北京大学数学系《高等代数》（第3版）配套题库【名校考研真题＋课后习题＋章节题库＋模拟试题】（上册）

目录

第一部分名校考研真题...................................................................................................................................................4

第1章多项式...........................................................................................................................................................4

第2章行列式...........................................................................................................................................................8

第3章线性方程组.................................................................................................................................................14

第4章矩阵.............................................................................................................................................................19

第5章二次型.........................................................................................................................................................25

第二部分课后习题.........................................................................................................................................................33

第1章多项式.........................................................................................................................................................33

第2章行列式.........................................................................................................................................................52

第3章线性方程组.................................................................................................................................................73

第4章矩阵...........................................................................................................................................................101

第5章二次型.......................................................................................................................................................125

第三部分章节题库.......................................................................................................................................................156

第1章多项式.......................................................................................................................................................156

第2章行列式.......................................................................................................................................................161

第3章线性方程组...............................................................................................................................................212

第4章矩阵...........................................................................................................................................................253

第5章二次型.......................................................................................................................................................278

第四部分模拟试题.......................................................................................................................................................307

北京大学数学系《高等代数》（第3版）配套模拟试题及详解.........................................................................307

第一部分名校考研真题

第1章多项式

一、判断题

1．设Q是有理数域，则P＝{α＋βi|α，β∈Q}也是数域，其中i1．（）[南京大学研]

【答案】对

【解析】首先0，1∈P，故P非空；其次令a＝α1＋β1i，b＝α2＋β2i其中α1，α2，β1，β2为有理数，故

a±b＝（α1＋β1i）±（α2＋β2i）＝（α1±α2）＋（β1±β2）i∈P

ab＝（α1＋β1i）（α2＋β2i）＝（α1α2－β1β2）＋（α1β2＋α2β1）i∈P

又令c＝α3＋β3i，d＝α4＋β4i，其中α3，α4，β3，β4为有理数且d≠0，即α4≠0，β4≠0，有

cd(33ii)/(44)

(3434)(3434)i

22P

44

综上所述得P为数域．

2．设f（x）是数域P上的多项式，a∈P，如果a是f（x）的三阶导数f‴（x）的k重根（k≥1）并且f（a）

＝0，则a是f（x）的k＋3重根．（）[南京大学研]

【答案】错

【解析】反例是f（x）＝（x－a）k＋3＋（x－a）2，这里f（a）＝0，并且f‴（x）＝（k＋3）（k＋2）（k＋1）

（x－a）k满足a是f（x）的三阶导数f‴（x）的k重根（k≥1）．

3．设f（x）＝x4＋4x－3，则f（x）在有理数域上不可约．（）[南京大学研]

【答案】对

【解析】令x＝y＋1，则f（y）＝y4＋4y3＋6y2＋8y＋2，故由艾森斯坦因判别法知，它在有理数域上不可约．

二、计算题

1．f（x）＝x3＋6x2＋3px＋8，试确定p的值，使f（x）有重根，并求其根．[清华大学研]

解：f′（x）＝3（x2＋4x＋p）．且（f（x），f′（x））≠1，则

（1）当p＝4时，有（f（x），f′（x））＝x2＋4x＋4

所以x＋2是f（x）的三重因式，即f（x）（x＋2）3，这时f（x）的三个根为－2，－2，－2．

（2）若p≠4，则继续辗转相除，即

当p＝－5时，有（f（x），f′（x））＝x－1

即x－1是f（x）的二重因式，再用（x－1）2除f（x）得商式x＋8．故

f（x）＝x3＋bx2－15x＋8＝（x－1）2（x＋8）

这时f（x）的三个根为1，1，－8．

4234

2．假设f1（x）与f2（x）为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，且x＋x＋1整除f1（x）＋xf2

3

（x），试求f1（x）与f2（x）的最大公因式．［上海交通大学研］

解：设6次单位根分别为

22kk

cosiksin,0,1,2,,5

k66

62324242

由于x－1＝（x）－1＝（x－1）（x＋x＋1），所以ε1，ε2，ε4，ε5是x＋x＋1的4个根.

3342343343

由于ε1＝ε5＝－1，且x＋x＋1∣f1（x）＋xf2（x），所以，分别将ε1，ε5代入f1（x）＋xf2（x）可得

ff111210

ff115210

从而f1（－1）＝f2（－1）＝0

即x＋1是f1（x）与f2（x）的一个公因式．

343

同理，将ε2，ε4代入f1（x）＋xf2（x）可得f1（1）＝f2（1）＝0，即x－1是f1（x）与f2（x）的一个公

因式．

所以（x－1）（x＋1）是f1（x）与f2（x）的一个公因式．

2

又因为f1（x），f2（x）为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，所以（f（x），g（x））＝x－1

三、证明题

nn－1

1．设不可约的有理分数p/q是整系数多项式f（x）＝a0x＋a1x＋„＋an－1x＋an的根，证明：q∣a0，p∣

an[华中科技大学研]

证明：因为p/q是f（x）的根，所以（x－p/q）∣f（x），从而（qx－p）∣f（x）．又因为p，q互素，所以

qx－p是本原多项式[即多项式的系数没有异于±l的公因子]，且

n－1

f（x）＝（qx－p）（bn－1x＋„＋b0，bi∈z

比较两边系数，得a0＝qbn－1，an＝－pb0⇒q∣a0，p∣an

2．设f（x）和g（x）是数域P上两个一元多项式，k为给定的正整数．求证：f（x）∣g（x）的充要条件

是fk（x）∣gk（x）[浙江大学研]

证明：（1）先证必要性．设f（x）∣g（x），则g（x）＝f（x）h（x），其中h（x）∈P（x），两边k次方得

gk（x）＝fk（x）hk（x），所以fk（x）∣gk（x）

（2）再证充分性．设fk（x）∣gk（x）

（i）若f（x）＝g（x）＝0，则f（x）∣g（x）

（ii）若f（x），g（x）不全为0，则令d（x）＝（f（x），g（x）），那么

f（x）＝d（x）f1（x），g（x）＝d（x）g1（x），且（f1（x），g1（x））＝1①

kkkkkk

所以f（x）＝d（x）f1（x），g（x）＝d（x）g1（x）

因为fk（x）∣gk（x），所以存在h（x）∈P[x]（x），使得gk（x）＝fk（x）·h（x）

kkkkkkk

所以d（x）g1（x）＝d（x）f1（x）·h（x），两边消去d（x），得g1（x）＝f1（x）·h（x）②

kk－1

由②得f1（x）∣g1（x），但（f1（x），g1（x））＝1，所以f1（x）∣g1（x）

这样继续下去，有f1（x）∣g1（x），但（f1（x），g1（x））＝1

故fl（x）＝c，其中c为非零常数．

所以f（x）＝d（x）f1（x）＝cd（x）⇒f（x）∣g（x）

m

3．设f（x），g（x）都是P[x]中的非零多项式，且g（x）＝s（x）g1（x），这里m≥1．又若（s（x），g1

（x））＝1，s（x）∣f（x）．证明：不存在f1（x），r（x）∈P[x]，且r（x）≠0，∂（r（x））＜∂（s（x））使

f(x)r(x)fx1()

mm1①

g(x)s(x)s(x)g1(x)

[浙江大学研]

证明：用反证法，若存在f1（x），r（x）使①式成立，则用g（x）乘①式两端，得

f（x）＝r（x）g1（x）＋f1（x）s（x）②

因为s（x）∣f（x），s（x）∣f1（x）s（x），由②式有s（x）∣r（x）g1（x）．

但（s（x），g1（x））＝1，所以s（x）∣r（x）．这与∂（r（x））＜∂（s（x））矛盾．

4．设f（x）是有理数域上n次[n≥2]多项式，并且它在有理数域上不可约，但知f（x）的一根的倒数也是f

（x）的根．证明：f（x）每一根的倒数也是f（x）的根．[南开大学研]

证明：设b是f（x）的一根，1/b也是f（x）的根．再设c是f（x）的任一根．下证1/c也是f（x）的根．

令g（x）＝f（x）/d，其中d为f（x）的首项系数，不难证明：g（x）与f（x）有相同的根，其中g（x）

是首项系数为l的有理系数不可约多项式．

nn－1

设g（x）＝x＋an－1x＋„＋a1x＋a0，（a0≠0）．由于

nn－1

b＋an－1b＋„＋a1b＋a0＝0①

nn－1

（1/b）＋an－1（1/b）＋„＋a1（1/b）＋a0＝0

nn－1

⇒a0b＋a1b＋„＋an－1b＋1＝0

nn－1

⇒b＋（a1/a0）b＋„＋（an－1/a0）b＋1/a0＝0②

由g（x）不可约及①，②两式可得1/a0＝a0，ai/a0＝an－i（i＝1，2，„，n－1）．故

a0＝±1，ai＝±an－i（i＝1，2，„，n－1）③

由③式可知，当f（c）＝0时，有f（c）＝0，且g（1/c）＝0，从而f（1/c）＝0．

5.设f（x）是复系数一元多项式，对任意整数n有f（n）都是整数．证明：f（x）的系数都是有理数．举例

说明存在不是整系数的多项式，满足对任意整数n，有f（n）是整数．［浙江大学研］

证明：设f（x）＝g（x）＋ih（x），g（x），h（x）∈R[x]

由于∀n∈Z，f（n）＝g（n）＋ih（n）∈Z，所以h（x）＝0．

下证g（x）∈Q[x]．事实上，令

m

g（x）＝a0＋a1x＋„＋amx，am≠0，ai∈R，i＝1，2，„，m

则有

a0＋a1＋„＋am＝g（1）∈Z，

m

a0＋a1·2＋„＋am·2＝g（2）∈Z，

⋮

m

a0＋a1（m＋1）＋„＋am（m＋1）＝g（m＋1）∈Z.

记

111

12m1

T

mm

12(m1)

则有

（a0，a1，„，am）T＝（g（1），g（2），„，g（m＋1））①

又显见∣T∣＝m!（m－1）!„2!1!≠0，由①式得

－1

（a0，a1，„，am）＝（g（1），g（2），„，g（m＋1））T

－1

这里T是有理数域上的矩阵，g（1），g（2），„，g（m＋1）均为整数，所以a0，a1，„，am∈Q．因此f

（x）＝g（x）∈Q[x]．

取f（x）＝x2/2－1/2，有f（x）＝（x－n）（x/2＋n/2）＋（n2－1）/2

可见存在不是整系数的多项式f（x），对任一整数n，有f（n）＝（n2－1）/2∈Z．

第2章行列式

一、填空题

设A*是3阶方阵A的伴随阵，∣A∣＝－1/2，则∣A－1－2A*∣＝______．［华东师范大学研］

【答案】－16

【解析】因为∣A∣·∣A－1－2A*∣＝∣AA－1－2AA*∣＝∣E－2∣A∣E∣＝∣2E∣＝23，所以

23

AA12*16

A

二、计算题

1．计算n阶行列式

2

a1a1a2a1an

aaa2aa

D2122n,(其中0)

2

ana12anaan

[武汉大学研]

解：利用行列式的性质，对原n阶行列式进行化简，得以下（n＋1）阶行列式

1a1a2an

2

0a1a1a2a1an

2

D0a2a1a2a2an

2

0ana12anaan

1a1a2an

a00

rii11ar1

in1,2,,

a200

an00

n2

ak

1a12aan

ak1

aai

11j

jn1,2,,000

000

000

n

nn12

(aa)(k)

k1

2．计算n阶行列式

aaa0000

011

a1a1a2a2000

0a2a2a3a300

Dn

0000an20

0000an2an1an1

0000an11anan

[上海交通大学研]

解：将Dn按第n列拆分得

a0a1a1

a1a1a2a2

a2a2a3

Dn

an2an1an1

an11anan

a0a1a1

a1a1a2a2

a

2

an20

aann210

aann1

对如上第一个行列式ri－1－ri（i＝n，n－1，„，2），第2个行列式按第n列展开得

a0

aa

11

DnanDn1

an2

aann11

a0a1an1an()a0a1an2an1Dn2

a0a1an1a0a1an2ananan1Dn2

a0a1an1a0a1an2ana0a1a2a4ananan1a3D2

又D2＝a0a1＋a0a2＋a1a2，故

Dn＝a0a1„an－1＋a0a1„an－2an＋„＋a1a2a3„an

1111

4

1111A

3．设A，又Aij为A中的（i，j）元素在∣A∣中的代数余子式，试求ij．［南

1111ij,1

1111

开大学研］

解：解法1：因为

1111

1111

A160

1111

1111

所以A可逆．又

1111

4444

1111

14444

A

1111

4444

1111

4444

所以

4444

4444

A*1AA

4444

4444

即

4,ij

Aijij,＝1,2,3,4

4,ij

4

从而Aij32

ij,1

解法2：同解法1，∣A∣＝－16，又因为

211111111

211111111

211111111

211111111

1111

11114

Aij

1111ij,1

1111

所以

4

1616Aij

ij,1

4

从而Aij=32

ij,1

4．计算n阶行列式

1xy

zx1

Dn

y

zx1

其中x＝yz．[武汉大学研]

解：按第1行展开得

Dn(1x)Dn1yzDn2(1x)Dn1xDn2

n2

DnDn1x(Dn1Dn2)x(D2D1)

n21xy

xx(1)①

zx1

xn

nn－1n34n－1n2n－1

由①式得Dn＝Dn－1＋x＝（Dn－2＋x）＋x＝„＝（D2＋x）＋x＋„＋x＋x＝1＋x＋x＋„＋x＋

xn。

三、证明题

若n阶方阵A与B只是第j列不同，试证21－n∣A＋B∣＝∣A∣＋∣B∣．[北京航空航天大学、华中师范

大学研]

证明：设

a11x1a1n

A

an1xnann

a11y1a1n

B

an1ynann

则

22a11x1y1a1n

AB

22an1xnynann

于是

a11()x1y1a1n

n1

|AB|2

an1()xnynann

2n1(|AB|||)

所以∣A∣＋∣B∣＝21－n∣A＋B∣．

第3章线性方程组

一、计算题

1．设

111

A2a2b2

03aa2b

1

B3

3

x1

xx

2

x3

试就a，b的各种取值情况，讨论非齐次方程组AX＝B的解，如有解，并求出解．[清华大学研]

解：因为系数行列式∣A∣＝a（a－b），所以

（1）当a≠0，且b≠a时，方程组有唯一解x1＝（a－1）/a，x2＝1/a，x3＝0

（2）当a＝0时，原方程组无解．

（3）当a＝b≠0时，原方程组有无穷多解，其通解为

a1

x

1a

1

xk2

a

xk3

其中k为任意常数．

2．设

x1x22x33x40

2x1x26x34x41

3x12x2px37x41

x1x262x3x4t

试讨论p，t取什么值时，方程组有解或无解，并在有解时，求其全部解．[清华大学研]

解：计算如下

1123010411

2164101221

32pp7100800

1161tt200002

（1）当t≠－2时，原方程组无解．

（2）当t＝－2时．

①当p＝－8时，原方程组有无穷多个解，其通解为

x114k1k2

x212k12k2

xk31

xk42

其中k1，k2为任意常数．

②当p≠－8时，原方程组也有无穷多个解，其通解为

xk11

xk212

x30

xk4

其中k为任意常数．

3．设向量α1＝[－1，2，0，4]，α2＝（5，0，3，1），α3＝（3，－1，4，－2），α4＝（－2，4，－5，9），α5

＝（1，3，－1，7）

（1）求向量组α1，α2，α3，α4，α5的秩；

（2）求向量组α1，α2，α3，α4，α5的一个极大线性无关组；

（3）将向量组α1，α2，α3，α4，α5中其余向量表为极大线性无关组的线性组合．[南京大学研]

解：（1）将α1，α2，α3，α4，α5按行排成5×4矩阵，并对其作初等行变换，有

12041204

503105111

31420051

24590000

13170000

故向量组α1，α2，α3，α4，α5的秩为3．

（2）由上述得知α1，α2，α5为向量组α1，α2，α3，α4，α5的极大线性无关组．

（3）由初等变换过程易知：α3＝α1＋α2－α5，α4＝－α1－α2＋2α5

4．把实数域R看成有理数域Q上的线性空间，b＝p3q2r，这里的P，q，r∈Q是互不相同的素数．判断向量

组1,nb,nnb21,,bn是否线性相关？说明理由．[北京大学研]

解：向量组1,nb,nnb21,,bn是线性无关的，可用数学归纳法证之．

当n＝1时，结论显然成立；假设结论对于n－1成立，下证对于n结论也正确．

为此，设有k1，k2，k3，„，kn，k∈Q，使得

k10knbknnb21kbn

123n

若kn≠0，则有

kkkk

nbnn1121nb31nb2nnb2

kkkk

nnnn

这是不可能的．

若kn＝0，则有

k10knbknnb22kbn

123n1

nnn21n

根据归纳假设，知k1＝k2＝„＝kn－1＝0故向量组1,b,b,,b是线性无关的．这就证得：对于任意

正整数n，结论均成立．

5．设A，B是数域K上的n阶方阵，X是未知量x1，x2，„xn所构成的n×1矩阵．已知齐次线性方程组

AX＝0和BX＝0分别有l，m个线性无关的解向量，这里l≥0，m≥0．证明：

（1）方程组[AB]X＝0至少有max[l，m]个线性无关的解向量；

（2）如果l＋m＞n，那么（A＋B）X＝0必有非零解；

（3）如果AX＝0和BX＝0无公共的非零解向量，且l＋m＝n，那么Kn中任一向量α都可唯一地表示成α

＝β＋γ，这里β，γ分别是AX＝0和BX＝0的解向量．[武汉大学研]

解：（1）由题设，l≤n－rank（A），m≤n－rank（B），而rank（AB）≤min（rankA，rankB]，所以另一

方面，方程组[AB]x＝0有n－rank（AB）个线性无关的解向量．故所证结论成立．

（2）因l＋m＞n，所以rank（A＋B）≤rank（A）＋rank（B）≤（n－l）＋（n－m）＜n，因此齐次方程

组（A＋B）X＝0必有非零解．

（3）设AX＝0和BX＝0的解空间分别为V1和V2，则

dimV1≥l，dimV2≥m．据题设，V1∩V2＝∣0∣，所以V1与V2的和是直和，故

n

dim（V1＋V2）＝dimV1＋dimV2≥l＋m＝n＝dimK

n

又dim（V1＋V2）≤dimK，所以

nn

dim（V1＋V2）＝dimK．从而有K＝V1⊕V2所证结论成立．

6．解方程组

x12xxn2

11

x1CxCx2

22nn

x222

1C3x2Cnn1x

xnn112

1Cnx2C2n2xn

[上海交通大学研]

解：利用

CrCr1Cr

nn11n

可得方程组系数行列式

1111

1111

C23CCn

1222

DC3C4Cn1

n1n1n1

1CnCn1C2n2

1111

0111

C1C2Cn1

222

0

riir1,in,,3,2C23CCn

n1n1n1

0Cn1CnC2n1

1111

111

0C1C2Cn1

0022

CC21n10

000n1

Cn1

由克莱姆法则知，原方程组有唯一解．又显见方程组常数项组成的列（2，2，„，2）′换系数行列式D的第：

列得：D1＝2D，Di＝0（i＝2，„，n），故方程组解为（2，0，„，0）′

7．设ω是复数域C上的本原n次单位根（即ωn＝1，而当0＜l＜n时ωl≠1），s，b都是正整数，而且s＜n，

令

1b2b(n1)b

b12(b1)(n1)(b1)

1

A

bs12(bs1)(n1)(bs1)

1

任取β∈Cs判断线性方程组AX＝β有无解，有多少解，写出理由．[北京大学研]

解：A是一个s×n矩阵，其前s列组成的子式

1b(s1)b

1b1(s1)(b1)

A1

1bs1(s1)(bs1)

为一范德蒙行列式．

bb＋1b＋s－1

因s＜n，所以ω，ω，„，ω互不相同，从而∣A1∣≠0．这样立知r（A）＝s．所以对方程组AX

＝β有r（A）＝r（A∣β）＝s＜n，说明对∀β，AX＝β有无穷多解．

二、证明题

1．设向量组α1，α2，α3线性无关，向量组α2，α3，α4线性相关，试证：α1不能由α2，α3，α4线性表示．[同

济大学研]

证明：用反证法，若α1可以由α2，α3，α4线性表示，即

α1＝k2α2＋k3α3＋k4α4①

则k4≠0[否则若k4＝0．则由①知α1，α2，α3线性相关，矛盾]．由①可解得

1k2k3

4123②