2022-2023学年全国初中数学竞赛试题

2023年全国初中数学竞赛试题(含参考答案)

一'选择题(共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的.

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分)

1.若2=20,-=10,则位的值为().

bcb+c

(A)—(B)—(C)—(D)—

21112111

£1

锐？c小阳、几用。+匕b+20+1210

解：D由题设得----=&—=————.

b+cc,111

b+c1t+-1+—11

h10

2.若实数a,b^-a-ab+b2+2=Q,则a的取值范围是().

2

(A)a<-2(B)a>4(C)aW-2或aN4(D)-2WaW4

解.C

因为匕是实数，所以关于人的一元二次方程〃一仍+1。+2=0

2

的判别式△=(—a)2—4xlx('a+2)与0,解得aW—2或a24.

2

3.如图，在四边形A5CD中，ZB=135°,ZC=120°,48=2百，BC=4—2夜,

。。=4五，则4。边的长为().

(A)276(B)476

(C)4+V6(D)2+2后

解：D

如图，过点A,。分别作AE,。尸垂直于直线BC,

垂足分别为E,F.

由已知可得

BE=AE=y/6,CF=2V2,DF=2屈,

于是EF=4+V6.

过点A作AGLDR垂足为G.在Rt^AOG中，根据勾股定理得

AD=7(4+V6)2+(V6)2=J(2+VW=2+2技

4.在一列数XI,x,x,...中，已知玉=1,且当422时，王=天|+i—4k-\k-2

23~~A~

(取整符号[可表示不超过实数a的最大整数，例如[2.6]=2,[0.2]=0),则可。等于

().

(A)l(B)2(03(D)4

解：B

可得

Xy=1,x?=2,=3,X4=4,

—1,—2,Xj=3,Xg=4,

因为2023=4x502+2,所以可。=2.

5.如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形A8C。的顶点坐标分别为A(1,1),B(2,

-1),C(-2,-1),D(-1,1).y轴上一点尸(0,2)绕点A旋转180。得点尸点B

绕点B旋转180。得点尸2,点P2绕点C旋转180。得点Pi,点Pi斗

绕点D旋转180。得点尸4,……，重复操作依次得到点尸1,尸2,…，尸]

则点P2023的坐标是().一/。\—*

(A)(2023,2)(B)(2023,-2)

(C)(2023,-2)(D)(0,2)台、

(第5题)

解：B由已知可以得到，点6的坐标分别为(2,0),(2,-2).

记£(a2,b2),其中a2=2,b2=-2.

根据对称关系，依次可以求得：

7^(—4——2一仇)，4(2+a,,4+b,),心(一a,,—2—Zx,),E(4+a,,.

令《(%,打)，同样可以求得，点%的坐标为(4+4也)，即Pw(4x2+4也),

由于2023=4x502+2,所以点的坐标为(2023,-2).

二、填空题

6.已知”=括一1,则2a3+7标一2“一12的值等于.

解：0

由已知得m+l)2=5,所以层+2。=4,于是

2a3+7a2—2a—12=2/+4/+3。2—2a—12=3/+6a—12=0.

7.一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶.在某一时

亥！],客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间.过了10分钟，小轿车追上

了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过f分钟，货车追上了客车，则f

解：15

设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客

车的速度分别为a，b,c,(千米/分)，并设货车经x分钟追上客车，由题意得

10(a-Z?)=S,①

15(a—c)=2S,②M》—c)=S.③

由①②，得30(。-c)=S,所以，x=30.故/=30-10-5=15(分).

8.如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形。45CDE的顶点坐标分别是0(0,0),A(0,

6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直线/经过点M(2,3),且将多

边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线/的函数

表达式是.

(第8题)

随111

解：y=--x+^r

33

如图，延长交x轴于点F；连接。8,AF-,连接CE,DF,且相交于点N.

由已知得点M(2,3)是。3,A尸的中点，即点M为矩形ABFO的中心，

所以直线/把矩形ABFO分成面积相等的两部分.又因为点N(5,2)是矩形CDEF

的中心，所以，

过点N(5,2)的直线把矩形CDE/分成面积相等的两部分.

于是，直线MN即为所求的直线/.

Dk+h=3

设直线/的函数表达式为丁=依+。，则‘

■[54+6=2,

解得，,故所求直线/的函数表达式为y=-；户£.

9.如图，射线AM,5N都垂直于线段A5,点E为AM上一点，过点A作5E的垂线AC

分别交BE,BN于点尸，C,过点C作AM的垂线CD,垂足为D.若CD=CF,则

AE

而

解：浮

见题图，设EC=m,AF^n.（第9题）

因为RtA4MsRtA4BC,所以AB2=AFAC.

又因为FC=OC=A8,所以/=〃（〃+»/）,即（2）2+'_1=0,

mm

解得二=避二1,或4=苔二1（舍去）.

m2m2

AE_y/5-l

又RtAAFEsRt^CEB,所以一=—=—=—

ADBCFCm~AD~2

10.对于i=2,3,…，k,正整数n除以i所得的余数为i—1.若〃的最小值/满足

2000<n0<3000,则正整数k的最小值为

解：9因为〃+1为2,3,•••,女的倍数，所以〃的最小值“满足

%+1=[2,3,••%],

其中[2,3,…，可表示2,3,…，人的最小公倍数.

由于[2,3,•••,8]=840,[2,3,…，9]=2520,

[2,3,…,10]=2520,[2,3,…,11]=27720,

因此满足2000<«0<3000的正整数k的最小值为9.

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11.如图，△A3C为等腰三角形，AP是底边3c上的高，点O是线段PC上的一点,

EF

BE和CF分别是△48。和△4。的外接圆直径，连接EF.求证：tan/PAD=——

BC

（第11题）

证明：如图，连接E0,FD.因为BE和CF都

是直径，所以

ED1BC,FD1BC,

因此D,E,♦三点共线........（5分）

连接AE,AF,则

ZAEFZABCZACBZAFD,

所以，△ABCs^AEE....................（10分）（第11题）

作垂足为“，则AH=PD由可得

EF_AH

~BC~~AP

EF_PD

从而

~BC~~AP

PDEF

所以tan/PAD（20分）

~AP~BC

k

12.如图，抛物线y=ar9+。无（。＞0）与双曲线y=-相交于

X

点A,B.已知点4的坐标为（1,4）,点8在第三象限内，且△AO8的面积为3（0为坐

标原点）.

（1）求实数a,b,左的值;

（2）过抛物线上点A作直线AC//x轴，交抛物线于另一点C,求所有满足aEOCs

的点E的坐标.

解：（1）因为点A（1,4）在双曲线丁=&上，（第12题）

X

4

所以4二4.故双曲线的函数表达式为y=—.

x

4

设点BG,-）,tvO,AB所在直线的函数表达式为丁=如+〃，则有

t

4="+〃，

解得加=—3,〃=出土。

,4

—=mt+n.

于是,直线AB与），轴的交点坐标为0,故

S.oB=gx4；+D（i7）=3,整理得2户+3-2=°，

解得/=一2,或/=,（舍去）.所以点B的坐标为（一2,-2）.

2

因为点A,8都在抛物线y=（〃>0）上，所以

。+人=4,CL—\\

解得（10分）

14。-2〃=-2,b=3

（2）如图，因为AC〃x轴，所以C（T,4）,于是C。

=4^/2.又Bg日所以空=2.

BO

设抛物线丁=改2+法（4>0）与》轴负半轴相交于点。,

则点。的坐标为（-3,0）.

因为/CO£>=NBO£>=45°,所以NCOB=90°.

⑴将△8Q4绕点。顺时针旋转90。，得到△8'。4.这时，点8'（-2,2）是CO的

中点，点4的坐标为（4,-1）.

延长。A到点片,使得0耳=2。4,这时点瑞（8,-2）是符合条件的点.

(ii)作^关于x轴的对称图形△B'OA2，得到点A2(1,-4)；延长到点之，

使得。刍=2。4,这时点日(2,-8)是符合条件的点.

所以，点E的坐标是(8,-2),或(2,-8).......(20分)

13.求满足2P2+p+8=,〃2-2根的所有素数p和正整数

.解：由题设得P(2/7+1)=(m一4)(〃2+2),

所以“I。〃-4)(加+2),由于/?是素数，故p|(加一4),或〃|(加+2)....(5分)

(1)若篦一4),令m-4=kp,人是正整数，于是〃?+2>切，

3P之>p(2p+V)=(m-4)(m+2)>k1p1,

故公<3,从而％=1.

m—4=p,(〃=5,

所以4〃解得........(10分)

m+2=2p+L[m=9.

(2)若p|(〃z+2),令m+2=kp,A是正整数.

当p>5时，有〃1-4=kp_6>kp_p=p*_l),

3P2>p(2p+l)=(/n-4)(/n+2)>k(k—Y)p2,

故—从而k=l,或2.

由于p(2p+l)=(〃2—4)(m+2)是奇数，所以左。2,从而k=l.

m—4=2p+L

于是《‘

m+2=p,

这不可能.

当〃=5时，m2-2m=63,m=9；当〃=3,m2-2m=29,无正整数解；当

〃=2时，m2-2m=18,无正整数解.

综上所述，所求素数p=5,正整数加=9........(20分)

14.从1,2,…，2023这2023个正整数中，最多可以取出多少个数,

使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？

解：首先，如下61个数：11,11+33,11+2x33,11+60x33（即2023）满足题

设条件........（5分）

另一方面，设q<…<凡是从1，2,…，2023中取出的满足题设条件的数，对于

这〃个数中的任意4个数％a/ak,am,因为

33|（4+a«+am）,33|（a7+ak+am）,

所以33|（a.-a,.）.

因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数.........（10分）

设q=q+334，i=T,2,3,…，n.

由331(q+g+%)，得33](3q+334+334)，

所以33|3q,即q211..（15分）

故d“W60.所以，“W61.

综上所述，〃的最大值为61.（20分）

附送

考试必备心理素质

一、强化信心

1、经常微笑