2022·贵州·顶效开发区顶兴高三期中（理））若复数，则（

）A．1 B． C． D．3【答案】D【分析】根据复数的乘法运算进行化简，结合复数相等求出，可得答案.【详解】因为，所以，所以，解得，所以.故选：D.【方法技巧总结】1.类型：复数的概念、复数的分类、复数相等。2.技巧：要注意所有复数都需要整理成标准的复数形式才可以做题，复数的不同分类下对应的限制要记牢。【变式训练】1．（2022·湖北·沙市高二阶段练习）已知复数（为虚数单位），则的虚部为（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根据复数乘法运算化简可得.【详解】因为，所以的虚部为.故选：B2．（2022·贵州·六盘水市第二高一阶段练习）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，且为纯虚数，则实数（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先表示出复数，，再根据复数代数形式的乘法运算化简，根据根据复数的概念得到方程（不等式）组，解得即可；【详解】解：因为复数，在复平面内对应的点分别为，，所以，，所以，因为为纯虚数，所以，解得；故选：D3．（2022·宁夏·平罗高三期中（理））已知复数（为虚数单位）为实系数方程的一根，则（

）A．4 B．2 C．0 D．【答案】C【分析】将代入方程中，根据复数相等的充要条件即可求解.【详解】因为是方程的根，所以，，且，故选：C题型六复数的几何意义【典例分析】典例6-1．（辽宁省六校协作体2022-2023学年高二上学期期中数学试题）已知复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】化简复数，即可得出，根据复数的几何意义可得结果.【详解】化简，则，对应点为，在第四象限.故选：D.典例6-2．（2022·河南省淮阳模拟（理））已知，其中为虚数单位，则（

）A．16 B．17 C．26 D．28【答案】B【分析】根据复数的运算结合共轭复数、复数相等的概念运算求值.【详解】设，则，∵，即，则，故，解得，故．故选：B．典例6-3．（广东省韶关市2023届高三上学期综合测试（一）数学试题）若，，是的共轭复数，则（

）A． B．2 C． D．10【答案】C【分析】根据共轭复数的概念写出，然后，求出，进而求出的模长.【详解】，所以，故选：C典例6-4．（云南师范大学附中（贵州版）2023届高三上学期月考（五）数学（理）试题）已知复数z满足：，则的最小值是（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】由复数模的几何意义，转化为求原点到直线的距离．【详解】由复数模的几何意义知满足的对应的点在以点和为端点的线段的中垂线，的中点为，的最小值就是原点到直线的距离即为，故选：B．【方法技巧总结】1.类型：复平面、共轭复数、复数的模2.技巧：对于无法根据题干等式来整理出复数的情况，可以使用待定系数法，结合复数相等求出参数；对于复数模最值问题需结合轨迹方程来处理。【变式训练】1．（山西省吕梁市2023届高三上学期阶段性测试数学试题）已知，则在复平面内，复数所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】先利用复数的除法和乘方化简复数z，进而可得，再利用复数的几何意义即得.【详解】因为，∴，所以复数对应的点在第三象限．故选：C.2．（2022·广东·河源市河源高三阶段练习）设是虚数单位，，则的值为（

）A．1 B．0 C． D．【答案】B【分析】由解出和，代入计算的值.【详解】由，有，，.故选：B3．（2022·全国·高一课时练习）在复平面内，复数对应的点位于第四象限，且，则（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】根据模长公式求得，又复数z所对应的点位于第四象限，则，即可求解【详解】由复数的模的定义及，得，解得．又在复平面内，复数z所对应的点位于第四象限，∴，∴，故选：D．4．（2022·湖北·高二期中）已知复数z满足，则的最大值是（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】由复数模的几何意义，由得到，复数在复平面对应的点的轨迹为圆，而的几何意义为圆上的点与的距离，再结合两点距离公式求解即可.【详解】由可知，则复数在复平面对应的点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆.又的几何意义为点与点的距离，又，则.故选：B针对性巩固练习练习一平面向量的基本概念1．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是（

）A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上【答案】A【分析】根据向量相等与共线的概念即可解决.【详解】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确；两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误；两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误；与是共线向量，也可能是AB平行于CD，故D错误.故选：A2．（2022·湖北·高二期中）下列说法正确的是（

）A．零向量没有方向 B．若，则C．长度相等的向量叫做相等向量 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同【答案】D【分析】根据零向量的方向是任意的；，则或与都垂直；长度相等的向量是相等向量或相反向量；即可解决.【详解】零向量的方向是任意的，故A错；若，则或与都垂直，故B错；长度相等的向量是相等向量或相反向量，故C错；故选：D.练习二平面向量的线性运算3．（2022·四川·蓬溪绿然高三阶段练习（文））如图，在中，，，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量加减法的线性运算即可求解.【详解】，，，而，所以，.故选：B4．（2023·广东·高三学业考试）已知向量，不共线，若，，，则（

）A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线【答案】B【分析】利用向量的线性运算、向量的共线的充要条件进行求解判断.【详解】对于A，因为，，若A，B，C三点共线，则存在实数使得，则，无解，所以A，B，C三点不共线，故A错误；对于B，∵，∴，又∵A是公共点，∴A，B，D三点共线，故B正确；对于C，因为，，所以，若A，C，D三点共线，则存在实数使得，又，所以，无解，所以A，C，D三点不共线，故C错误；对于D，若B，C，D三点共线，则存在实数使得，又，，所以，无解，所以B，C，D三点不共线，故D错误；故选：B.5．（2022·山西太原·高三期中）已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（

）A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心【答案】A【分析】设中点为，进而结合向量加法法则与共线定理得三点共线，在的中线，进而得为的重心，根据题意得点为的外接圆圆心，进而可得答案.【详解】解：设中点为，因为，所以，即，因为有公共点，所以，三点共线，即在的中线，同理可得在的三条中线上，即为的重心；因为，所以，点为的外接圆圆心，即为的外心综上，点依次是的重心，外心.故选：A6．（2022·湖南衡阳·高一期末）在中，，，AD，BC交点为M，过M作动直线l分别交线段AC，BD于E，F两点.若，()，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平面向量共线定理的推论得到的关系，进而利用均值定理即可求得的最小值【详解】由三点共线，可得存在实数t，使又由三点共线，可得存在实数m，使得则，解之得，则又，()，则，由三点共线，可得则（当且仅当时等号成立）则的最小值为故选：D练习三平面向量的坐标运算7．（2022·福建·永安市第九高三期中）已知向量，，若∥，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用坐标运算得到a+3b，的坐标，然后利用共线列方程，解方程即可【详解】，，又a+3b∥，所以，解得.故选：A.8．（2022·重庆·高三阶段练习）已知向量，b=2,1，，则实数（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】解：因为，，所以，因为，所以，即，解得.故选：A9．（2022·甘肃·天水市第一高二阶段练习）如图，在正方形网格中，向量，满足，则AB-AD+BC=（

A．-3a-12b B．-【答案】B【分析】以为轴，为轴建立坐标系，求出各点坐标即可判断选项．【详解】以为轴，为轴建立坐标系，则，．，，，．．令．得到，，，．解得，．所以．故选：．练习四平面向量的数量积10．（2022·山东·青岛高二阶段练习）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量垂直关系得，再计算，，并结合向量夹角公式求解即可.【详解】解：因为，，所以，即，所以，所以因为，所以.故选：C11．（2022·湖北·高三阶段练习）已知向量、满足，，，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】利用，即可得到结果.【详解】∵，∴，又，，∴，即，解得.故选：B12．（2022·安徽·六安高三阶段练习）如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若，，则的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】由题意设，则可得，再结合可求出，再表示出，再结合已知条件可求得的值.【详解】由题意设，因为，所以，