2022-2023学年九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》培优提升训练(附答案)

2022-2023学年九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》

培优提升专题训练(附答案)

1.已知：如图，△/8C是等边三角形，边长为6,点。为动点，绕点/逆时针旋转60°

得到AE.

(1)如图1,连接8。，CE,求证

(2)如图2,NBAD=NDBC,连接。E,求证：点8,D,E三点在同一条直线上；

问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板/8C

中，NB4c=90。，AB=AC,。为5C的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点

D上,得到招NMDN绕点、D旋转,射线DA/,ZW分别与边48,ZC交于E,

F两点、,如图1所示.

(1)操作发现：如图2,当E,F分别是N8,ZC的中点时，试猜想线段QE与QF的数

量关系是，位置关系是.

(2)类比探究：如图3,当E,尸不是/C的中点，但满足8E=/尸时，判断△OEF

的形状，并说明理由.

(3)拓展应用：①如图4,将NMDN绕点。继续旋转，射线。"，DN分别与48,CA

的延长线交于E,F两点，满足5E=ZF,△DEF是否仍然具有(2)中的情况？请说明

理由；

②若在/WN绕点。旋转的过程中，射线。M,£W分别与直线CA交于E,F两

点，满足8£=/尸，若AB=a,BE=b,则NE=(用含a,。的式子表示).

N%\F

图1图2图3图4

3.如图，△/8C为等腰三角形，AB=AC.点。、点E分别在射线比1、射线8c上，连接

DE,将线段DE绕点。逆时针旋转至DF,使得点尸恰好在射线3c上，旋转角为a.

(1)当点C、点E重合时，如图1,若a=30°,NB=60°,/。=4,求线段8C的长

度；

(2)当点C、点厂重合时，如图2,AC与DE交于点、G,若DG=EG,求证：BE=CE；

(3)当BE=CE=CF,/3=30°时，如图3,点P是射线A4上的动点，连接CP,将

线段CP绕点C顺时针旋转60°至线段CP,连接FP.将△CFP沿直线FP'翻折

至△CFP所在平面内得到△(:'FP',直线C'P'与射线BC交于点。.在点P运动

过程中，当尸P最小时，请直接写出与4•的值.

4.如图1,△/8C是等边三角形，点。在△/8C的内部，连接将线段力。绕点4按

逆时针方向旋转60°,得到线段/E,连接8。，DE,CE.

(1)判断线段8。与CE的数量关系并给出证明；

(2)延长ED交直线8c于点?

①如图2,当点尸与点8重合时，直接用等式表示线段和CE的数量关系为

②如图3,当点F为线段8C中点，且皮＞=EC时，猜想/比1。的度数并说明理由.

5.在△/8C中，AB=AC,。是边4c上一点，尸是边48上一点，连接8。、CF交于点、E,

连接力E,且ZE_LCF.

(1)如图1,若/R4C=90°,AF=\,AC=M，求点8到4E：的距离；

(2)如图2,若E为80中点，连接尸D,FD平分N4FC,G为C/7上一点，且/GOC

=ZGCD,求证：DG+AF=FC-,

(3)如图3,若NB4C=120°,BC=12,将沿着翻折得△[8。'，点〃为

BD1中点，连接"4、HC,当周长最小时，请直接写出典■的值.

6.在△48C中，AB=AC,CE=CD=BC(CE—CA),//C8+N£CO=180°,点P为直

线DE上一点，且PB=PD.

(1)如图1,点。在线段8c延长线上，若NNC2=50°,求/Z8P的度数；

(2)如图2,△ZBC与△C0E在图示位置时，求证：BP平分NABC；

(3)如图3,若/Z8C=60°,AB=4,将图3中的△€>£>£(从CE与CA重合时开始)

绕点C按顺时针方向旋转一周，且点8与点。不重合，当为等腰三角形时，求

8£2的值.

图1图2图3

7.如图，在等边△Z8C中，点。为8c的中点，点E为4。上一点，连EB、EC,将线段

EB绕点E顺时针旋转至EF,使点F落在BA的延长线上.

(1)在图1中画出图形：

①求/CE尸的度数；

②探究线段AE,/厂之间的数量关系，并加以证明；

(2)如图2,若/8=4,点G为4C的中点，连。G,将△CDG绕点C顺时针旋转得到

丛CMN,直线8河、ZN交于点P,连CP,在△CDG旋转一周过程中，请直接写出△BC尸

8.在△/BC中，ZBAC=90°,AB=AC.

(1)如图1,过点C作CDL8。交于"，若8M=2,tanZDCB=^-求。M的长；

3

(2)如图2,^ADLAE,KAD=AE,延长Z。、CB交于点F,作EGJ_E4交C8于点

G.猜想ED、CE、EG之间有何数量关系？并证明你的结论.

(3)如图3,若AB=4北，。为一动点且始终有8。J_CD,取CD的中点连接8M,

将MB绕点8逆时针旋转90°得到点E,直接写出△N8E面积的最大值.

动点；连接/E并延长交直线8c于尸，AF=BF.

(1)如图1,若/民4c=75°,4C=s/§,CE=2,求点Z到CD的距离;

(2)如图2,若点E是线段8的中点，求证：AB=2AD；

(3)如图3,若/A4c=45°,AD=4M,将线段4E绕点/旋转45°,点£的对应点

为点G,连接EG,求CG的最小值.

的中点E.

(1)如图I,过点。作。/山8于点尸，连接EE.若a=90°,tan/8。/甘，EF=

2\/l3,求/C的长；

(2)如图2,若a=120°,连接BE,猜想48、AC.8E的数量关系，并说明理由：

(3)在(2)问的条件下，若8c=4正，将△NBE沿着翻折得到连接。£,

当。£最大时，请直接写出的面积.

图I图2

11.如图，△/8C和均为等腰直角三角形，NBAC=NDAE=90°.

(1)如图1,O为线段BC上一点，连接BE、CE,已知。E-CQ=2,BD=8,求

的长；

(2)如图2,。为线段8c上一点，连接BE、CE.过点Z作于，，延长Z”交

CD于F,取CE中点G,连接尸G,求证：DE=2FG；

(3)如图3,已知/8=4,力。=2.作点/关于直线8c的对称点H,将△/£>£•以/

为旋转中心旋转，点”为QE中点，连接CN,将线段CW绕点C顺时针旋转90°得线

段CN',连接4M.在的长度取得最大的情况下，取N8的中点K,动点0在线段

8c上，连K0,将△2K0沿K0翻折到同一平面的AB'KQ,连接8'M'、B，A'.当

A'B'取得最小时，请直接写出△/'B'M'的面积.

AA

EE

C

SI图2

图3

12.ZUCB和△EC。都是等腰直角三角形，CA=CB,CE=CD.

(1)如图①，若△4C8的顶点/在的斜边Z)E上，请直接写出/E,AD,/C的

数量关系

(2)将△ZBC绕点C旋转到如图②所示位置，点8在线段NE上，连则(1)中的

结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请给出正确结论并说明理由.

(3)在绕点C旋转过程中，当4E、8三点共线时，若NC=37•，CD=x[34,

请直接写出的面积.

备用图

13.已知，在△Z3C中，AB=BC,ZABC=90°,点。在射线C8上，连接D4,将线段

DA绕点D逆时针旋转90°后得到DE,过点E作EMLBC交直线BC于点M,连接AE,

CE.

(1)当点。在线段C3上(且不与点C、点8重合)时，如图①所示,

①求证：MC—BD-,

②求证：ZACE=90°；

（2）延长ND与直线CE相交于点M

①当点。在线段C8上（且不与点C、点5重合）时，如图②所示，若4D平分NB4C,

且BD=26直接写出线段NE的长;

②噬等寸,

直接写出tan/MDE的值.

tanNMAC

14.在等腰直角三角形/8C中，N84C=90°,AB=AC.点、D,E分别为N8,ZC中点,

产是线段。£上一动点（不与点O,E重合），将线段/尸绕点/逆时针方向旋转90°得

到线段ZG,连接GC,FB.

（I）如图①，证明：△NF8也△NGC.

（II）如图②，连接GEGE,GF交AE于点、H.

①证明：在点尸的运动过程中，总有NFEG=90°.

②若/B=NC=8,当。尸的长度为多少时，为等腰三角形？请直接写出。尸的长

度.

B

C

B

图①图②

15.如图1,在△Z8E和△/（?£）中，AE=AB,AD=AC,且N84E=NC/。，则可证明得到

△AE8/XABD.

【初步探究】（1）如图2,△Z8C为等边三角形，过4点作ZC的垂线/,点P为/上一

动点（不与点/重合），连接CP,把线段CP绕点、C逆时针方向旋转60°得到CQ,连

QB.请写出Z尸与8。的数量关系并说明理由；

【深步探究】（2）如图3,在（1）的条件下，连接尸8并延长P8交直线C。于点。.当

点尸运动到PDLC0时，若AC~历，求尸8的长；

【拓展探究】（3）如图4,在△/BC中，ZACB=45a,以4B为直角边,/为直角顶点

向外作等腰直角△/8D,连接CD,若ZC=l,BC=3,则CD长为.

16.在△ZBC中，N/8C=90°,ZJ=30°,点。是线段4C的中点，点E是线段上

一点，且BE=BC；

（1）如图1,连接8。，DE,求的度数；

（2）如图2,连接CE,将ABCE沿着8c翻折得到△8CF,连接。尸，G为。尸的中点，

连接BG,并延长8G交CF于点4,求证：GH=BG+CH；

（3）如图3,将△N8C沿着8c翻折得到△M8C,在中，C4=3,J是直线C”

上一点，K是射线NC上一点，若满足必=1,NJBK=60°,请直接写出CK的长.

图1图2图3

17.如图1,在等腰直角三角形△N8C中，NBAC=9Q°•点、E,F分别为4B,4C的中点，

〃为线段EF上一动点(不与点£尸重合)，将线段绕点/逆时针方向旋转90°得

至U/G,连接GC,BH.

(2)如图2,连接G凡HG,HG交AF于点、Q.

①证明：在点，的运动过程中，总有N，/G=90°；

②若/8=NC=2,当E"的长度为多少时，△ZQG为等腰三角形？

18.在△/8C中，ZBAC=90°且ZC=/8,点E为平面内一点，把ZE绕着点/逆时针旋

转90°后得到线段ND

(1)如图1,点E在线段AC上且BE平分N/BC,连接DE,射线BE与CD相交于点F.当

/C=l,C8=&时，求ZE的长.

(2)如图2,点E为△/BC外一点，连接ED、EC、8。，点G为线段8。的中点，射线

G4与CE相交于点”.求证：AHVCE.

(3)如图3,点E在线段8c上，DE//AB,BE=3,工8=36.点M在射线/E上，

点N在线段4C上，且/历=CM连接8"、BN.当8M+8N最小时，直接写出△8NC

与的面积和.

图।

19.己知三角形△力8c绕点/旋转得到△/OE.

(1)如图1,ZCAE=60°,N4CF=NDCE,ZCDE=90°,若8c=2,CD-CF=3,

求力尸的长.

(2)如图2,连接8。，EC,若48CE=//EG且/GAD=]NCAE，若点下是线段CE

的中点，连接GF,BF,求证8ELGE

(3)如图3,三角形△Z8C绕点/旋转得到△/£>£：,若48=3,AC=\,NC4E=90°,

EO和8c所在的直线交于点P,直接写出8。的最大值.

20.已知同一平面内，△8OE和△4DC都是等腰三角形，BD=ED,AD=CD,NBDE=N

ADC.

(1)如图1,8、。、C三点在同一条直线上，点E在线段ZC上，连接过。作。尸

_L/8于点F,DHLAC于点H,若4C=6,AD=\[13,求。尸的长；

(2)如图2,若NBDE=/4DC=90°,连接NE,BC,取NE的中点F,连接。尸交8C

于点G,延长ZE与CD交于点K,若NBCD=2NCAK,求证：BC=2DK；

(3)如图3,若/8。后=//。。=90°,点/与点后重合，AB=2J1.点初为线段48

中点，点N为线段BC上一点，连接将△M8N沿翻折到同一平面内的△A/7W,

连接C7，再将线段CT绕C点顺时针旋转90°得到线段C0,连接80,AQ.当8。最

小时，直接写出此时△ZB。的面积.

四3

参考答案

1.(1)证明：是等边三角形,

：.AB=AC,/8ZC=60°,

'：AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,

:.NDAE=60°,AD=AE,

:.NB4C=NDAE,

：.ABAC-NDAC=NDAE-ADAC,

即：ZBAD=CAE,

在△8/0和△C4£中，

'AB=AC

，ZBAD=ZCAE,

,AD=AE

.♦.△BAD空/\CAE(SAS),

：.BD=CE；

(2)由(1)知：ZCAE=ZBAD,

'：ZCAE=ZCBE,

：.NBAD=NCBE,

,:AABC是等边三角形，

AZABC=60°,

:.NABD+NCBE=60°,

；.NABD+NBAD=6G°,

/.ZADB=180°-(NABD+NB4D)=120°,

•：AD=AE,ND4E=60°,

/\ADE是等边三角形，

:.NADE=6Q°,

AZADB+ZADE=1SO°,

:.B、D、E在同一条直线上；

(3)解：如图，

连接CE,

由（1）得：△BADmdCAE,

：.NACE=NABD,

•••△45C是等边三角形，

:・AB=BC,ZACB=ZABC=60°,

•：BF工AC,

二4即=//•=3。'，dF=/AC=3，

AZACE=30°,

:.NBCE=N4CB+NACE=90°,

点E在过点C且与BC垂直的直线上运动，

...当FE垂直于该直线时，CE最小（图中点CE'）,

VZCE'尸=90°,ZACE=30a,

：.FE'=—CF^->

22

••.EF的最小值为：4.

2.解：（1）4c=90°,点。是8c的中点，

:.AD=BD=CD=LBC,

2

♦.•点E是的中点，点/是AC的中点，

:.DELAB,DFLAC,AE=—AB,AF^—AC,

22

二四边形?是矩形，

'：AB=AC,

：.AE^AF,

二矩形/即尸是正方形，

：.DE=DF,NEDF=90°,

故答案为：DE=DF,DELDF；

(2)如图1,

E,

BDC

图1

△DM是等腰直角三角形，理由如下：

连接4),

由上知：AD=BC,NADB=9Q°,

:.NADE+NBDE=90°,

'：AB=AC,NBAC=90°,。是8c的中点，

，/8=/C=45°,/£UC=/8/D=//BAC=45°,4D=BD得BC,

：.ZB=ZDAC,

•:BE=AF,

：./\DBE^/\DAF(MS),

：.DE=DF,NADF=NBDE,

:.NADE+N4DF=90°,

:.NEDF=90°,

...△Z)EF是等腰直角三角形；

(3)①如图2,

△DM仍是等腰直角三角形，理由如下：

连接AD,

由上知：ZDAC=ZABC=45°,AD=BD,

/.180°-Z£>^C=180°-AABD,

：.NE4D=NDBE,

,:BE=AF,

:.△DBE/4D4F(SAS),

：.DE=DF,NADF=NBDE,

同(2)可得：NEDE=90°,

...△OE尸仍是等腰直角三角形;

②如图1,

AE=AB-BE=a-b

如图2,

AE=AB+BE=a+b,

故答案为：。-6或々+6.

图1

作CG_L8R交BD于G,

:・NBCG=90°,

*：DE=DF,ZEDF=a=30°,

AADEF=ZF=18Q°-^EDF=75-,

2

'：AB=AC,Z5=60°,

.♦.△NBC是等边三角形，Z5GC=90°-Z5=30°,

：.BC=AC,NBDC=NDEF-ZS=15°,

：.ZGCD=ZBGC-ZBDC=30Q-15°=15°,

：.ZGCD=ZBDC,

：.DG=CG,

•：CG=6AG,

：.DG=\T3(4-OG),

:.DG=6-2M，

：,BC=AC=AG=^-(6-2V3)=24-2;

(2)证明：如图2,

在CG上截取G〃=4G,连接AE,

*：DG=EG,

・・・四边形是平行四边形，

:・AE〃DH,AD//EH,

：.ZGEH=NADE,

*：DE=/DC,AB=AC,

:・/DEC=/DCE,/B=/ACB,

：./DEC-/B=ZDCE-NACB,

：.NADE=NDCA,

：.ZGEH=NDCA,

：.NDEC-/GEH=ZDCE-NDCA,

：.ZHEC=NHCE,

:,EH=CH,

:・DHLCE,

：.AE±BCf

:・BE=CE；

(3)解：如图3,

作CG_L8O于G,作NGC"=60°,且CH=CG,连接HR

•.•线段CP绕点C顺时针旋转60°至线段CP,

：.APCP'=60",PC=P'C,

:./GCH=/PCP',

，ZGCH-APCH=NPCP'-NPCH,

：.ZGCP=ZHCP',

：./\CHP'g△CGP(SAS),

:"CHP'=NCGP=90°,

.•.点P'在与垂直的直线上运动，

作。"LHP',FP'最短，此时点P在P"处，

将△一'"F沿FP"翻折至△(?"P"F,交射线8C于0',

VZ5=30°,

/.Z5CG=900-Z5=60°,

'：NGCH=60°,

：.ZHCF=\S00-NGCH-NBCG=60°,

•:NH=/FP"H=90°,

：.CH//FP",

：.AP"FC"=NCFP"=180°-Z/7CF=120°,ZP"FQ'=60

：.ZQ'FC"=NP"FC"-NP"FQ'=60°,

.p"Q‘二FP”

••Q'C=FC";CF

,:CG=CE=LBC,CF=CE,

2

：.CH=CF,

■:NCHF=NHCF=60°,

.♦.△//CF是等边三角形，

AZFHP"=NCHP"-ZCHF=90Q-60°=30°,

：.FP"=—HF=—CF=—FC"

222

.P"Q'1

■Q，C.2,

即：当FP'最小时，^-4=4

4.解：（1）BD=CE,理由如下:

是等边三角形，

；.NB4c=60°,AB=AC,

是由/。绕点/逆时针旋转60°得到的，

AZDAE=60a,AD=AE,

：.NBAC=ZDAE,

：.ABAC-4DAC=ADAE-ADAC,

即：NBAD=NCAE,

在△8/。和△C4E中，

，AB=AC

-ZBAD=ZCAE,

,AD=AE

：.ABADm丛CAE(SAS),

：.BD=CE；

(2)①由(1)得：NDAE=60°,4D=AE,BD=CE,

/./\ADE是等边三角形，

：.DE=AE,

：.AE=DE=BE-BD=BE-CE,

故答案为：AE=BE-CE；

②如图，

ZBAD=45°,理由如下：

连接ZF,作“GLOE于G,

AZAGD=90Q,

:尸是8c的中点，△NBC是等边三角形，是等边三角形,

：.AFVBC,ZABF^ZADG=60°,

ZAFB=ZAGD,

：.△ABFs"DG,

.•.胆望_,NBAF=NDAG,

AFAG

，ZBAF+ZDAF=ZDAG+ZDAF,

：.NBAD=NE4G,

二/\ABD^^AFG,

:.NADB=N4GF=90°,

由(1)得：BD=CE,

•:CE=DE=AD,

：.AD=BD,

：.ZBAD=45°.

5.(1)解：如图1,

作BGL4E于G,

■:/BAC=90°,

/—

AtanZJFC=—=V3,

AF

AZAFC=60°,

•・ZE_LCR

・・・N64G=90°-ZAFE=90°-60°=30°,

*••BGAB，

2

*；AB=AC=g,

•••BG哼，

即点8到NE的距离是耳；

2

(2)证明：如图2,

F

尸图2

延长4E至“，使EH=AE,连接CH,

*：AELCF,

:・CH=AC=AB,

・・・/ACH=2/GCD,

♦：BE=DE,

・・・四边形ABHD是平行四边形，

:.DH〃AB,DH=AB,

:./BAD=/CDH,CH=DH,

：.ZACH=/CDH,

：.ZACH=NBAC,

：.NB4c=2NDCG,

*：/GDC=/GCD,

:・DG=CG,/FGD=2/DCG,

：.ZBAC=ZFGD,

平分N4FC,

・•・NAFD=NGFD,

♦；DF=DF,

：./\AFD^AGFD(AAS)f

:・AF=FG,

♦；CG+FG=FC,

：.DG+AF=FC；

(3)解：如图3,

图3

作点C沿8。翻折后的对应点C',延长C'A交BC于N,

■:NB4D'=ZBAD=120°,

・••点。在NC'上运动，

作△力8C'的中位线7V,交.AC'于7,交BC于R,

*：AB=ACfN84c=120°,

:・/ABC=/ACB=30°,

9：ZBAN=1800-ABAC1=180°-120°=60°,

AZAVB=90°,

U：TR//AC,,

:,TRLBC,

,/8/C=30°,

-.■BN=XK=-LX12=6

，ZN=AN=2E，

...摩=£ANS，

作点4关于77?的对称点,连接力'C交77?于H,连接8〃并延长交M4于。'，此

时△”/（?的周长最小，

•加=2旧3岑"哼，

：.AD=AD'=2HV=g,

BD=）（必将）2呜）2=34，

.ADV3_向

♦,丽万厂k

6.⑴解：VZACB+ZECD=ISO°,

・••点8,点、C,点。共线,

u

\AB=ACf

：.ZABC=ZACB=50°,

：.ZECD=\30°,

9：CE=CD=BC,

：.ZCED=ZCDE=250,

*：PB=DP,

：.ZPBD=ZPDB=25°,

；・NABP=25°；

(2)如图2,连接5。，

E

图2

*：CB=CD,PB=PD,

:・/CBD=/CDB,/PBD=/PDB,

.•・/PBC=/PDC,

*：EC=CD,

：./CED=NCDE=/PBC,

VZACB+ZECD=\SO°,ZECD+ZCED+ZCDE=180°,

・・・ZACB=2ZEDC=2ZPBC,

*：AB=ACf

：.ZABC=/ACB,

NABC=2NPBC,

：.ZABP=/PBC,

・・・尸3平分48C；

(3)如图3-1,当点力与点£重合时，

VZABC=60°,AC=AB=4f

•••△45C是等边三角形，

AZABC=ZACB=ZBAC=60°,

*：AC=CD,

：.ZCAD=ZCDA=30°,

•:PB=PD,

：.ZPBD=ZPDB=30°,

:・NABP=NPBC=30°,

•••△48C是等边三角形，

:・BP是EC的垂直平分线，

:,EP=PC,

：./\EPC是等腰三角形，

/.BE1=AB2=\6,

如图3-2中，当EC=EP时,过点E作EHLBP于点、H,连接8£.

*：PB=PD,CB=CD,

:,PC上BD,PC4分/BPD,

\'ZCED=30°=NECP+/EPC,/ECP=/EPC,

：.ZECP=ZEPC=15Q,

:・NBPC=/EPC=150,

:・/EPH=30°,

：.EH=^-PE=2,PH=2\/3,

2

♦:PB=PD=4+4M,

：.BH=PB-PH=4+4\[3-2>/3=4+2A/3,

：.BE2=EH2+BH^=^+(4+26)2=32+16A/§,

如图3-3中，当EC=EP时，连接BE,作BT±EC于点T.

VZC£P=30",

:.NECP=/EPC=15°,

VZ£CD=120°,

/.ZDCP=ZPCB=45°,

：.ZBCT=30°,

：.BT=^BC=2,CT=2\(3,

：.ET=4-2\I^,

:.Ba=BR+EP=»+(4-2-/3)2=32-166，

综上所述，80的值为16或32+1R5或32-16五.

7.解：(1)如图1所示：延长

①•.•等边△NBC中，点。为8C的中点，

是8c的垂直平分线，ZBAD=ZCAD=30°,

：.BE=CE,

：.NEBC=NECB,

,：将线段EB绕前E顺时针旋转至EF,

：.BE=EF,

：.NEBF=NEFB,

'：ZCEF=ZFEH+ZHEC=ZEBF+ZBFE+ZEBC+ZECB=2ZABE+2ZEBC,

:.NCEF=2NABC=120°；

@AB=AF+\[3AE,

理由如下：

如图1-1,在4B上截取BM=AF,连接ME,过点E作EN1AB于N,

图1-1

*：BM=AF,NAFE=NEBM,BE=EF,

:.4BMEmAFAE(SAS),

：.AE=EM,

又,：EN上AB,

：.AN=MN=—AM,

2

♦；NB4D=30°,

：.AE=2NE,AN=^NE,

Vs

：.AN=­AE,

2

：.AM=xl3AE,

:.AB=BM+AM=AF+\[3AE；

(3)如图2,

•..△N8C是等边三角形，48=4,点G为/C的中点,

：.AC=BC,ZACB=60°,CG=CD=2,

:将△CDG绕点C顺时针旋转得到

:.CM=CN=CG=CD=2,NMCN=NACB=60°,

，NACN=NBCM,

:.ABCMQACN(SAS),

：.ZCAN=ACBM,

...点月，点8,点C,点P四点共圆,

；./BPC=/B4c=60°,

♦.,将△CDG绕点C顺时针旋转得到△CMM

...点M在以点C为圆心，CM为半径的圆上,

.•.当8M与0C相切于点M时，△BCP的面积有最大值，如图所示，过点尸作8c

图3

”是OC的切线,

AZBMC=90°=NPMC,

又,.,/BPC=60°,

AZPCM=30Q,

:.CM=MPM=2,

3

:8M=JBC2_CM2=V16-4=2a>

BP=BM+MP=^^~

3

・・

•dsin/QPBaC—CM=PH,

BCBP

..2、，8V3_4V3

••rri---X-----------,

433

...△BC尸的面积最大值=工义4乂理工=烈^

233

故答案为烈&.

3

8.解：（1）如图1,

作MV_L8C于N,

:.NMNB=NMNC=90°,

"：AB=AC,NB4c=90°,

:.NABC=NACB=45°,

在RtAMNB中，

BN=MN=BM*£n/ABC=2X^^=fi，

2

在RtaCMN中，

tanZ5CD=­=—

CN3

:.CN=3MN=3五，

.,.CM=JMN2RN2=2盗,BC—CN+BN-4\[2，

■:NCNM=ND=90°,ZMCN=ZBCD,

:./\CMNsACBD,

,CM=CN

♦•而F’

...3_3点,

,,MCD

：.CD=^fs，

b

：.DM=CD-CM=

55

(2)如图2,

A

9

\AD±AEf

:・/DAE=90°,

.•・ZDAE=ZBAC,

：./DAE-NBAE=ABAC-NABE,

：.NDAB=NCAE,

在△34D和中，

rAD=AE

<ZDAB=ZCAE,

kAB=AC

:,ABAD出ACAE(SAS),

:・BD=CE,ZAEC=ZADB=ISO°-ZAED=\SO0-45°=135°，

：.ZBDF=ISO°-ZADB=45°,

AZBDF=ZADC=45°,

，•NF+NFCD=/ACB,ZACD+ZFCD=ZACB,

：.ZF=/ACD,

:.ABEDsAACD,

.BD=AD

"DFCD"

,:BD=CE,AD^^-DE,

.国粤DE

,,DFCD

.V2CE_DE

DRCD'

•：/AEG=/DAE=90°,

J.EG//AF,

:ACEGSMCDF,

.EG=CE

"DFCD

.EGCE

DFDF

：.EG^/^CE=DF；

取8c的中点凡连接。尸，取C尸的中点/,连接用/,

VZBAC=90°,AB=AC=4\[^,

:.BC=®AB=8,

VZ5£>C=90°,

.•.DF=1BC=4,

♦.•点”是CD的中点，

：JM=—DF=2,

2

二点”在以/为圆心，2为半径的圆上运动，

作O8J_8/,且08=8/=6,连接OE,

,:NEBM=NOBI=90°,

ZEBM-ZOBM^ZOBI-ZOBM,

：.4EBO=ZMBI,

•:EB=BM,

:.丛EBO9XMB1(SZS),

：.OE=1M=2,

...点£在以。为圆心，2为半径的圆上运动,

过点。作ORLAB交。。于点H,

当点E运动到点〃时，△48E的面积最大，

在RtZ\O87?中，08=6,/ABO=N0BI-/ABC=90°-45°=45°

=^08=3扬

二HR=OR+OH=3®+2,

•••SyBE最大弓卷"HR=/x4五X(372+2)=12+4近.

9.(1)解：如图1,

,:AC=CD,

：.ZCDA=ZCAD=75°,

AZJCL>=180°-ZCDA-ZCJD=30°,

**-AGAC=,

即：4点CO的距离是3港；

(2)证明：如图2,

作CG_LZ。于G,交AE于H,连接。R

*：AC=CD,

：.AG=DG,

:・AH=DH,

・・・ZGAH=NADH,

•：AF=BF,

：.ZGAH=NB,

:./B=/ADH,

：.DH//BC,

:・/EDH=/ECF,/EHD=/EFC,

•・•点E是CO的中点，

：.DE=CE,

:・/\EDH父AECF(AAS\

:・DH=CF,

J四边形DHCF是平行四边形，

:.DF//CG,

：.DFLABf

:・AB=2AD；

(3)解：如图3,

图3

延长。至“，使连接HG,作CG'_LG〃于G',

\UAC=CD,NB4c=45°,

AZADC=ZBAC=45°,

AZACD=90°,

,.,力。=4施，

：,AH=AD=A,

VZBAC=ZEAG=45Q,

・•・/DAE=/GAH,

：./\ADE^/\AHG(S/S),

：.ZH=ZADC=45°,

点G在直线"G上运动，

，CG的最小值是CG',

,：AHCG'=90°-NH=45°,

：.ZH=ZHCG',

：.G'C=G'H,

由勾股定理得：G'C2+G'FP=CH2,

：.2G'。=(4A/2-4)2,

：.G'C=4-2V2,

即CG的最小值是4-2方.

10.解：(1),:NBAC=NCBD=9Q°,

:.NDBF+NABC=90°,ZABC+ZC=90°,

二ZDBF=NC,

"：DFLAB,

：.ZDFB=90°,

:./DFB=NBAC=9Q°,

,:BC=BD,

：.^,ABC^^FDB(44S),

：.AB=DF,AC=BF,

BF1

VtanZ5£)F=­=—,

DF3

二设力C=8F=a,DF=3a,

:・AB=3a,

:・AF=AB-BF=2a,

在产中，点E是4D的中点，

：.AD=2EF=4\H3,

在RtA^£)F中，

产+。尸=/。2,

(3a)2+(2a)2=(4仍分)2,

••Q=4,

：.AC=4；

(2)如图1,

2BE=AB+AC,理由如下：

将△48C绕点8逆时针旋转120°至/XBDF,连接ZREF,延长8E至G,使EG=BE,

连接G。并延长，交3尸的延长线于〃，

:・BF=AB,ZABF=120°,/BFD=NBAC=120°,

:・NAFB=NB4F=30°,

AZAFD=ZBFD-ZAF,B=\20°-30°=90°,

・・,点E是4。的中点，

EF=AE=^^

•；BE=BE,

：./\ABE^/\FBE(SAS),

：.ZABE="，

•：AE=DE,NDEG=/AEB,

:•△DEGmdAEB(SAS)f

：.ZG=ZABE=60°,

：.GH//AB,

：.ZH+ZABF=\^QQ,

AZ//+12O0=180°,

・・・/〃=60°,

•••△5G〃是等边三角形，

:・BG=BH,

VZDFH=\S0°-ZBFD=[S0°-120°=60°,

**./XDFH是等边二角形,

：.HF=DF=AC,

：.BG=HF+BF,

.,.2BE=AB+AC；

作△NBC的外接圆O,连接。O,取。。的中点O',连接O'E,

^-BC

可求得。。的半径为:=4,

sin60c

.•Q后忖OA=2,

连接£'和O'B,将△80'E绕点8顺时针旋转120°至△8。"E",

有（2）知：ZABE=60°,

二点£和点夕关于Z8对称,

二点O"和点0'关于对称,

延长。。"至E',则。E'最大,

连接作。尸，8。，交8。的延长线于凡作O'GJ_O尸于G,

NOBC=30°,

VZABC=nO0,

：.ZOBF=iSO°-ZABC-ZOBC=30°,

••.0尸忖CB=2,8/=^=26，

DF=BD+BF^4\[3+273=6禽，

：.O'G=yOF=1，DG=FG/DF=36，

：.BG=BD-DG=4弧-

：.ZGDO'=30°,O'8=2,

：.O"在08的中点，

作O"LDF于H,作£1'NLDF于N,

：.O"H^—O"5=1,B=C，

22

DH=BD+BH=AM+V3=56，

DO"=JDH2<)"M=v(5A/3)2+l2=2V19，

由△Z)H9"sADNE'得，

0"H_D0''

E'N-"DF-'

A1_2V19

"EyN2>/19+2'

：.E,『型"

19

7_lnnM_1v./TX19W19_38V3+2V57

..S&BDE.一万BD・EN-yx4V3x——-------------------------

11.(1)解：,.•△/8C和△/£>£：均为等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,

J.AB^AC,AD=AE,NBAC-NDAC=NDAE-NDAC,

:*NBAD=NCAE,

:.ABAD/MAECSAS),

；.N4CE=NR4D=45°,CE=BD=8,

：.ADCE^ZBCA+ZACE=450+45°=90°,

.'.DE1-CO2=C0=82=64,

有DE-CD=2,

：.DE=\7,CD=\5,

:.BC=BD+CD=8+15=23,

...-8=亚8。=23圾；

22

(2)如图1,

A

作8c于/，交.BE于N,

"：AB=AC,

：.AM=BM=^C，

VZAHB=ZBMN=90°,

・••点4、H、M、3共圆，

・・・/E4H=NMBN,

♦：/BMN=/AMF=90°,

ACASA),

:・NM=MF,

,:MN〃CE,

：・4BMNs/\BCE,

•.M・—N_B—M"-11=1■■,

CEBC2

.•.W=1CE,

由(1)得，CE=BD,

：.DF=DM+MF=BM-BD+^BD得BC-为。得(BC-BD)==CD,

,:CG=EG,

."G=^DE；

(3)如图2,

连接/M，将△ZMC绕点C逆时针旋转90°至△/"/'C,

.'.A"M'.

...点在以Z"为圆心，半径是6的圆上运动，

.•.当A',A",M'（图中M"）共线时，A'M'最大，最大值为A'M"=A'A

+A"M"=8+扬

'：KB'=KB=2,

:.前B'在以K为圆心，2为半径的圆上运动,

.•.当，，B',K共线时，A'B'最小，最小值为，K-KB'=业*曲/2-2

=2遥-2,

HB'SAKBA',

.B'H_A'B'

"BA7--RA5-，

.H2V5-2

.H=§(10-2右)，

□

•••S△…"=勃M"'B‘H=gx(8W2)X-|-(10-2V5)=

80-16祈+1的-2/13

51

12.(1)解：如图1,

连接BD,

△NC8与△ECO都是等腰直角三角形，

：.NECD=NACB=90°,NE=N/£)C=/C48=45°,EC=DC,AC=BC,AC^+BC^

=AB2,

：.2AC^=AB2.

"：NECD-ACD=ZACB-NACD,

：.ZACE=ZBCD.

在△NEC和△8DC中，

AC=BC

■ZACE=ZBCD.

,AE=CD

：.4AEC也ABDC(SAS).

：.AE=BD,NE=/BDC=45°,CE=CD,

：.ABDA=NBDC+4£>C=90",

在RtA4D8中.•:AD2+BD2=AB2,

.../£)2+N中=2/。.

故答案为：AD2+AE2=2AC2.

不成立，AD2-AE2=