2022高考（课标全国卷）数学押题模拟卷03

2022高考（课标全国卷）押题模拟卷03

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第I[卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自

己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

13

1.（2021•河南洛阳一高高三第二次模考）已知不等式》一万的解集为"，不等式

4%一/>0的解集为"，则"0"=（）

A.（0,2]B.[-1,0）C.[2,4）D.[1,4）

【答案】A

13313

【解析】不等式可化为54彳，解得TWXW2,所以M=[—1,2]；

不等式4%一/>0可化为尤（》一4）<0,解得0<%<4,所以N=（0,4）；则

MDN=[—l,2]c（0,4）=（0,2].故选A.

2.（2021•湖南娄底市高三质检）若复数2=。+紧所表示的点在复平面一、三象限的平分

线上，则实数”=（）

A.1B.0

C.-1D.2

【答案】A

/-I

【解析】z-a+——=a+i,实部与虚部相等，故。=1.故选A

1+z

3.（2020•北京通州高三期末）已知有吕，B2,…，入支篮球队举行单循环赛（单循环赛：

所有参赛队均能相遇一次），那么比赛的场次数是（）

A.15B.18C.24D.30

【答案】A

【解析】从这6支队伍中选两队即可得到比赛的场次，故有C；=15种.故选4.

4.（2021•四川省南充市第一中学高三第二次调考）设则“（a-勿/<0，，是“。<»，

的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由（a-。）/<0一定可得出a<6；但反过来，由a<6不一定得出（a->）/<0,

如a=（）,故选A.

5.（2021•山东威海高三一模）已知向量汗=（1,0）/=则下列结论正确的是（）

A.|a\-\b|B.M•方=；C.a||bD.（a-b）-b=0

【答案】D

【解析】对于AJ』=L癖故工瓦故A错误;

2

对于B,7B=（i,o）（g,g）=；,故B错误；

对于c,£=（l,O）,B=[；,£],不存在实数；l使：£=九B,所以Z不平行于B，故c错误；

-------211

对于D,（a-方）—b=----=0,故D正确.故选:D.

\'22

6.（2020•四川省泸县第四中学高三期末）《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底

面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌膈.在鳌JR

P—ABC中，平面ABC,PA=4,AB=BC=2,鳌膈P—ABC的四个顶点都在

同一个球上，则该球的表面积是（）

A.16乃B.20）

C.24"D.647r

【答案】C

【解析】

四棱锥尸-ABC的四个面都是直角三角形，

■：AB^BC^2,：.AB±BC,又PAJ_平面ABC,是尸8在平面ABC上的射影,

PALCA,：.BC±PB,取PC中点0,则0是尸―A8C外接球球心.

由AB=5C=2得AC=2近，又幺=4,则PC=J8+16=2«，0P=«，

所以球表面积为S=4%（OP>=4%x（#>=24）.故选C.

7.（2021•四川省泸县第二中学高三第三次模考）某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组

织了一场类似《最强大脑》的PK赛，A,8两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选

手PK,比赛四局.除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得。分.假

2

设每局比赛A队选手获胜的概率均为且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得

分高于8队的得分的概率为（）

1652八207

A.-B.—C.—D.一

2781279

【答案】C

【解析】A队的得分高于B队的得分的情况有三种：A队的得分为5分，A队的得分为4分,

A队的得分为3分.

2

当4队的得分为5分时，概率为

当4队的得分为4分时，概率为

21?21

当A队的得分为3分时，概率为C；（§）（5）2（5）+C；（§）3（§）,

因此所求概率为

++《（|）畤哈+普+弁於1?

故选c.

8.（2021•山西大同高三校际联考）已知《，工分别是双曲线C：£--Z.=1（4Z>0^>0）

的左、右焦点，与）'轴垂直的直线与双曲线C的左、右两支分别交于点A,B,且

21A4|=|耳月则双曲线C的离心率的取值范围为（）

【答案】D

【解析】由题意得21A周=|片用=2c,所以|*|=c.设NA[K=e,则0<e<}

连接AB,则IAg|—IA1|=+山村2一2|五用.内用cos®=J5c4c2cos8.

由双曲线的定义得|A周一|AF；|=2a,

c_2c_2c_2

a2aJ5c2-4c、cos6-cj5-4cosJ-1、

7r2

因为0<8<一,所以COS0£（0,l）,所以/=-G,+8,即双曲线C的

7

2\V5-4cos?-l7

离心率的取值范围为故选D.

9.（202卜浙江绍兴高三调研）已知函数/（无）=ln|x|-x+L,则函数y=/（x）的图象可

X

能是（）

【答案】B

【解析】因为/(x)=ln|x|—x+工，由/(e)=l—e+,<0,排除CD；

xe

当X〉0时，/(x)=lnx—XH—,f(2)=ln2—2+—=ln2——,

x22

又In2ao.6931。0.7,则/(2)=ln2—/(2)-/(l)«~0.8；

〃e)=l-e+「-1.35,/(e)-”2)。455,

选项A在(1,+8)减的越来越快，不符合题意；故选B.

10.(2021•江西临川高三三调)某大楼共有12层，有U人在第一层上了电梯，他们分别要

去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所

要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0,每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1,

每向上步行1层的“不满意度”增量为2,要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在

第几层()

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【解析】设电梯所停的楼层是〃(2麴卜12),贝”=1+2+…+(〃-2)+2口+2+…+(12-明

=—+2x(12——区57=%-57

22232624

开口向上，对称轴为户5营3。9,

6

故S在〃=9时取最小值Smin==4Q故选。.

11.(2021•郑州市河南省实验中学高三第三次模拟)已知定义在(0,+8)上的函数/'(X),

/'(x)是y(x)的导函数，满足次(同一〃x)<0,且((2)=2,则#)-">0的解

集是()

A.(0,/)B.(ln2,+oo)C.(-oo,ln2)D.(e2,+oo)

【答案】C

【解析】因为［」史］=xf'(x)-f(x)<Ot所以函数与在区间(0y。)上单调递减，

不等式/卜')—e">0可化为生)>岑2,即/<2,解得x<ln2,故选C.

12.(2021•新疆乌鲁木齐高三第一次联合模考)若x=l是函数

/0)=%+/4一%X3一4+2》+1("€/7*)的极值点，数列｛《,｝满足q=1,a2=3,设

202020202020

bn=loS.a„+l,记㈤表示不超过x的最大整数.设S“=，若

,她她2%」

不等式S.../对V”eN*恒成立，则实数t的最大值为()

A.2020B.2019C.2018D.1010

【答案】D

3a4

(解析】/'(X)=4a„+lx-3ax-„+2，，/⑴=«„+i-3%-。“+2=0，即有

。”+2一风+i=3(4+1-%)，

/.｛。川-〃“｝是以2为首项3为公比的等比数列，；.。向一/=2-3"T,

a1,

a“+i=4+1—n+a“一a„_|+a,,.,—an_2---\-a2—(i\+(i［=2-3"+2•3"-H---l-2-3°+l=3'

b”=log3a“+i=n,

202020202020f111)

------------1--------------F•••H-------------=2020」一+-----F，H--------

(1x2

他b为b„bll+l2x3

11112020/7

=20201----1-------!-•••-!----

223n〃+l〃+l

又丁=卫网为增函数，当〃=1时，5„=1()1(),1010<S„<2020,若恒成立,

n+1

则，的最大值为1010.故选D.

第n卷（非选择题）

三、填空题（共20分）

13.（2020•四川泸县五中高三模考）过抛物线＞2=8x的焦点作倾斜角为々直线/,直线/与

-4

抛物线相交与A，B两点,则弦|A8|的长是.

【答案】16

【解析】抛物线丁=8x的焦点为，演圆j磁，倾斜角为:说明斜率为1,直线方程解=客-翦，

与＞2=8x联立方程组，消去那得：/除着叫虬设感:稀城阈端蛾，则

强W%-晦，则忸哪|=;'普:嗓片爵=骗署4=谒.

14.（2021•上海徐汇区位育中学高三第一次模拟）公比为2的等比数列｛4｝的各项都是正数,

且%q1=16,贝Ulog2aio=_.

【答案】5

【解析】•••公比为2的等比数列的各项都是正数，且生%=16,

b"i

%==J%%=＞/16=4,at-2—4,解得=环=正，

0）=«1-^9=—x955

02=2,.t.log,aIQ=log22=5.

16

22

15.（2021•湖南湘潭十校高三摸底）抛物线丁=-12》的准线与双曲线土-乙=1的两条

'62

渐近线所围成的三角形的面积等于.

【答案】373

【解析】抛物线的准线方程为x=3,双曲线的渐近线方程为y=±迫x，所以所要求的三

3

角形的面积为」X3X2G=3G.

2

16.（2020•天津南开高三二模）已知定义在R上的偶函数/（x）在（-8,0］上单调递增，

且/（-D=-1.若/（X-D+120,则X的取值范围是；设函数

g（x）=k"+D一"一"Q0‘若方程/（gCO）+1=0有且只有两个不同的实数解，则

实数。的取值范围为.

【答案】［0，2］(--1］U(3,+8).

【解析】由/(X)是偶函数，且f(x)在(-8,0］上单调递增，

所以/(x)在(0,+8)上单调递减，且f(l)=/(-1)=-1,

由/(x-1)+120可得：/(x-1)可(1),

所以-IWx-1W1,即0WxW2.

由f(g(x))+1=0可得g(x)=1或g(x)=-1.

由函数解析式可知g(x)在(-8,0］和(0,+8)上均为增函数，

故当xe(-8,0］时，g(x)W2-a,当xG(0,+8)时，g(x)>-“，

(1)若1>2-a>-1>-a,则g(x)=1有1解，g(x)=-1有2解，不符合题意；

(2)若2-a>l>-«>-1,此时g(x)=1有2解，g(x)=-1有1解，不符合题意;

(3)若-a2l,则g(x)=1有1解，g(x)=-1有1解，符合题意；

(4)若2-nV-1,则g(x)=1有1解，g(x)=-1有1解，符合题意；

(5)若2-a=l,则g(x)=1有2解，g(x)=-1有1解，不符合题意；

(6)若2-a=-1,则g(x)=-1有-2解，g(x)=1有1解，不符合题意；

综上，-a2l或解得或a>3.

四、解答题

17.(202()届广东省珠海市高三三模)已知数列｛6,｝的前〃项的和为,且满足

5„=2a„-l(〃eN*).

(1)求数列［a,,｝的通项公式%及S,；

(2)若数列也』满足，=|S,-15］,求数列｛〃,｝的前〃项的和

【解析】(1)由S“=2a“-1得：S［=2%-1,即％=1,

由S“=2a,-1得：S„+1=2a,1+l-1,两式相减得：an+1=2an+i-2an,

即a,+i=2%,即数列｛a“｝是以1为首项，2为公比的等比数列，

1_

则q=2'一，则=

“1-2

16-2n(l<n<4)

(2)由(1)知:%=2"-16|,则b"=<

2"-16(〃>4)

则当时，7；,=(16-2I)+(16-22)+...+(16-2,')

=16n-(21+22+---+2")=16n-2(*-^)=16〃-2用+2,

当〃>4时，

骞=(16—2^+(16-2?)+…+(16-24)+(25-16)+(26-16)+(27-16)+…+(2"-16)

=27；+(2l+22+.--+2H)-16n

=2X34+2(1-2)-16n=2,,+l-16n+66.

1-2

,[16n-2n+l+2(l<n<4)

则7=<.

"2n+,-16/7+66(n>4)

18.(2021•四川省泸县第四中学高三三模)已知如图几何体，正方形ABC。和矩形所所

在平面互相垂直，AF^2AB=2AD,M为A尸的中点，BN1CE.

(I)求证：CF〃平面

(II)求二面角M—BO—N的大小.

【解析】(I)证明：连接AC,ACC\BD=O,连接。0,

则。为AC的中点

•.•加为4尸的中点，；.。0//。产

u平面BDM,CF(X平面BDM；.CF//平面BDM；

(II)解：因为正方形ABC。和矩形49E尸所在平面互相垂直，所以A尸_L平面A8QD，

以A为原点，以AD,AB，AF%x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图取AB=1,C(1,

1,0),M(0,0,1),B(0,0),D(l,0,0),N(g,1,|),

设平面BDM的法向量为妨=(x,)'，z),

vBD=（l,-1，0）,=（0，1,-1）,

x-y=0

-八，不妨令x=l,解得比=（1,1,1）；

y-z-0

同理平面5ON的法向量为万=（1,1,一2）,

/n•A=0,

二二面角M-BO-N的大小为90°.

19.（2021•湖南长沙雅礼中学联合体高三质检）在平面直角坐标系X。），中，已知椭圆

的焦距为2,离心率为也，椭圆的右顶点为A.

（2）过点。（忘，-五）作直线PQ交椭圆于两个不同点尸，Q,求证：直线A尸，AQ的

斜率之和为定值.

【解析】(1)由题意可知，椭圆5+三=1(。＞。＞0)的焦点在X轴上,

aly

2c=2,c=l,椭圆的离心率e=£=也，

a2

则a=y/2»Z?2=tz2—c2=1»

则椭圆的标准方程上+V=1.

2'

(2)证明：设P(X，y),Q(x2,y2),4(也,0),

当斜率不存在时，x=应与椭圆只有一个交点，不合题意，

由题意PQ的方程，y=k(x-@)-五,

y-k(x-y/2)-^/2

则联立方程,

——+V-=1

I2•

整理得，(2k2+l)x2-4®(k+l)x+4Z2+8攵+2=0,

A=32k2(k+1)2-4(4抬+8Z+2)(2公+1)=-32k-8>Q,k<~,

4

,_L.14-cirxffl—ritH4\p2k(k+1)4A-+8Z+2

由韦达定理可知x,+x=—~7-----，xx=-----二-----

22k+1t22k+1

则X+%=k&+x2)~26k-25/2=2%：：)

则由⑥+镰=_2"+」3=里+第一立(乂+或

x}-V2x2-yJ2xxx2--72(%1+X2)+2

-2kXyX_夜(％+1)(X]+x)-4k

222k2+\,

卜,n.%%+%%-应(％+%)

X1%2-V2(X|+x2)+2

4k-2向k+1)

一赤1一，22二+1

1

4公+8Z+2rr4瓜(Z+l)c

----nv2xz------F2

2k2+1-----------2k2+\

.••直线AP，AQ的斜率之和为定值1.

20.（2020届河南省开封市高三二模）某中医药研究所研制出一种新型抗癌药物，服用后需

要检验血液是否为阳性，现有〃（〃eN，）份血液样本每个样本取到的可能性均等，有以下两

种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验〃次；（2）混合检验，将其中Z（ZeN*,2W攵

份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这左份的血液全为阴性，因而这Z

份血液样本只需检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这％份血液究竟哪份为阳

性，就需要对这4份再逐份检验，此时这Z份血液的检验次数总共为攵+1次假设在接受检

验的血液样本中，每份样本的检验结果总阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳

性的概率为

（1）假设有6份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取遂份检验的方式，求恰好经

过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率.

（2）现取其中的攵（攵—*,24%<〃）份血液样本，记采用逐份检验的方式，样本需要检验

的次数为机；采用混合检验的方式，样本简要检验的总次数为多；

（i）若=七3试运用概率与统计的知识，求P关于2的函数关系p=f（k）,

,1

（五）若P=1一了，采用混合检验的方式需要检验的总次数的期望比逐份检验的总次数

的期望少，求攵的最大值（ln4=1.386,ln5=1.609,In6=1.792,In7=1.946,

In8=2.079,ln9=2.197）

【解析】（1）设“恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来“为事件A，则

P（A）=斗A2A4」1，

「醴15

即恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的事件的概率为上.

（2）（i）由题意知=k，J2取值的可能有1，k+1,

P催=l)=(l-p)"，

口儡=攵+1)=1-(I-P)",

所以超2=(1_〃『+(%+1)[1_(1_〃)[=攵+1_%(1_〃)上,

由E4=E&，得k=k+l-k(l-p)k,即(1—〃)"=%,所以p=

所以〃关于左的函数关系p=l一|),€河,2以4〃).

(ii)由题意知，E&>E&2,所以左>1+攵一攵(1一2)"，即攵(1一2)”>1，

所以，又〃=]_/，所以>1,

kk

两边同时取对数，得一一>-lnA,即InA—->0,

44

Y11

设/(x)=lnx-j则/(月=：—易知函数〃x)在(4,一)上单调递减，

Q

/(8)=ln8-2=2.079-2=0.079>0,/(9)=ln9-^=2.197-2.25<0,

所以Z的最大值为8.

21.(2020•浙江绍兴鲁迅中学高三期末)已知函数/(6=2办2一功^.

(1)当a=l时，求函数/(X)在点(1,2)处的切线方程.

⑵若/(X)22分对任意的X恒成立，求〃的值.

(3)在(2)的条件下，记〃(x)=/(x)—2ox,证明：/z(x)存在唯一的极大值点毛,且

【解析】⑴/(x)=24储—x/nx,/=4tix—/nr-1,

当a=l时，,f'(x)=4x-/m:—1,7,(1)=3,

切线方程为：y-2=3(x-l),HPy=3x-l；

(2)/(月=2加一动比的定义域为(0,+8),/(力22以对任意的了恒成立，等价于

2ax2-xlnx>2ax，即为(3—1)Nbvc对任意的x>0恒成立，

令且(1)=勿(1-1)-/见~~

XX

当2a=1时，在(0,1)上g'(x)<0,g(x)单调递减，在(1,8)上g，(x)>0,g(x)单调递增，

・♦・鼠力.=g(1)=°，・.七(工”。恒成立，符合题意;

当2a>1时，在(：，1)上g'(x)>°，g(x)单调递增，

注意到g⑴=0,故g(x)<0,不合题意；

2a<1时，在上g'(x)<0,g(x)单调递减，

g(x)<g(l)=0,不合题意，

综上所述，2。=1,所以实数。的值为1.

2

>2

(3)/?(%)=f(<x)-2ax=x-xlnx-xf

=2X-/AIY-2,

令〃(x)=2x—Inx—2,则〃'(x)=2—,

在(o,g上，/(力<0,“(％)单调递减，在上，“无)单调递增，

4(x)min=〃(：)=，"2一1<0,又:4(1)=0,u(^e~2^=2e~2-lne~2-2=2e~2>0,

.•.存在唯一的实数Xoe(e-2,g),使得〃(%)=0,

在(0,不)在内a(x)=〃'(x)>0,0(x)单调递增，在5，1)内a(x)=〃'(x)<0,〃(x)单调

递减,在(0,+“)在内“(x)=〃'(x)>0,〃(x)单调递增，

二X。是h(x)的唯一极大值点.

由〃(%0)=2xo-lnxo-2-0

-,-hM=x0-X。3）一毛=片一（2片-2%）一/=-x：+与,

由于x（）e卜2,g）,.../2优）＜〃；）=；,证明完毕.

选做题

23.1选修4-4极坐标与参数方程】

X-1+COS。

（2020•湖北荆州市•滩桥高中高二期末）已知曲线G的参数方程为/：[丫=]