2023年高考模拟考数学试卷3（文）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE12023年高考数学模拟考试卷3（文）第Ⅰ卷一、选择题1．已知复数，则（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗因为，所以．故选：B．2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗，，则.故选：D.3．刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有表有广，而上有袤无广，刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如图为一个刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则异面直线与所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗过点E做平面ABCD的垂线，得垂足G，过E点做直线BC的垂线，得垂足H，如图，由几何体的对称性和题目所给的条件可知，GH=2，CH=2，EG=4，在直角三角形EGH中，，在直角三角形ECH中，，，异面直线EC与AD的夹角就是EC与BC的夹角，设为，则；故选：D.4．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，右顶点为B，虚轴的上端点为C，若线段BC与双曲线的渐近线的交点为E，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗双曲线C：的渐近线方程为，由，可得直线CB的方程为，联立渐近线方程解得，即有E为CB的中点，由，即平分，可得三角形为等腰三角形，即有，即，又，可得，由可得，解得.故选：A．5．在如图的直角梯形中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”．可以简洁明了地推证出勾股定理，把这一证明方法称为“总统证法”．设，在梯形中随机取一点，则此点取自等腰直角中（阴影部分）的概率是（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗记此点取自等腰直角中（阴影部分）为事件A，此点取自梯形为事件，在中，，，，，，．故选：A．6．已知，，，则（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗由题意知，则，即，所以，即，又，，则，所以，，，则所以有即.故选：A.7．2019年11月26日，联合国教科文组织宣布3月14日为“国际数学日”（昵称：），2020年3月14日是第一个“国际数学日”．圆周率是圆的周长与直径的比值，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数．有许多奇妙性质，如莱布尼兹恒等式，即为正奇数倒数正负交错相加等．小红设计了如图所示的程序框图，要求输出的值与非常近似，则①、②中分别填入的可以是（

）A．， B．，C．， D．，〖答案〗D〖解析〗由题可知，，输出的值与非常近似，则输出的，当时，不符合题意，当时，符合题意，输出对应的值，则即，可知，循环变量的初值为1，终值为1011，的步长值为1，循环共执行1011次，可得②中填入的可以是，又的值为正奇数倒数正负交错相加，可得①中填入的可以是.故选：D．8．已知是定义在上的奇函数，且图象关于直线对称，当时，，则不等式成立的一个充分条件是（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗因为是定义在上的奇函数，故，解得，根据当时，，结合奇函数的性质与直线对称作图，设是的图象往左平移2个单位所得，画出图如下.由题意，因为的图象关于直线对称，故，又为奇函数，故，即，故，所以，故的周期为8.又不等式成立即在的函数图象下方，由对称性可得，当时与的交点的横坐标为，结合图象可得与的交点的横坐标满足，结合选项，当时，可考查即时的情况，满足在的函数图象下方，其他选项均不符合.故选：C.9．已知为抛物线的焦点，A、B、C为抛物线上三点，当时，则在点A、B、C中横坐标大于2的有（

）A．3个 B．2个 C．1 D．0个〖答案〗D〖解析〗设，先证，由，则点是的重心，由，，则，，当且仅当时等号成立，，则，即，由，则，，同理可得.故选：D.10．已知数列的前n项和为，且，则使得成立的n的最大值为（

）A．32 B．33 C．44 D．45〖答案〗C〖解析〗当为偶数时，，令，且n为偶数，解得，故n的最大值为44；当为奇数时，，令，且为奇数，解得，故n的最大值为43；综上所述：n的最大值为44.故选：C.11．已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗因为的定义域为R，又，故函数为偶函数，又时，，单调递增，故由复合函数单调性可得函数在单调递增，函数在定义域上单调递增，所以在单调递增，所以，所以关于直线对称，且在单调递增．所以，两边平方，化简得，解得．故选：C．12．表面积为的球内有一内接四面体，其中平面平面，是边长为3的正三角形，则四面体PABC体积的最大值为（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗如图所示，是四面体外接球的球心，设球的半径为，是外接圆的圆心，设圆的半径为，设到底面的距离为，取中点，连接，过作，由题意可得,则，因为是边长为3的正三角形，所以由正弦定理可得，则，四面体PABC体积为，四面体PABC体积的最大需要最大，由题意可知在过并且与底面垂直的圆面上运动，当运动到圆面的最高点时，最大，由圆的对称性可知此时,则,又平面平面，则平面在中，，，则，则，，在中，，则,.故选：D.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若，，点在线段的延长线上，且，则点坐标为_________.〖答案〗〖解析〗点在线段的延长线上，且，，所以点P的坐标为.故〖答案〗为：14．已知数列满足，，则下列结论正确的有_____________．①为等比数列；

②的通项公式为；③为递减数列；

④的前n项和．〖答案〗①②③④〖解析〗数列满足，，整理可得，即，所以是以为首项，2为公比的等比数列，故：，整理得，则，所以数列为递减数列，由，得，所以的前n项和：，故〖答案〗为：①②③④．15．已知函数的图像关于点对称，且方程在上至少有两个解，写出满足条件的的一个值：______.〖答案〗.(〖答案〗不唯一)〖解析〗由题意得，即.由方程得在上至少有两个解，若，则，则，即，可得，当时，.故〖答案〗为：.16．已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为__________.〖答案〗〖解析〗因为，所以可化为，令，则，所以在上递增，因为，，所以，，，所以可化为，则，即在上恒成立，即，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即的最小值为.故〖答案〗为：.解答题17．江西省新高考改革自2021年执行，在取消文理科后实行“”考试模式，即除语数外三科，学生需从物理、历史2科中任选1科，化学、生物、政治、地理4科任选2科参加高考．某学校为了解学生对全理（选择物理、化学、生物）的选择是否与性别有关，从该校高一年级的500名男生和400名女生中按男女分层随机抽样抽取90人进行模拟选科，经统计，选择全理的人数比不选全理的人数多10人．选择全理不选择全理合计男生15女生合计（1）完成上面的列联表并判断是否有99.5%的把握认为选择全理与性别有关；（2）为了解学生选科的理由，随机选取了男生4名，女生2名进行座谈，再从中抽取2名代表作问卷调查，求至少抽到一名女生的概率．附：，其中．0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）依题意，高一男生的人数为，则女生人数为，而选择全理的人数比不选全理的人数多10人，则选择全理的人数为50，不选全理的人数40，所以列联表为：选择全理不选择全理合计男生351550女生152540合计504090的观测值，所以有99.5%的把握认为选择全理与性别有关．（2）设“至少抽到一名女生”为事件A，设4名男生分别为1，2，3，4，两名女生分别为5，6，从6名学生中抽取2名学生的所有可能结果为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．不包含女生的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种．所以至少抽到一名女生的概率．18．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．（1）求角B的大小．（2）若，求周长的取值范围．解：（1）由于（2a﹣c）cosB＝bcosC，由正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB＝sinBcosC，即2sinAcosB＝sinCcosB+sinBcosC，即2sinAcosB＝sin（B+C），可得：2sinAcosB＝sinA，因为sinA≠0，所以，因为，所以．（2）因为，，由正弦定理可得，于是，＝＝，因为△ABC为锐角三角形，且，所以，，所以，可得：，所以△ABC周长的取值范围为：．19．设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若.（1）求异面直线和所成角的余弦值;（2）在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由;（3）若点是的中点，在内确定一点，使的值最小，并求出此时的值.解：（1）因为平面，平面，所以，又因为底面是矩形，所以，又平面，所以平面，又，故异面直线和所成角的大小为，因为，，所以故直线PC与所成角的大小为；（2）假设BC边上存在一点G满足题设条件，不妨设，则因为平面，到平面的距离为，由等体积法得，即因为，代入数据解得，即，故存在点G，当时，使得点D到平面PAG的距离为；（3）延长到，使得，连接，过作于，则当且仅当三点共线时等号成立，故，过作于，连接HB，在中，，20．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，求a的取值范围.解：（1）的定义域为.当时，，则，当时，可知在上单调递增，当时，令，得，今，得.因为，所以为偶函数，所以当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为，；（2）令，可得，令，则.当时，，显然成立.当时，，在区间上单调递增，若，由，可得，有，与矛盾.当时，令，可得，可知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，可得.若，则必有，可化为，令，由，可得，令，得，可知的单调递减区间为，单调递增区间为，则，可知.综上，a的取值范围为.21．已知椭圆的焦距为，离心率为，直线与交于不同的两点.（1）求的方程；（2）设点，直线与分别交于点.①判段直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点.请说明理由：②记直线的倾斜角分别为，当取得最大值时，求直线的方程.解：（1）由题意得，解得，所以，所以的方程为.（2）①由题意得整理得，设，，直线的方程为，代入整理得，，设，则，所以，，即，同理.，所以直线的方程为，即，所以直线过定点.②因为，所以与正负相同，且，所以，当取得最大值时，取得最大值.由时，；所以当且仅当时等号成立，取得最大值，取得最大值，此时直线的方程为.（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为．（1）求的参数方程；（2）已知点在上，若在处的切线与直线平行，求点的极坐标．解：（1）由，所以，结合，得，化简得，所以C的参数方程为（为参数，）.（2）由（1）所得的参数方程，可设点因为在处的切线与直线平行，所以，化简得，又，所以，所以，所以，，则，所以点的极坐标为.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知，．（1）若，求不等式的解集；（2），若图象与两坐标轴围成的三角形面积不大于2，求正数m的取值范围．解：（1）当时,，由，可得或或，解得或，所以不等式的解集为或；（2）由题可得，可得函数的大致图象如图所示，图象与两坐标轴交于点，，所以，依题意，所以，，所以.2023年高考数学模拟考试卷3（文）第Ⅰ卷一、选择题1．已知复数，则（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗因为，所以．故选：B．2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗，，则.故选：D.3．刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有表有广，而上有袤无广，刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如图为一个刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则异面直线与所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗过点E做平面ABCD的垂线，得垂足G，过E点做直线BC的垂线，得垂足H，如图，由几何体的对称性和题目所给的条件可知，GH=2，CH=2，EG=4，在直角三角形EGH中，，在直角三角形ECH中，，，异面直线EC与AD的夹角就是EC与BC的夹角，设为，则；故选：D.4．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，右顶点为B，虚轴的上端点为C，若线段BC与双曲线的渐近线的交点为E，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗双曲线C：的渐近线方程为，由，可得直线CB的方程为，联立渐近线方程解得，即有E为CB的中点，由，即平分，可得三角形为等腰三角形，即有，即，又，可得，由可得，解得.故选：A．5．在如图的直角梯形中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”．可以简洁明了地推证出勾股定理，把这一证明方法称为“总统证法”．设，在梯形中随机取一点，则此点取自等腰直角中（阴影部分）的概率是（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗记此点取自等腰直角中（阴影部分）为事件A，此点取自梯形为事件，在中，，，，，，．故选：A．6．已知，，，则（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗由题意知，则，即，所以，即，又，，则，所以，，，则所以有即.故选：A.7．2019年11月26日，联合国教科文组织宣布3月14日为“国际数学日”（昵称：），2020年3月14日是第一个“国际数学日”．圆周率是圆的周长与直径的比值，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数．有许多奇妙性质，如莱布尼兹恒等式，即为正奇数倒数正负交错相加等．小红设计了如图所示的程序框图，要求输出的值与非常近似，则①、②中分别填入的可以是（

）A．， B．，C．， D．，〖答案〗D〖解析〗由题可知，，输出的值与非常近似，则输出的，当时，不符合题意，当时，符合题意，输出对应的值，则即，可知，循环变量的初值为1，终值为1011，的步长值为1，循环共执行1011次，可得②中填入的可以是，又的值为正奇数倒数正负交错相加，可得①中填入的可以是.故选：D．8．已知是定义在上的奇函数，且图象关于直线对称，当时，，则不等式成立的一个充分条件是（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗因为是定义在上的奇函数，故，解得，根据当时，，结合奇函数的性质与直线对称作图，设是的图象往左平移2个单位所得，画出图如下.由题意，因为的图象关于直线对称，故，又为奇函数，故，即，故，所以，故的周期为8.又不等式成立即在的函数图象下方，由对称性可得，当时与的交点的横坐标为，结合图象可得与的交点的横坐标满足，结合选项，当时，可考查即时的情况，满足在的函数图象下方，其他选项均不符合.故选：C.9．已知为抛物线的焦点，A、B、C为抛物线上三点，当时，则在点A、B、C中横坐标大于2的有（

）A．3个 B．2个 C．1 D．0个〖答案〗D〖解析〗设，先证，由，则点是的重心，由，，则，，当且仅当时等号成立，，则，即，由，则，，同理可得.故选：D.10．已知数列的前n项和为，且，则使得成立的n的最大值为（

）A．32 B．33 C．44 D．45〖答案〗C〖解析〗当为偶数时，，令，且n为偶数，解得，故n的最大值为44；当为奇数时，，令，且为奇数，解得，故n的最大值为43；综上所述：n的最大值为44.故选：C.11．已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗因为的定义域为R，又，故函数为偶函数，又时，，单调递增，故由复合函数单调性可得函数在单调递增，函数在定义域上单调递增，所以在单调递增，所以，所以关于直线对称，且在单调递增．所以，两边平方，化简得，解得．故选：C．12．表面积为的球内有一内接四面体，其中平面平面，是边长为3的正三角形，则四面体PABC体积的最大值为（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗如图所示，是四面体外接球的球心，设球的半径为，是外接圆的圆心，设圆的半径为，设到底面的距离为，取中点，连接，过作，由题意可得,则，因为是边长为3的正三角形，所以由正弦定理可得，则，四面体PABC体积为，四面体PABC体积的最大需要最大，由题意可知在过并且与底面垂直的圆面上运动，当运动到圆面的最高点时，最大，由圆的对称性可知此时,则,又平面平面，则平面在中，，，则，则，，在中，，则,.故选：D.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若，，点在线段的延长线上，且，则点坐标为_________.〖答案〗〖解析〗点在线段的延长线上，且，，所以点P的坐标为.故〖答案〗为：14．已知数列满足，，则下列结论正确的有_____________．①为等比数列；

②的通项公式为；③为递减数列；

④的前n项和．〖答案〗①②③④〖解析〗数列满足，，整理可得，即，所以是以为首项，2为公比的等比数列，故：，整理得，则，所以数列为递减数列，由，得，所以的前n项和：，故〖答案〗为：①②③④．15．已知函数的图像关于点对称，且方程在上至少有两个解，写出满足条件的的一个值：______.〖答案〗.(〖答案〗不唯一)〖解析〗由题意得，即.由方程得在上至少有两个解，若，则，则，即，可得，当时，.故〖答案〗为：.16．已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为__________.〖答案〗〖解析〗因为，所以可化为，令，则，所以在上递增，因为，，所以，，，所以可化为，则，即在上恒成立，即，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即的最小值为.故〖答案〗为：.解答题17．江西省新高考改革自2021年执行，在取消文理科后实行“”考试模式，即除语数外三科，学生需从物理、历史2科中任选1科，化学、生物、政治、地理4科任选2科参加高考．某学校为了解学生对全理（选择物理、化学、生物）的选择是否与性别有关，从该校高一年级的500名男生和400名女生中按男女分层随机抽样抽取90人进行模拟选科，经统计，选择全理的人数比不选全理的人数多10人．选择全理不选择全理合计男生15女生合计（1）完成上面的列联表并判断是否有99.5%的把握认为选择全理与性别有关；（2）为了解学生选科的理由，随机选取了男生4名，女生2名进行座谈，再从中抽取2名代表作问卷调查，求至少抽到一名女生的概率．附：，其中．0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）依题意，高一男生的人数为，则女生人数为，而选择全理的人数比不选全理的人数多10人，则选择全理的人数为50，不选全理的人数40，所以列联表为：选择全理不选择全理合计男生351550女生152540合计504090的观测值，所以有99.5%的把握认为选择全理与性别有关．（2）设“至少抽到一名女生”为事件A，设4名男生分别为1，2，3，4，两名女生分别为5，6，从6名学生中抽取2名学生的所有可能结果为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．不包含女生的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种．所以至少抽到一名女生的概率．18．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．（1）求角B的大小．（2）若，求周长的取值范围．解：（1）由于（2a﹣c）cosB＝bcosC，由正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB＝sinBcosC，即2sinAcosB＝sinCcosB+sinBcosC，即2sinAcosB＝sin（B+C），可得：2sinAcosB＝sinA，因为sinA≠0，所以，因为，所以．（2）因为，，由正弦定理可得，于是，＝＝，因为△ABC为锐角三角形，且，所以，，所以，可得：，所以△ABC周长的取值范围为：．19．设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若.（1）求异面直线和所成角的余弦值;（2）在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由;（3）若点是的中点，在内确定一点，使的值最小，并求出此时的值.解：（1）因为平面，平面，所以，又因为底面是矩形，所以，又平面，所以平面，又，故异面直线和所成角的大小为，因为，，所以故直线PC与所成角的大小为；（2）假设BC边上存在一点G满足题设条件，不妨设，则因为平面，到平面的距离为，由等体积法得，即因为，代入数