函数（概念与性质指数函数与对数函数）教材分析课件高一上学期数学人教A版

函数的概念与性质

指数函数与对数函数

教材分析函数的“灵魂”应该成为中学数学的“基石”，应该把算术、代数和几何方面的内容，通过几何的形式用函数为中心的观念综合起来。

——《高观点下的初等数学》作者菲利克斯•克莱因

函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题汇总发挥重要作用。

——《高中数学课程标准（2017版）》整体分析

分章节分析及教学建议（按照人教A版必修第一册）

函数的概念及性质

指数函数与对数函数整体分析函数也是中学数学中最重要的基本概念之一。从大的方面来说，中学数学教学中的函数教学大致分为三个阶段。

第一阶段，是在初中探讨了函数的概念、函数的表示方法以及函数图象的绘制等，并具体地讨论了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等函数的图象与性质。

第二阶段，是高中必修部分的函数概念与性质、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数以及数列，这是函数概念的再认识阶段。第三阶段，是高中选择性必修部分的导数及其应用，这是函数及其应用的深化和提高，也是进一步学习高等数学以及用函数知识解决生产和实际生活中的复杂问题所需要具备的基础知识。

整体分析主题二函数函数概念与性质幂函数、指数函数、对数函数三角函数函数应用函数是贯穿高中数学课程的主线，也是必修与选择性必修课程的主题之一主题一函数数列一元函数导数及其应用必修部分选择性必修部分课标内容要求：（1）函数概念

本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。

内容包括：函数概念、函数性质、*[1]函数的形成与发展。整体分析函数的概念与性质具体内容与要求对应人教A版教材章节函数概念函数的概念及要素在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域。3.1.1函数的概念函数的表示在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用。3.1.2函数的表示法分段函数通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用3.1.2函数的表示法例5函数性质单调性借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义。3.2.1单调性与最大（小）值奇偶性结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义。3.2.2奇偶性周期性结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义。5.4.2正弦函数、余弦函数的性质*函数的形成与发展

收集函数概念的形成与发展的历史资料，撰写论文，论述函数发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献。习题3.1后的阅读与思考课标内容要求：（2）幂函数、指数函数、对数函数

幂函数、指数函数与对数函数是最基本的、应用最广泛的函数，是进一步研究数学的基础。本单元的学习，可以帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究这些函数的性质；理解这些函数中所蕴含的运算规律；运用这些函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用。

内容包括：幂函数、指数函数、对数函数。整体分析2.幂函数、指数函数、对数函数具体内容与要求对应人教A版教材章节幂函数

通过具体实例，结合的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数。3.3.幂函数指数函数指数幂的推广及运算通过对有理指数幂)、实数指数幂含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质。4.4.1n次方根与分数指数幂；4.4.2无理指数幂及其运算性质指数函数概念通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念。4.2.1指数函数的概念指数函数图象与性质能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。4.2.2指数函数的图象和性质对数函数对数的概念及运算理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。4.3.1对数的概念；4.3.2对数的运算对数函数概念、图象及性质通过具体实例，了解对数函数的概念。能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。4.4.1对数函数的概念；4.4.2对数函数的图象和性质反函数知道对数函数与指数函数互为反函数()

对数的形成与发展收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用。习题4.3后的阅读与思考课标内容要求：（3）函数应用函数应用不仅体现在用函数解决数学问题，更重要的是用函数解决实际问题。本单元的学习，可以帮助学生掌握运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法）；理解用函数构建数学模型的基本过程；运用模型思想发现和提出、分析和解决问题。内容包括：二分法与求方程近似解、函数与数学模型。整体分析函数应用具体内容与要求对应人教A版教材章节二分法与求方程近似解函数的零点结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系。4.5.1函数的零点与方程的解二分法结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性。4.5.2

用二分法求方程的近似解函数与数学模型函数模型的构建理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律。3.4函数的应用（一）4.5.3函数模型的应用不同函数增长差异结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义。4.5.3函数模型的应用4.4.3不同函数增长的差异函数模型的阅读收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义。

函数的概念与表示函数的基本性质幂函数函数的表示函数的概念函数的三要素解析法图像法表格法单调性最大值、最小值奇偶性应用函数初中已学的函数概念客观世界的中变量关系背景函数的形成与发展分章节分析及教学建议——函数的概念及性质本章教学主要涉及到函数的五个方面

概念、表示、性质、实例、应用、历史

概念、表示与历史——函数是什么？

性质和实例——对于函数研究什么，如何研究？

应用——如何应用函数解决问题？

分章节分析及教学建议——函数的概念及性质课时安排建议

总共约12课时，具体建议如下：3.1函数的概念及表示（4课时）3.2函数的性质（3课时）3.3幂函数（1课时）3.4函数的应用（一）（1课时）文献阅读与数学写作函数的形成与发展（1课时）小结（2课时）分章节分析及教学建议——函数的概念及性质3.1函数的概念及其表示课标中的教学提示

函数概念的引入，可以用学生熟悉的例子为背景进行抽象。例如，可以从学生已知的、基于变量的函数定义入手，引导学生通过生活或数学中的问题，构建函数的一般概念，体会用对应关系定义函数的必要性，感悟数学抽象的层次。

难点在于如何引导学生在函数初中定义的基础上，从实际问题和具体实例逐步归纳抽象，建构出函数的高中定义。分章节分析及教学建议——函数的概念及性质

分章节分析及教学建议——函数的概念及性质

分章节分析及教学建议——函数的概念及性质

分章节分析及教学建议——函数的概念及性质

分章节分析及教学建议——函数的概念及性质3.1函数的概念及其表示（1）集合A和B引入的必要性:

集合A、B其实就是初中定义中变量x和y的取值范围.教材在本章起始时用到的例子以及相应的问题就是在引导学生思考变量的范围对于函数的重要性.

分章节分析及教学建议——函数的概念及性质

分章节分析及教学建议——函数的概念及性质3.1函数的概念及其表示

（3）对应形式的多样性；

本章教材第1节中的问题3和问题4分别给出了由图象和表格确定的对应关系，提出相应的引导性问题分章节分析及教学建议——函数的概念及性质

分章节分析及教学建议——函数的概念及性质

分章节分析及教学建议——函数的概念及性质3.1函数的概念及其表示

函数的三种常用表示方法：

解析法：简明，精确，适合于严格的推导和论证

图象法：直观，形象，适合于性质的观察和发现

列表法：直接，便捷，适合于实际的操作和应用，例如银行中利率表，列车时刻表等

其他的表示法，如箭头图分章节分析及教学建议——函数的概念及性质

分章节分析及教学建议——函数的概念及性质

分章节分析及教学建议——函数的概念及性质3.1函数的概念及其表示

对于分段函数，应该让学生理解这其实是一种由简单的基本初等函数生成复杂函数的一种途径.

因为是将不同的函数通过逐段拼接方式而产生的，分段函数因而可以同时具备不同函数的局部性质，因此可考查的角度很多，成为考试评价的一种重点题型。例：（2016年北京高考理科第14题）分章节分析及教学建议——函数的概念及性质3.2函数的基本性质

主要内容：

单调性、奇偶性

课标的要求:

函数单调性的教学，要引导学生正确使用符号语言清晰地刻画函数的性质。在函数定义域、值域以及函数性质的教学过中，应避免编制偏题、怪题，避免繁琐的技巧训练。分章节分析及教学建议——函数的概念及性质

分章节分析及教学建议——函数的概念及性质

分章节分析及教学建议——函数的概念及性质

分章节分析及教学建议——函数的概念及性质3.2函数的基本性质在给学生示范单调性的符号定义时，可以通过适当的问题引发思考和辨析，如：为什么要取定义域内的两个值？取一个是否可以？为什么所取的两个自变量的值都要任意？只让其中一个取值任意是否可以？是否有其他等价的表述形式？……分章节分析及教学建议——函数的概念及性质3.2函数的基本性质

“是否有其他等价的表述形式？”也相当于“是否有其他判别方式？”例如：目标3.2.1第3题分章节分析及教学建议——函数的概念及性质3.2函数的基本性质函数单调性证明的步骤：

（1）设变量及大小

（2）函数值作差（3）对差作代数变形（4）判断正负

（5）得出结论其中第（3）步是学生的难点，可以结合例题给学生总结归纳一些基本思路和方法：如通分、因式分解（分组分解、十字相乘、常用公式）、配方、分子有理化等。与预备知识中的“等式与不等式”紧密相关分章节分析及教学建议——函数的概念及性质

分章节分析及教学建议——函数的概念及性质

分章节分析及教学建议——函数的概念及性质

分章节分析及教学建议——函数的概念及性质

分章节分析及教学建议——函数的概念及性质

分章节分析及教学建议——函数的概念及性质

分章节分析及教学建议——函数的概念及性质

分章节分析及教学建议——函数的概念及性质3.2函数的基本性质函数单调性的直接应用就是求函数的最值对于最值，首先明确严格的定义，这是又一次让学生体会学习逻辑用语的重要意义。分章节分析及教学建议——函数的概念及性质3.2函数的基本性质

需要引导学生关注最值定义中的存在性条件，即最值点的存在性例如：目标，第5题开口向上的二次函数在R上有一个最小值，但限定到一个闭区间上，需要关注是否能取到R上的最小值，即对称轴是否在区间中，如果取不到，就一定在边界处取到最小值。分章节分析及教学建议——函数的概念及性质

分章节分析及教学建议——函数的概念及性质

单调性可以只关注定义域的一个子区间D分章节分析及教学建议——函数的概念及性质

分章节分析及教学建议——函数的概念及性质

分章节分析及教学建议——函数的概念及性质3.3幂函数

A版新教材在本章最大的变化就是将基本初等函数之一的幂函数提前放到了这一章节.这样调整的目的有两方面一方面是让学生学完函数的一般概念和性质以后，尝试自主研究一类新的函数，体会研究函数的内容、思路和方法.为后续进一步研究指数函数和对数函数作铺垫.另一方面，幂函数与初中的一次函数、二次函数和反比例函数联系紧密，学生学习的难度相比指对函数更低，体现出教学内容安排的阶梯性.分章节分析及教学建议——函数的概念及性质

分章节分析及教学建议——函数的概念及性质

分章节分析及教学建议——函数的概念及性质本章主要内容

两个运算：指数幂，对数

两个函数：指数函数与对数函数

幂函数、指数函数与对数函数是最基本的、应用最广泛的函数，是进一步研究数学的基础。本单元的学习，可以帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究这些函数的性质；理解这些函数中所蕴含的运算规律；运用这些函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用。分章节分析及教学建议——指数函数与对数函数分章节分析及教学建议——指数函数与对数函数课时安排建议

总共约16课时，具体建议如下：4.1指数（2课时）4.2指数函数（2课时）4.3对数（2课时）4.4对数函数（3课时）4.5函数的应用（4课时）文献阅读数学写作对数概念的形成与发展（1课时）小结（2课时）4.1指数&4.2指数函数课标中的教学提示

指数函数的教学，应关注指数函数的运算法则和变化规律，引导学生经历从整数指数到有理指数幂、再到实数指数幂的拓展过程，掌握指数函数的运算法则和变化规律。

我们习惯于把指数幂的推广看成是代数中数及其运算的问题，但实际上应该把指数幂的拓展过程作为指数函数研究的一部分，把指数幂的运算法则看成是指数函数的性质。

分章节分析及教学建议——指数函数与对数函数分章节分析及教学建议——指数函数与对数函数

分章节分析及教学建议——指数函数与对数函数

分章节分析及教学建议——指数函数与对数函数

分章节分析及教学建议——指数函数与对数函数极限思想

分章节分析及教学建议——指数函数与对数函数表格运算

数轴描点

分章节分析及教学建议——指数函数与对数函数

分章节分析及教学建议——指数函数与对数函数4.2指数函数

充分利用教材中的问题1（景区游客人次）和问题2（生物体内碳14的衰减），引导学生从实际问题中发现变量的变化规律，逐步抽象概括出指数函数的概念。这一过程分为三步：（1）通过观察数据以及数据的图象，初步抽象出实际问题的变化规律（2）通过数据运算，探究数据变化规律的本质（3）通过抽象概括，归纳出指数函数的一般表达式

分章节分析及教学建议——指数函数与对数函数4.2指数函数（1）通过观察数据以及数据的图象，初步抽象出实际问题的变化规律分章节分析及教学建议——指数函数与对数函数直观的变化规律为：一个是线性增长（匀速增长）另一个是非线性增长（增速越来越快）有利于发展学生的直观想象素养4.2指数函数（2）通过数据运算，探究数据变化规律的本质

引导性问题：用什么方法能准确地刻画数据变化规律?

答案：运算（求差、求商等）问题1中对于A景区：通过求差运算，可以发现A地景区增加量

基本稳定在10万，这是一次函数刻画的变化规律即增加量不变对于B景区：游客人次的年增长率都约为，

基本为一个常数。

增长（或衰减）率是一个常数的

变化规律，称为指数增长（衰减）

分章节分析及教学建议——指数函数与对数函数

分章节分析及教学建议——指数函数与对数函数

分章节分析及教学建议——指数函数与对数函数4.2.3指数函数的图象与性质两种作图方式:(1)列表描点作图；(2)利用信息技术根据函数解析式直接作图根据图象归纳性质要基于大量具体函数的图象，可借助信息技术提高效率以幂函数的学习研究经验为参考：

思路：

定义（解析式）→图象→定义域→值域→奇偶性(对称性)→单调性

→最值点→零点→定点→渐进线→所在象限等等方法：①从一般概念分析定义；②从图象归纳性质；

③从解析式推导性质；④多个函数实例对比分析

分章节分析及教学建议——指数函数与对数函数

分章节分析及教学建议——指数函数与对数函数

分章节分析及教学建议——指数函数与对数函数4.3对数

对数的概念及其运算是对数函数的学习基础。在数学发展历史上，先有对数，然后才有指数幂。但后来随着数学公理化体系的逐步建立，一般安排先学习指数幂，再学习对数，在指数幂概念及其运算的基础上，引入对数的概念及其运算，这符合学生认知规律，也比较自然。

分章节分析及教学建议——指数函数与对数函数

分章节分析及教学建议——指数函数与对数函数

分章节分析及教学建议——指数函数与对数函数

分章节分析及教学建议——指数函数与对数函数4.3对数

（2017年北京理第8题）

分章节分析及教学建议——指数函数与对数函数

分章节分析及教学建议——指数函数与对数函数

分章节分析及教学建议——指数函数与对数函数函数的应用

1.把函数应用渗透在学习函数的全过程

幂函数、指数函数与对数函数是最基本的、应用最广泛的函数

在函数学习过程中，加强背景和应用，既是为了使学生了解这些函数的来源，理解函数本质，也是为了使学生明确这些函数分别描述了现实世界中哪一类变量关系和规律，从而为学生在面对具体问题时能正确选择函数类型、建立适当的数学模型解决实际问题打下坚实基础分章节分析及教学建议——函数的应用

分章节分析及教学建议——函数的应用函数的应用

3.分段函数的实际应用

基本初等函数都是某一类运动变化现象的数学抽象，是理想化的。现实事物的运动变化往往不是那么纯粹，其增长方式也是丰富多彩的。所以，在利用函数建立数学模型解决实际问题时，一般需要根据实际情况做出选择，有时还需要“分段处理”，这时就需要建立分段函数模型。教材在节给出了两个分段函数应用的典型案例：例1：以个人所得税为背景例2：以汽车行驶里程为背景

这两个例题都是给定数学模型的实际应用，引导学生体会应用函数知识解决实际问题的过程和方法，发展学生数学建模的核心素养分章节分析及教学建议——函数的应用

分章节分析及教学建议——函数的应用函数的应用

4.二分法与求方程近似解的育人价值

二分法的教学可按照

“求方程近似解→求函数零点→缩小区间逼近零点→二分法”的过程实施，

重点帮助学生以函数的观点认识方程，会根据函数性质用二分法求方程的

近似解，让学生从程序化的近似计算中感受逼近和算法的思想理论上二分法是可以无限进行下去，但实际上往往只需要满足某种精度要求的近似解，因为可以编程计算，借助信息技术完成重复工作，同时也能更好地看出此种方法的优势所在。

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