福建省福州市2021-2022学年高二下学期期中质量抽测数学试题(含答案解析)

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页福建省福州市2021-2022学年高二下学期期中质量抽测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线的倾斜角是（

）A．30° B．45° C．60° D．75°2．展开式中，含的项的系数为（

）A．15 B．20 C．60 D．3603．设是等比数列，若，，则（

）A．8 B．12 C．16 D．324．4位同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每位同学只能去一个小区，则不同的安排方法共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种5．在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（

）A． B．C． D．6．在直三棱柱中，，，D为线段的中点，则点D到平面的距离为（

）A． B． C．1 D．7．游泳是提高心肺功能最好的运动之一，某校大约有30%的学生肺活量达到良好等级，该校大约有20%的学生每周游泳时间超过3小时，这些人中大约有50%的人肺活量达到良好等级．现从每周游泳时间不超过3小时的学生中随机抽查一名学生，则他的肺活量达到良好等级的概率为（

）A．0.1 B．0.2 C．0.24 D．0.258．已知实数a，b满足，则下列关系一定不成立的是（

）A． B．C． D．二、多选题9．如图，在平行六面体中，，，．若，，则（

）A． B．C．A，P，三点共线 D．A，P，M，D四点共面10．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．初始感染者传染个人为第一轮传染，第一轮被传染的个人每人再传染个人为第二轮传染，…．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，初始感染者为1人，则（

）A．第三轮被传染人数为16人 B．前三轮被传染人数累计为80人C．每一轮被传染的人数组成一个等比数列 D．被传染人数累计达到1000人大约需要35天11．在平面直角坐标系xOy中，，，点P满足，设点P的轨迹为C，则（

）A．C的周长为 B．OP平分∠APBC．面积的最大值为6 D．当时，直线BP与圆C相切12．如图数表的构造思路源于杨辉三角，该表由若干行数字组成，每一行最左与最右的数字均为2，其余的数字都等于其“肩上”的数字之积．记第i行从左往右第j个数字为a，，则（

）A．B．C．该数表中第9行的奇数项之积等于偶数项之积D．存在j，使得三、填空题13．已知，且，则______．14．已知向量，，．若，则______．15．已知某批零件的长度误差X（单位：毫米）近似服从正态分布，从这批零件中随机抽取一件，则事件的概率为______．附：若随机变量，则，．16．已知双曲线，以原点O为圆心，C的焦距为半径的圆交x轴于A，B两点，P，Q是圆O与C在x轴上方的两个交点．若，则C的离心率为______．四、解答题17．已知函数．(1)求的单调区间；(2)求在区间上的最大值和最小值．18．设各项均为正数的数列的前n项和为，满足．(1)求数列的通项公式；(2)求．19．如图，在四棱锥中，四边形BCDE为梯形，，，平面平面BCDE，．(1)求证：平面BCDE；(2)若，求平面CAB与平面DAB夹角的余弦值．20．为响应“双减政策”，丰富学生课余生活，某校举办趣味知识竞答活动，每班各选派两名同学代表班级回答4道题，每道题随机分配给其中一个同学回答．小明，小红两位同学代表高二1班答题，假设每道题小明答对的概率为，小红答对的概率为，且每道题是否答对相互独立．记高二1班答对题目的数量为随机变量X．(1)若，求x的分布列和数学期望；(2)若高二1班至少答对一道题的概率不小于，求p的最小值．21．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)当，，求a的取值范围．22．已知点P为椭圆上一个动点，A、F分别为C的左顶点、左焦点．(1)证明：；(2)设斜率分别为，的两条直线，均经过点A，且直线，与C分别交于E，G两点（E，G异于点A），若，试判断直线EG是否经过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．B【解析】【分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角．【详解】直线的斜率为1，倾斜角为45°，故选：B．2．A【解析】【分析】结合二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】展开式中，含的项的系数为.故选：A3．C【解析】【分析】由等比数列的性质计算．【详解】是等比数列，所以，．故选：C．4．A【解析】【分析】由分步计数原理可得答案.【详解】4位同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每位同学只能去一个小区，则每位同学都有3种选择，所以共有种不同的安排方法，故选：A5．D【解析】【分析】根据抛物线的定义判断轨迹，再由抛物线焦点、准线得到方程即可.【详解】由题意知动点到直线的距离与定点的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以，轨迹方程为，故选：D6．B【解析】【分析】由题意到平面的距离等于到平面的距离的一半，而可证到平面的距离为上底面直角三角形斜边上高（本题也是中线），由此易得．【详解】取中点，连接，由于平面平面，平面，所以平面，由已知得，又中中点，所以到平面的距离等于到平面的距离的一半，即．故选：B．7．D【解析】【分析】根据已知条件,求出每周游泳时间不超过3小时的学生人数及其中肺活量达到良好等级的人数，由古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】设该校有x个同学，则约有0.3x的学生肺活量达到良好等级,0.2x的学生每周游泳时间超过3小时且游泳时间超过3小时的学生中有0.1x的学生肺活量达到良好等级，有0.8x的学生每周游泳时间不超过3小时且其中有0.2x的学生肺活量达到良好等级,从每周游泳时间不超过3小时的学生中随机抽查一名学生，则他的肺活量达到良好等级的概率，故选：D8．B【解析】【分析】取特殊值判断A，在已知条件下，得出，然后分类讨论说明能否等于，判断B，已知等式变形得，引入函数，则与可以是方程的两个根．利用导数讨论的性质，得出根的性质判断CD．【详解】选项A：令，，得成立，故A正确；选项B：由得，得，若且，得，则；若且，得，则，从而不可能成立．B错误；由得，令，则与可以是方程的两个根．，由，得，在内单调递增，由，得，在内单调递减，得．注意到，故可绘制出的大致图象．根据图象，存在且的情形，此时，，得，成立，故C，D选项正确．综上所述，选择B．故选：B．9．BD【解析】【分析】根据空间向量运算判断AB选项的正确性，根据三点共线、四点共面的知识判断CD选项的正确性.【详解】，A选项错误.，B选项正确.则是的中点，，，则不存在实数使，所以C选项错误.，由于直线，所以四点共面，所以D选项正确.故选：BD10．CD【解析】【分析】根据已知条件，可转化为等比数列问题，结合等比数列前项和公式，即可求解．【详解】由题意，设第轮感染的人数为，则数列是首项，公比的等比数列，故C正确；所以，当时，，故A错误；前三轮被传染人数累计为，故B错误；当时，，当时，由，故D正确.故选：CD11．ABD【解析】【分析】先求出曲线C的方程为：.对于A：直接求出周长，即可判断；对于B：延长BP到Q，使，连结AQ.证明出,..记为，即可判断；对于C：直接求出面积的最大值，即可判断；；对于D：求出圆心到直线BP的距离，即可判断.【详解】设.因为，，点P满足，所以，整理化简得：.即曲线C的方程为：.对于A：曲线C为半径为2的圆，故周长为.故选：A；对于B：因为，，所以，所以.延长BP到Q，使，连结AQ.因为，所以，所以，所以,.因为，所以.所以，即OP平分∠APB.对于C：的面积.要使的面积最大，只需最大.由点P的轨迹为C：可得：，所以面积的最大值为3.故C错误；对于D：当时，或.不妨取，则直线BP：，即.因为圆心到直线BP的距离为：,所以，即直线BP与圆C相切.故D正确.故选：ABD.【点睛】（1）坐标法是解析几何的基本方法.（2）解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．12．ACD【解析】【分析】由所给数据改写成幂的形式，可知幂指数构成杨辉三角，利用其性质，结合组合数的运算逐项分析求解即可.【详解】将表中的数字写成幂的形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”．选项A：该数表中第8行第2个数的指数为，故第8行第2个数为，A正确；选项B：根据数表，B错误；选项C：该数表中第9行的奇数项的指数之和为；偶数项的指数之和为，故第9行的奇数项之积等于偶数项之积，C正确；选项D：假设存在，由得，，即且，化简得且，得，故D正确．故选：ACD13．1【解析】【分析】直接对函数进行求导即可得结果.【详解】因为，所以，由，得，故答案为：1.14．【解析】【分析】通过向量坐标的线性运算求出，再结合垂直关系的坐标表示即可得结果.【详解】因为，，，所以，又因为，所以，解得，故答案为：.15．【解析】【分析】结合正态分布的对称性求得正确答案.【详解】，所以.故答案为：16．【解析】【分析】不妨设P点在第二象限，C的左、右焦点分别为，，过点Q作x轴的垂线，可得垂足为C的右焦点，然后可求得、，然后由双曲线的定义可得答案.【详解】不妨设P点在第二象限，C的左、右焦点分别为，．如图，由于，由对称性可得，过点Q作x轴的垂线，可得垂足为C的右焦点．在直角三角形中，则在直角三角形中．根据双曲线的定义可知，即，则离心率．故答案为：17．(1)递增区间为和，递减区间为(2)最大值为6，最小值为－26【解析】【分析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间；（2）由的零点，对区间列表得出的正负，得出单调性与极值，同时计算区间端点处函数值，比较得最大值和最小值．(1)，由得或，由得，所以的单调递增区间为和，的单调递减区间为．(2)令得或，由（1）可列下表x-13+0-0+单调递增取极大值单调递减取极小值单调递增由于，，，，得在区间上的最大值为6，最小值为－26．18．(1)(2)【解析】【分析】（1）由，结合等差数列的定义来求得数列的通项公式.（2）利用裂项求和法求得正确答案.(1)当时，由得，．当时，由得，两式相减可得，化简得，由条件得，故，得数列是以1为首项，2为公差的等差数列，从而数列的通项公式为．(2)由（1）得，所以，得．19．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由平面平面BCDE、得平面AED，根据线面垂直的性质得，再由线面垂直的判断定理可得答案；（2）以E点为原点，EB，ED，EA所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．分别求出平面CAB、面ABD的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案．(1)因为平面平面BCDE，平面平面，，平面BCDE，所以平面AED，因为平面AED，所以，因为，，平面BCDE，所以平面BCDE．(2)因为平面BCDE，，所以BE，DE，AE两两互相垂直，以E点为原点，EB，ED，EA所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．得各点坐标分别为：、、、，得，，．设平面CAB的一个法向量为，由，，得，令得，，从而．设平面ABD的一个法向量为，由，，得，令得，，从而．，所以平面CAB与平面DAB夹角的余弦值为．20．(1)分布列见解析，数学期望为(2)【解析】【分析】（1）X的可能取值为0，1，2，3，4．，由二项分布求得各概率得分布列，由期望公式得期望；（2）由对立事件的概率公式求得事件“至少答对一道题的概率”的概率，列不等式求解．(1)X的可能取值为0，1，2，3，4．高二1班答对某道题的概率，则，．则X得分布列为X01234P则．(2)高二1班答对某道题的概率为，答错某道题的概率为．则，解得，所以p的最小值为．21．(1)(2)【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，点斜式即可得切线方程；（2）由题意可构造函数令，利用导数，结合分类讨论的思想，确定函数的单调性，根据单调性由求解可得.(1)，，又，故在点处的切线方程为．(2)当，令，得，，令，则．①若时，得，则在上单调递增，故，所以在上单调递增，所以，从而，不符合题意；②若，令，得．（ⅰ）若，则，当时，，在上单调递增，从而，所以在上单调递增，此时，不符合题意；（ⅱ）若，则，在上恒成立，所在上单调递减，，从而在上单调递减，所以，所以恒成立．综上所述，a的取值范围是．【点睛】关键点点睛：由原不等式在时恒成立，转化为在时恒成立，是解决问题的第一步，再利用导数，分析的单调性，即函数值的正负，由于含有参数，分类讨论是解题的关键和难点.22．(1)证明见解析(2)过定点，定点坐标为【解析】【分析】（1）设出点的坐标，根据