专题09圆中的范围与最值问题（知识梳理专题过关）（解析版）

专题09圆中的范围与最值问题【知识梳理】涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题解决圆中的范围与最值问题常用的策略：（1）数形结合（2）多与圆心联系（3）参数方程（4）代数角度转化成函数值域问题【专题过关】【考点目录】考点1：斜率型考点2：直线型考点3：距离型考点4：周长面积型考点5：长度型【典型例题】考点1：斜率型1．（2021·江西·高二期中（理））已知圆，点在直线上，过直线上的任一点引圆的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线的斜率（

）A．2 B． C．或 D．2或【答案】C【解析】圆的圆心为，半径为，因为切线长的最小值为2，所以，所以圆心到直线的距离为，所以直线必有斜率，设，即，所以圆心到直线的距离为，所以，整理得，解得或.故选：C2．（2021·山东泰安·高二期中）设点是曲线上的任意一点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】曲线表示以为圆心，为半径的下半圆，如图所示：可表示点与点连线斜率当直线与圆相切时：设直线方程为，即圆心到直线距离，解得或，又，所以，当直线经过点时，，综上故选：B.3．（2021·上海市控江高二期中）若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】直线过定点，

曲线为以为圆心，1为半径，且位于轴上半部分的半圆，如图所示当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点，此时，解得.当直线和曲线相切时，直线和半圆有一个交点，圆心到直线的距离，解得结合图像可知，当时，直线和曲线恰有两个交点故选：B4．（多选题）（2021·湖北宜昌·高二期中）实数，满足，则下列关于的判断正确的是（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最小值为【答案】CD【解析】由题意可得方程为圆心是，半径为1的圆，则为圆上的点与定点的斜率的值，设过点的直线为，即，则圆心到到直线的距离，即，整理可得，解得，所以，即的最大值为，最小值为.故选：CD.5．（2021·广东·兴宁市叶塘高二期中）已知实数x，y满足方程，求：(1)的最大值；(2)的最小值．【解析】(1)，圆心，半径。表示与构成的斜率。设直线，则到直线的距离为，，解得，所以，即的最大值为。(2)表示与距离的平方。如图所示：则的最小值为6．（2021·广东·湛江二十高二期中）已知圆C的圆心坐标为(2，7)，直线是圆C的一条切线，且点(－2，3)为圆外的一点.(1)求圆C的标准方程；(2)若点为圆上的任一点，求的最大值和最小值；(3)若点在圆C上运动，求的最大值和最小值．【解析】（1）因为圆C的圆心坐标为(2，7)，直线是圆C的一条切线，所以圆C到直线的距离等于半径，即，所以圆C的标准方程；（2）因为圆心坐标，，,所以，；（3）设过点的直线方程为：，即，易知直线与圆相切时，有最值，由，解得，所以的最大值是，最小值是7．（2021·河北唐山·高二期中）（1）已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值．（2）已知实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，求的最大值与最小值．【解析】(1)圆方程化为(x－3)2＋(y－3)2＝4，圆心C(3，3)，半径r＝2.x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2表示圆上点P(x，y)与定点A(－1，0)连线线段长度d的平方加上2.因为|AC|＝5，所以3≤d≤7，所以所求最小值为11，最大值为51.(2)方程(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．的几何意义是圆上一点与点(0，1)连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx＋1.当直线y＝kx＋1与圆相切时，斜率取最大值和最小值，此时＝，解得k＝－2±，所以的最大值是－2＋，最小值为－2－.考点2：直线型8．（2021·浙江·长兴县教育研究中心高二期中）已知圆心为C的圆经过点A(0，2)和B(1，1)，且圆心C在直线l：x＋y＋5＝0上．(1)求圆C的标准方程；(2)若P(x，y)是圆C上的动点，求3x－4y的最大值与最小值．【解析】（1）的中点为，又的中垂线方程为，即，由解得，圆心为，∴圆的方程为（2）令即，直线与圆有公共点，∴圆心到直线的距离为，解得．所以3x－4y的最大值为24，最小值为-26．9．（2021·黑龙江·大庆市东风高二期中）点在圆上，则的范围是_______．【答案】【解析】设，，即，所以，因为，所以.故答案为：10．（多选题）（2021·海南·海口高二期中）（多选）瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（

）A．圆上的点到直线的最小距离为B．圆上的点到直线的最大距离为C．若点在圆上，则的最小值是D．圆与圆有公共点，则的取值范围是【答案】ACD【解析】因为，所以是等腰三角形，可得的外心、重心、垂心都位于的垂直平分线上，由点，点可得线段的中点为，且直线的斜率，所以线段的垂直平分线的方程为，即.又圆的圆心为，直线与圆相切，所以点到直线的距离为，所以圆.对于选项A、B：圆的圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最小距离为，最大距离为，故选项A正确，选项B错误；对于C，令，即，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离为，解得或，则的最小值是，故选项C正确；对于D，圆的圆心为，半径为，若该圆与圆有公共点，则，即，解得，故选项D正确.故选：ACD.11．（多选题）（2021·江苏连云港·高二期中）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在中，已知，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则（

）A．"欧拉线"方程为B．圆上点到“欧拉线”的最大距离为C．若点在圆上，则的最小值是1D．若点在圆上，则的取值范围是【答案】BCD【解析】因为，故欧拉线即为的中垂线，而，，故的中点为，而，故为的中垂线方程为：，故A错误.因为圆与欧拉线相切，故，所以圆上的点到欧拉线的距离为，故B正确.若点在圆上，设，则，故，故的最小值为1，故C正确.因为点在圆上，故即，故，由C的判断可得，故，故D正确.故选：BCD.12．（多选题）（2021·重庆十两江实验高二期中）已知实数x，y满足，下列说法正确的是（

）A．的最小值为B．的最小值为C．的最小值为5D．点到直线的距离的最大值为【答案】BD【解析】方程表示以为圆心，的圆，对于A：表示点与的连线的斜率，设过点的直线的斜率为，则，即，所以，解得，故A错误；对于B：令，即，则，解得，即，故的最小值为，即B正确；对于C：表示圆上的点到的距离的平方，令圆上的点到的距离，因为，所以，即，所以，故C错误；对于D：因为直线恒过点，又，所以点到直线的距离的最大值为，故D正确；故选：BD13．（2021·天津市嘉诚高二期中）已知点在圆上．(1)求的最大值；(2)求的最大值；(3)求的最小值．【解析】(1)圆的圆心，半径，令，即，表示斜率为-1，纵截距为a的直线，依题意，此直线与圆C有公共点，于是得，即，解得，所以的最大值为.(2)令，即，表示过原点斜率为k的直线，依题意，此直线与圆C有公共点，则有，即，解得，所以的最大值是.(3)因，则表示圆C上的点与定点的距离，而，显然有，当且仅当P是线段AC与圆C的交点时取“=”，所以的最小值是.考点3：距离型14．（2021·安徽·六安市裕安区新安高二期中（理））已知实数满足，求的最小值.【解析】表示点与圆上动点之间的距离的平方，若最小，则也最小，数形结合知的最小值为，故的最小值为5.15．（2021·江苏·扬州高二期中）过点P(-3，1)作直线m(x-1)+n(y-1)=0的垂线，垂足为点M，若定点N(3，4)，那么的最小值为________．【答案】3【解析】直线m(x-1)+n(y-1)=0恒过定点，显然点M与P，Q都不重合时，，于是得点M在以线段PQ为直径的圆上，当点M与P，Q之一重合时，也满足条件，即点M的轨迹是以线段PQ为直径的圆，圆心，半径，圆C的方程为：，显然，点N在圆C外，于是得，所以的最小值为为3.故答案为：316．（2021·天津市新华高二期中）若点在圆上，则的最小值__________．【答案】【解析】由，得，则圆的圆心为，半径为，因为表示圆上的点到点的距离的平方，所以的最小值为，故答案为：17．（2021·福建·厦门双十高二期中）已知满足，则的最小值为___________.【答案】3−22【解析】设圆的圆心为，半径为，表示圆上的点与原点的距离的平方，连接，可得，线段与圆的交点到原点的距离最小，所以的最小值为.故答案为：.18．（多选题）（2021·广东·新会陈经纶高二期中）已知圆心为的圆与点，则（

）A．圆的半径为2B．点在圆外C．点与圆上任一点距离的最大值为D．点与圆上任一点距离的最小值为【答案】BCD【解析】依题意，圆：，则圆心，半径，A不正确；因点，则，点在圆外，B正确；因点在圆外，在圆上任取点P，则，当且仅当点P，C，A共线，且P在线段AC延长线上时取“=”，C正确；在圆上任取点M，则，当且仅当点C，M，A共线，且M在线段CA上时取“=”，C正确.故选：BCD19．（2021·湖南·雅礼高二期中）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（

）．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】设圆心，则，化简得，所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，所以，所以，当且仅当在线段上时取得等号，故选：A.20．（2021·四川·双流高二期中（理））已知实数、满足方程，则最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径长为，，所以，原点在圆外.的几何意义为坐标原点到圆上一点距离的平方，.故选：A.21．（2021·福建·永安市第一高二期中）若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（

）A． B．5 C． D．10【答案】A【解析】由题意直线过已知圆的圆心，圆心为，∴，即，点在直线上，表示直线的点到点的距离，∴最小值为．故选：A．22．（2021·北京高二期中）点在圆上，点在直线上，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知，圆心，所以圆心到的距离为，所以的最小值为.故选：B.23．（2021·内蒙古·包头市田家炳高二期中）已知为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值是（）A． B． C．1 D．【答案】D【解析】由圆，得，可得圆心坐标为，半径为1，圆心到直线的距离，而为直线上的动点，N为圆上的动点，则的最小值是．故选：D24．（2021·黑龙江·哈高二期中（文））设曲线上的点到直线的距离的最大值为a，最小值为b，则的值为（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】由题意，圆的圆心坐标为，半径为，可得圆心到直线的距离为，所以，，所以.故选：C.考点4：周长面积型25．（2021·江苏·淮阴高二期中）已知圆经过点，且与直线相切，圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）点在直线上，过点作圆的两条切线，分别与圆切于、两点，求四边形周长的最小值.【解析】（1）因为圆心在直线上，所以可设，半径为，则圆的方程为；又圆经过点，且与直线相切，所以，解得，所以圆的方程为.（2）由题意：四边形周长，其中，即取最小值时，此时周长最小，又因在直线上，即圆心到直线的距离时，的最小值为，所以周长，故四边形周长的最小值为.26．（2021·云南·宣威市第五高二期中（文））已知直线3x＋4y-12＝0与x轴，y轴相交于A，B两点，点C在圆x2＋y2-10x-12y＋52＝0上移动，则△ABC面积的最大值和最小值之差为________.【答案】15【解析】令得，令得，所以A（4，0），点B（0，3），∴|AB|＝5，由x2＋y2-10x-12y＋52＝得，所以圆的半径为3，圆心为，圆心到直线的距离，所以点C到直线的距离的最小值为，最大值为，所以的最大值为，最小值为，所以△ABC面积的最大值和最小值之差为.故答案为：1527．（2021·福建福州·高二期中）设P为直线上的动点，PA、PB为圆的两条切线，A、B为切点，则四边形APBC面积的最小值为__________.【答案】【解析】圆的圆心，半径，连接，，，可得，，且，，，的最小值是圆心到直线的距离，所以四边形面积的最小值为．故答案为：．28．（2021·广东·潮州市湘桥区南春高二期中）已知P为圆上任意一点，A，B为直线上的两个动点，且，则面积的最大值是___________．【答案】3【解析】根据圆的方程，圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最大距离，此时最大面积．故答案为：．29．（2021·江苏南通·高二期中）过直线上一点作圆：的切线，切点为，，则四边形的面积的最小值为（

）A． B． C．3 D．【答案】B【解析】由圆的方程可得：，则圆心为：，半径又为圆的切线，则

又

当四边形的面积的取最小值时，最小又垂直于直线时，最小

四边形面积的最小值为：故选：B30．（2021·陕西安康·高二期中（文））直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的最小值为（

）A．6 B． C．12 D．【答案】A【解析】，，∴，圆的圆心到直线的距离，∴到距离的最小值为，∴面积的最小值为，故选：A.考点5：长度型31．（2021·北京市昌平区第二高二期中）已知分别是，上的两个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为_____________.【答案】5【解析】如图，圆是圆关于直线的对称圆，所以圆的方程为，圆心为，且由图知，五点共线时，有最小值，此时，所以的最小值为5.故答案为：5.32．（2021·广东·湛江二十高二期中）已知P是直线上的动点，PA，PB是圆的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是________．【答案】【解析】由题意知，A，B是切点，是圆心，且圆的半径为所以，四边形PACB面积为：所以当取最小值时，取最小值由点在直线上运动可知，当与直线垂直时取最小值此时为圆心到直线的距离即故四边形PACB最小面积为：故答案为：.33．（2021·安徽滁州·高二期中）已知，点P在直线上，点Q在圆C：上，则的最小值是______．【答案】8【解析】因为圆C：，故圆C是以为圆心，半径的圆，则圆心到直线的距离，故直线和圆相离，点A坐标满足，A在圆外，设点关于直线的对称点为，故，解得，故，则,连接交圆C于Q，交直线于P,由对称性可知:,当且仅当共线时，取等号，故答案为：834．（2021·广东·湛江二十高二期中）