第9章57节多步方程组与高阶方程

§5

线性多步法在逐步推进的求解过程中，计算之前事实上已经求出了一系列的近似值如果充分利用前面多步的信息来预测，则可以期望获得较高的精度.这就是构造所谓线性多步法的基本思想.本节主要介绍基于泰勒展开的构造方法.构造多步法的主要途径是基于数值积分方法和基于泰勒展开方法，前者可直接由方程两端积分后利用插值求积公式得到.1

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线性多步法的一般公式一般的线性多步法公式可表示为（5.1）其中为的近似，计算时需先给出前面个近似值,再由（5.1）逐次求出.如果计算时，除了使用的值，还用到的值，则称此方法为线性多步法.为常数.及不全为零，则称为线性步法.若2如果，称（5.1）为显式步法，这时可直接由（5.1）算出.如果，则（5.1）称为隐式步法.求解时与梯形法相同，要用迭代法方可算出.（5.1）3设是初值问题(1.1)，(1.2)的准确解，线性多步法（5.1）在上的局部截断误差为（5.1）

定义7（5.2）（5.1）中系数及可根据方法的局部截断误差及阶确定，其定义如下.（1.1）（1.2）（5.1）4由定义7，对在处做泰勒展开，由于代入（4.2）,（5.3）（5.2）得5其中（5.4）若在公式（4.1）中选择系数及，使它满足由定义可知,此时所构造的多步法是阶的.（5.1）6（5.5）称右端第一项为局部截断误差主项，称为误差常数.根据相容性定义，,即故方法（5.1）与微分方程（1.1）相容的充分必要条件是（5.6）成立.且（5.6）由（5.4）得（4.1）7当时，若，则由（4.6）可求得此时公式（5.1）为即为欧拉法.从（5.4）可求得，故方法为一阶精度，这和第2节给出的定义及结果是一致的.且局部截断误差为（5.6）8对,若，方法为隐式公式.为了确定系数，可由解得于是得到公式即为梯形法.由（5.4）可求得,故，所以梯形法是2阶方法，其局部截断误差主项是.这与第2节中的讨论也是一致的.9对的多步法公式都可利用（5.4）确定系数，并由（5.5）给出局部截断误差.（5.5）10

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阿当姆斯显式与隐式公式考虑形如（5.7）的步法，称为阿当姆斯（Adams)方法.

为显式方法，为隐式方法，通常称为阿当姆斯显式与隐式公式，也称Adams-Bashforth公式与Adams-Monlton公式.11可以利用(5.4)由推出，对比与可知此时系数.显然成立，下面只需确定系数，可令，求得.若，则令来求得.12以为例，由，根据若，则由前三个方程解得得到的阿当姆斯显式公式是（5.8）13由（5.4）求得，所以（5.8）是3阶方法，局部截断误差是若，则可解得于是得的阿当姆斯隐式公式为（5.9）它是4阶方法，局部截断误差是（5.8）14（5.10）类似的方法可求得阿当姆斯显式方法和隐式方法的公式，表8-6及表8-7分别列出了时的阿当姆斯显式公式与阿当姆斯隐式公式，其中为步数，为方法的阶，为误差常数.1516173

米尔尼方法与辛普森方法考虑另一个的显式公式其中为待定常数.由（5.4）可知，再令得到可根据使公式的阶尽可能高这一条件来确定其数值.18解此方程组得于是得到四步显式公式（5.11）称为米尔尼(Milne）方法.由于，故方法为4阶的，其局部截断误差为（5.12）米尔尼方法也可以通过方程两端积分19得到.右端积分通过辛普森求积公式就有（5.13）称为辛普森方法.（5.14）它是隐式二步四阶方法，其局部截断误差为若将方程从到积分，可得20

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汉明方法辛普森公式是二步方法中阶数最高的，但它的稳定性差，其中系数及为常数.若希望导出的公式是四阶的，则系数中至少有一个自由参数.若取，则可得到辛普森公式.若取，仍利用泰勒展开，由（5.4），令为了改善稳定性，考察另一类三步法公式21解此方程组得于是有（5.15）则可得到22称为汉明(Hamming)方法.由于，故方法是四阶的，且局部截断误差（5.16）235构造多步法公式的注记和例用泰勒展开则可构造任意多步法公式，其做法是根据多步法公式的形式，直接在处做泰勒展开.确定多步法（5.1）的系数及时不必套用系数公式（5.4），因为多步法公式不一定如（5.1）的形式，

而且套用公式容易记错.（5.1）24

例6用显式二步法其中试确定参数使方法阶数尽可能高,并求局部截断误差.

解解初值问题根据局部截断误差定义，用泰勒展开确定参数满足的方程.25由于26为求参数使方法阶数尽量高，可令即得方程组27解得，此时公式为三阶的，即为所求局部截断误差.而所得二步法为而且28

例7证明存在的一个值，使线性多步法是四阶的.

证明只要证明局部截断误差，则方法仍用泰勒展开，由于为四阶.2930当时，，故方法是四阶的.31

§6线性多步法的相容性，收敛性与稳定性1.相容性与单步法一样，我们定义若局部截断误差Tn+k的价p≥1,则称k步法与微分方程（1.1）相容.（6.1）32

对多步法（5.1）引入多项式分别称为多步法（5.1）的第一特征多项式和第二特征多项式.（6.2）（6.3）33

定理5线性多步法(5.1)式与微分方程（1.1）相容的充分必要条件是

（6.4）34

35

2.收敛性由于用k步法(5.1)需要k个初值，而微分方程（1.1）只给出一个初值y(x0)=y0,因此还要给出k-1个初值才能用k步法(5.1)，既需要由相应的单步法求出y1,…,yk-1.（6.5）36

定义937

定理6若线性多步法是收敛的，则它一定是相容的.注意：相容的线性多步法不一定收敛.38

例9用线性二步法（6.6）39

但是方法（6.6）的解并不收敛.

在方法（6.6）中取y0=0,y1=h此时方法（6.6）化为40

用归纳法可以证明方法（6.6）的解并不收敛.41

定义10若线性多步法（5.1）式的第一特征多项式的根都在单位圆内，或单位圆上，且在单位圆上的根为单根，则称线性多步法（5.1）满足根条件.

定理7线性多步法（5.1）是相容的，则线性多步法（6.5）收敛的充分必要条件是线性多步法（5.1）满足根条件.在例9中，不满足根条件，因此方法（6.6）的解并不收敛.42

稳定性与绝对稳定性

1）稳定性设线性多步法（6.5）有扰动经过扰动后的解为Zn,n=0,…,N,它满足（6.9）43

定义11对初值问题（1.1）（1.2),由方法（6.5）得到的解为yn,n=0,…,N由于有扰动使得方程（6.9）的解为zn,n=0,…,N,若存在常数C及h0,对所有h∈(0,h0),当则称线性多步法（5.1）是稳定的。44

定理8线性多步法（5.1）稳定的充分必要条件是它满足根条件。45

2）绝对稳定性定义12

对于给定的，若的零点满足则称线性多步法（5.1）关于此值是绝对稳定的。若在的复平面的某个区域R中对所有值线性多步法（5.1）都是绝对稳定的，在R外，方法是不稳定的，则称R为线性多步法（5.1）的绝对稳定域。R与实轴的交集称为线性多步法（5.1）的绝对稳定区间。46§7

方程组和高阶方程

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一阶方程组

前面研究了单个方程的数值解法，只要把和理解为向量，那么，所提供的各种计算公式即可应用到一阶方程组的情形.考察一阶方程组的初值问题，初始条件给为47则上述方程组的初值问题可表示为（7.1）求解这一初值问题的四阶龙格-库塔公式为式中若采用向量的记号，记48或表示为其中49这里是第个因变量在节点的近似值.考察两个方程的特殊情形：50这时四阶龙格-库塔公式具有形式其中（7.2）（7.3）51这是一步法，利用节点上的值，由（7.3）式顺序计算，然后代入（7.2）式即可求得节点上的.（7.3）52

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化高阶方程为一阶方程组高阶微分方程（或方程组）的初值问题，原则上总可以归结为一阶方程组来求解.例如，考察下列阶微分方程（7.4）初始条件为（7.5）只要引进新的变量53即可将阶方程（7.4）化为如下的一阶方程组：（7.6）初始条件（7.5）则相应地化为（7.7）初值问题（7.4）,（7.5）和（7.6）,（7.7）是彼此等价的.（7.4）（7.5）54特别地，对于下列二阶方程的初值问题：引进新的变量，即可化为下列一阶方程组的初值问题：55这时四阶龙格-库塔公式具有形式其中（7.2）（7.3）56这是一步法，利用节点上的值，由（7.3）式顺序计算，然后代入（7.2）式即可求得节点上的.（7.3）57如果消去，则上述格式可表示为这里58

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刚性方程组在求解方程组（7.1）时，经常出现解的分量数量级差别很大的情形，这给数值求解带来很大困难，这种问题称为刚性(stiff)问题.考察以下例子.给定系统（6.8）59的特征值为方程的准确解为当时，称为稳态解，中均含有快变分量及慢变分量.可用解析方法求出准确解.方程右端系数矩阵60对应于的快速衰减的分量在s时已衰减到.称为时间常数.当时快变分量即可被忽略，而对应于的慢变分量，它的时间常数.它要计算到时，才能衰减到，也就是说解必须计算到才能达到稳态解.它表明方程的解分量变化速度相差很大，是一个刚性方程组.61若用四阶龙格-库塔法,步长选取要满足，即，才能使计算稳定.而要计算到稳态解至少需要算到，则需计算14388步.这种用小步长计算长区间的现象是刚性方程数值求解出现的困难，它是系统本身病态性质引起的.62若的特征值相应的特征向量为，则方程组（6.9）的解为对一般的线性系统（7.9）其中（7.10）其中为任意常数，可由初始条件确定，为特解.63假定的实部,则当时，

定义8若线性系统（6.9）