北师大版七年级数学上册专题7.1 期末复习解答压轴题专题（压轴题专项训练）（教师版）

专题7.1期末复习解答压轴题专题1．（2023·湖南·长沙麓山国际实验学校七年级期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点M、点N表示的数分别为m、n，则M、N两点之间的距离MN=m−n，线段MN的中点表示的数为m+n2．如图，数轴上点M表示的数为−1，点（1）直接写出：线段MN的长度是______，线段MN的中点表示的数为______；（2）x表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，直接回答：x+1+x−3有最小值是______，（3）点S在数轴上对应的数为x，且x是方程2x−1=76x+4的解，动点P在数轴上运动，若存在某个位置，使得PM+PN=PS，则称点P是关于点M、N【思路点拨】（1）点A、B表示的数分别为−1、3，根据数轴上两点的距离公式即线段的中点公式直接求出线段AB的长度为4，线段AB中点表示的数为1；（2）按x<−1或−1≤x≤3或x>3分类讨论，求出在每种情况下|x+2|+|x−6|（3）先解出x的值，根据点S表示的数为6，再按m<−1或−1≤m≤3或m>3分类讨论，根据PM+PN=PS【解题过程】（1）解：∵点A、B表示的数分别为−1、3，∴AB=−1−3=4∴线段AB的长度为4，线段AB中点表示的数为1，故答案为：4，1；（2）解：当x<−1当−1≤x≤3时，x+1+3−x=4，当x>3时，x+1+∴x+1+当x<−1当−1≤x≤3时，x+1−当x>3时，x+1−若x=−1，则x+1若x=3，则x+1−故答案为：4，4；（3）解：存在，设“麓山幸运点”P对应的数是m，解2x−1=7∴56解得：x=6，∵点S表示的数为6，当m<−1时，由PM+PN=PS得：−1−m+3−m=6−m，解得m=−4；当−1≤m≤3时，由PM+PN=PS得：m+1+3−m=6−m，解得m=2；当m>3时，由PM+PN=PS得：m+1+m−3=6−m或m+1+m−3=m−6，解得：m=83（不符合题意，舍去）或综上所述：“麓山幸运点”P对应的数是−4或2．2．（2023·安徽·合肥市第六十八中学七年级期末）如图，甲、乙两人(看成点)分别在数轴上表示-3和5的位置，沿数轴做移动游戏，每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动．①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．（1）若经过第一次移动游戏，甲的位置停在了数轴的正半轴上，则甲、乙猜测的结果是______(填“谁对谁错”)（2）从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错，设乙猜对n次，且他最终停留的位置对应的数为m．①试用含n的代数式表示m；②该位置距离原点O最近时n的值为（3）从如图的位置开始，若进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，则k的值是【思路点拨】（1）由题意知，甲只能向东移动才有可能停在数轴正半轴上，则只需考虑①与②的情形即可确定对错；（2）①根据题意乙猜对n次，则乙猜错了（10-n）次，利用平移规则即可推算出结果；②根据题意乙猜对n次，则乙猜错了（10-n）次，利用平移规则即可推算出结果；（3）由题意可得刚开始两人的距离为8，根据三种情况下计算出缩小的距离，即可算出缩小的总距离，分别除以2即可得到结果．【解题过程】（1）解：∵甲、乙两人（看成点）分别在数轴-3和5的位置上，∴甲乙之间的距离为8．∵若甲乙都错，则甲向东移动1个单位，在同时乙向西移动1个单位，∴第一次移动后甲的位置是-3+1=-2，停在了数轴的负半轴上，∵若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位，∴第一次移动后甲的位置是-3+4=1，停在了数轴的正半轴上．故答案为：甲对乙错；（2）解：①∵乙猜对n次，∴乙猜错了（10-n）次．∵甲错乙对，乙向西移动4个单位，∴乙猜对n次后，乙停留的位置对应的数为：5-4n．∵若甲对乙错，乙向东移动2个单位，∴乙猜错了（10-n）次后，乙停留的位置对应的数为：m=5-4n+2（10-n）=25-6n；②∵n为正整数，∴当n=4时该位置距离原点O最近．故答案为：4；（3）解：k=3或k=5．由题意可得刚开始两人的距离为8，∵若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位，∴若都对或都错，移动后甲乙的距离缩小2个单位．∵若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位，∴若甲对乙错，移动后甲乙的距离缩小2个单位．∵若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位，∴若甲错乙对，移动后甲乙的距离缩小2个单位．∴甲乙每移动一次甲乙的距离缩小2个单位．∵甲与乙的位置相距2个单位，∴甲乙共需缩小6个单位或10个单位．∵6÷2=3，10÷2=5，∴k的值为3或5．故答案为：3或5．3．（2023·江苏·七年级期末）如图，已知数轴上有A、B两点，点B在原点的右侧，到原点的距离为2，点A在点B的左侧，AB＝18．动点P、Q分别从A、B两点同时出发，在数轴上匀速运动，它们的速度分别为3个单位长度/秒、1个单位长度/秒，设运动时间为t秒．（1）点A表示的数为，点B表示的数为（2）若动点P、Q均向右运动．当t＝2时，点P对应的数是，P、Q两点间的距离为个单位长度．请问当t为何值时，点P追上点Q，并求出此时点P对应的数；（3）若动点Q从B点向左运动到原点后返回到B点停止，动点P从A点向右运动，当点Q停止时，点P也停止运动．请直接写出当t为何值时，在PA、PB和AB三条线段中，其中一条线段的长度是另一条线段长度的3倍．【思路点拨】（1）利用两点间的距离，有理数在数轴上的表示可得．（2）利用两点间的距离，有理数在数轴上的表示可得；利用行程公式建立等式求解可得．（3）采用分类讨论，再利用两点间的距离、行程公式建立等式求解即可．【解题过程】（1）解：∵点B在原点的右侧，到原点的距离为2，∴点B表示的数为2．∵点A在点B的左侧，AB＝18，∴2﹣18＝﹣16．∴点A表示的数为：﹣16．故答案为：﹣16，2．（2）解：当t＝2时，3×2＝6，1×2＝2，∴点P向右运动了6个单位长度，点Q向右运动了2个单位长度．∴﹣16+6＝﹣10，2+2＝4．∴点P对应的数是：﹣10点，Q对应的数是：4．∴4﹣（﹣10）＝4+10＝14．∴P、Q两点间的距离为：14个单位长度．当点P追上点Q时，可得点P与点Q表示的数相同，∴﹣16+3t＝2+t．∴t＝9．∴﹣16+3t＝﹣16+27＝11．∴此时点P对应的数为：11．∴当t为9时，点P追上点Q，此时点P对应的数为：11．故答案为：﹣10，14；11．（3）解：当Q停止时，所用的时间为4秒，分四种情况：当PB＝3PA时，18﹣3t＝3×3t，解得：t＝1.5．当PA＝3PB时，3t＝3（18﹣3t），解得：t＝4.5（舍去）．当AB＝3PA时，18＝3×3t，解得：t＝2．当AB＝3PB时，18＝3（18﹣3t），解得：t＝4．综上所述：当t为1.5，2或4时，在PA、PB和AB三条线段中，其中一条线段的长度是另一条线段长度的3倍．4．（2023·山东青岛·七年级期末）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数．受此启发，按照一个正整数被3整除的余数，把正整数分为三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．（1）2022属于_______类（A，B或C）；（2）①从B类数中任取两个数，则它们的和属于_______类（填A，B或C）；②从A类数中任意取出2021个数，从B类数中任意取出2022个数，从C类数中任意取出k个数（k为正整数），把它们都加起来，则最后的结果属于______类（填A，B或C）；（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数（m，n为正整数），把他们都加起来，若最后的结果属于A类，则下列关于m，n的叙述正确的是_______（填序号）．①m属于A类；②m+2n属于A类；③m，n不属于同一类；④|m−n|属于A【思路点拨】（1）由2022÷3=674，可知2022属于C类；（2）①设B类的两个数为3m+2，3n+2，则（3m+2）+（3n+2）被3除余数为1，由此可求解；②设这2021个数的和3a+2021，设这2022个数的和为3b+2022×2=3b+4044，设这k个数的和为3c，则有3a+2021+3b+4044+3c=3（a+b+c）+6065，再由

6065÷3=2021…2，即可求解；（3）设这m个数的和为3x+m，设这n个数的和为3y+2n，则有3x+m+3y+n=3（x+y）+m+2n，由题意可知m+2n被3除余数为1，再由此分三类当n属于A类，m属于B类；当n属于B类，m属于C类；当n属于C类，m属于A类，结合选项依次判断即可．【解题过程】（1）解：∵2022÷3=674，∴2022属于C类，故答案为：C；（2）①设B类的两个数为3m+2，3n+2，∴3m+2+3n+3=3（m+n）+4=3（m+n+1）+1，∴（3m+2）+（3n+2）被3除余数为1，∴从B类数中任取两个数，则它们的和属于A类，故答案为：A；②∵从A类数中任意取出2021个数，∴设这2021个数的和3a+2021，∵从B类数中任意取出2022个数，∴设这2022个数的和为3b+2022×2=3b+4044，∵从C类数中任意取出k个数（k为正整数），∴设这k个数的和为3c，∴3a+2021+3b+4044+3c=3（a+b+c）+6065，∴6065÷3=2021…2，∴3（a+b+c）+6065被3除余数为2，∴结果属于B类，故答案为：B；（3）从A类数中任意取出m个数，设这m个数的和为3x+m，从B类数中任意取出n个数，设这n个数的和为3y+2n，∴3x+m+3y+n=3（x+y）+m+2n，∵最后的结果属于A类，∴m+2n被3除余数为1，∴m+2n属于A类，故②正确；当n属于A类时，m属于B类，故①不正确；当n属于A类，m属于B类；当n属于B类，m属于C类；当n属于C类，m属于A类，故③正确；当n属于B类，m属于C类时，|m-n|=|3x-3y-2|=|3（x-y）-2|属于B类；故④不正确；故②③正确，故选：②③．5．（2023·浙江·七年级期末）如果一个两位数的个位数字是n，十位数字是m，那么我们可以把这个两位数简记为mn，即mn=10m+n．如果一个三位数的个位数字是c，十位数字是b，百位数字是a，那么我们可以把这个三位数简记为abc，即abc（1）若一个两位数mn满足mn=7m+5n，请求出m，n（2）若规定：对任意一个三位数abc进行M运算，得到整数Mabc=a3+b2（3）已知一个三位数abc和一个两位数ac，若满足abc=6【思路点拨】（1）根据题意列等式并合并同类项计算，即可得到m和n的关系式；再结合m和n的取值范围及整数性质，根据有理数乘除运算的性质计算，即可得到答案（2）结合题意，根据有理数乘方和加减运算的性质，得x和y的关系式；再结合x和y的取值范围及整数性质，根据有理数混合运算的性质计算，即可得到答案；（3）结合题意，通过列等式并合并同类项计算，得a、b、c的关系式，再结合a、b、c的取值范围及整数的性质，通过计算即可得到答案．【解题过程】解：（1）根据题意得：mn=10m+n，∴10m+n=7m+5n∴n=∵m为1到9的整数，n为0到9的整数∴m＝4，n＝3或m＝8，n＝6∴这两个数是43或86；（2）根据题意得：M∴x∵x，y为0到9的整数∴当x=0时，y=7当x=1时，y=6当x=2时，y=3∴这三个数是507或516或523；（3）∵abc=100a+10b+c，ac=10a+c∴100a+10b+c=6∴4a+b=c∵a为1到9的整数，b、c为0到9的整数当a=1时，得：当b＝0时，c＝4，三位数是104当b＝1时，c＝5，三位数是115当b＝2时，c＝6，三位数是126当b＝3时，c＝7，三位数是137当b＝4时，c＝8，三位数是148当b＝5时，c＝9，三位数是159当a=2时，得：当b＝0时，c＝8，三位数是208当b＝1时，c＝9，三位数是219∴符合条件的三位数有：104、115、126、137、148、159、208、219．6．（2023·江苏南通·七年级期末）对于数轴上不重合的两点A，B，给出如下定义：若数轴上存在一点M，通过比较线段AM和BM的长度，将较短线段的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．若线段AM和BM的长度相等，将线段AM或BM的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．（1）当数轴上原点为O，点A表示的数为-1，点B表示的数为5时①点O到线段AB的“绝对距离”为______；②点M表示的数为m，若点M到线段AB的“绝对距离”为3，则m的值为______；（2）在数轴上，点P表示的数为-6，点A表示的数为-3，点B表示的数为2．点P以每秒2个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点B同时以每秒1个单位长度的速度向负半轴方向移动，设移动的时间为tt>0秒，当点P到线段AB的“绝对距离”为2时，求t【思路点拨】(1))①分别求出OA、OB的长，然后比较大小，较短线段的长就是O点到线段AB的“绝对距离”．②分三种情况：点M在点A左边时；点M在A、B中间时；点M在B点右侧时．(2)求出点P运动到点A时需要的时间为32秒，点B运动到点A时需要的时间为5秒，点P、点B相遇需要的时间为83秒．再表示出移动时间为t秒时，点P、点B表示的数，然后分四种情况进行讨论：①0<t≤32；②32<t≤83；③【解题过程】解：（1）①∵OA=1，OB=5，1<5，∴点O到线段AB的“绝对距离”为1，故答案为1②点M表示的数为m，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为5，若点M到线段AB的“绝对距离”为3，则可分三种情况：Ⅰ）当点M在点A的左边时，MA<MB，∵点M到线段AB的“绝对距离”为3，∴−1−m=3，∴m=−4，符合题意；Ⅱ）当点M在点A、B之间时，∵MA=m+1，MB=5−m，如果m+1=3，那么m=2，此时5−m=3，符合题意；Ⅲ）当点M在点B的右边时，MB<MA，∵点M到线段AB的“绝对距离”为3，∴m−5=3，∴m=8，符合题意；综上，所求m的值为﹣4或2或8．故答案为﹣4或2或8．（2）点P运动到点A时需要的时间为32秒，点B运动到点A时需要的时间为5秒，点P、点B相遇需要的时间为8当移动的时间为tt>0秒时，点P表示的数为−6+2t，点B表示的数为2−t分四种情况：①当0<t≤32时，∵PA=−3−−6+2t∴t=1②当32PA=−6+2t−−3=2t−3，如果2t−3=2，t=52，此时如果8−3t=2，t=2，此时2t−3=1<2，不合题意，舍去；③当83<t≤5时，∵PB=−6+2t∴t=10④当t>5时，PA<PB，∵PA=−6+2t∴t=5综上，所求t的值为12或7．（2023·重庆渝北·七年级期末）如图，数轴上有A，B，C三个点，点B对应的数是−4，点A、C对应的数分别为a，c，且a，c满足|a+12|+（1）直接写出a，c的值；（2）若数轴上有两个动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒，运动过程中，是否存在线段AP的中点M到点Q的距离为4，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，另外两个动点E，F分别随着P，Q一起运动，且始终保持线段EP=2，线段FQ=3（点E在P的左边，点F在Q的左边），当点P运动到点C时，线段EP立即以相同的速度返回，当点P再次运动到点A时，线段EP和FQ立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为EP的一半，若存在，请直接写出此时点P表示的数，并把求其中一个点P表示的数的过程写出来：若不存在，请说明理由.【思路点拨】（1）由|a+12|+（c-3）2=0，直接可得a=−12,c=3；（2）根据动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒，运动时间为t秒，知P表示的数是-12+3t，Q表示的数是-4+t，M表示的数是32t−12，又M到点Q的距离为4，列方程（3）分两种情况（每种情况又分两种）：①在EP与FQ两线段第一次重合中，即0＜t≤5时，可知E表示的数是-14+3t，F表示的数是-7+t，当P表示的数比F表示的数大1时，重叠部分为EP的一半，可得-12+3t-（-7+t）=1，解得t=3，P表示的数是-12+3t=-3，当Q表示的数比E表示的数大1时，重叠部分为EP的一半，-4+t-（-14+3t）=1，解得t=92，P表示的数是-12+3t=32，②在PQ与MN两线段第二次重合中，即5＜t≤10时，可知P到C后返回，P表示的数是18-3t，则E表示的数是16-3t，同理可得P【解题过程】（1）解：∵|a+12|+（c-3）2=0，∴a+12=0，c-3=0，∴a=−12,c=3；（2）存在线段AP的中点M到点Q的距离为4，∵动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒，运动时间为t秒，∴P表示的数是−12+3t，Q表示的数是-4+t，∵M为线段AP的中点，∴M表示的数是12若M到点Q的距离为4，则|−12+解得t=8或t=24；答：存在线段AP的中点M到点Q的距离为4，t的值是8或24；（3）存在使两条线段重叠部分为EP的一半，①在EP与FQ两线段第一次重合中，由P到C的时间为5秒，即0＜t≤5时，由（2）知P表示的数是-12+3t，Q表示的数是-4+t，又线段EP=2，线段FQ=3（点E在P的左边，点F在Q的左边），∴E表示的数是-14+3t，F表示的数是-7+t，当P表示的数比F表示的数大1时，重叠部分为EP的一半，∴-12+3t-（-7+t）=1，解得t=3，∴此时P表示的数是-12+3t=-3，当Q表示的数比E表示的数大1时，重叠部分为EP的一半，∴-4+t-（-14+3t）=1，解得t=9∴此时P表示的数是-12+3t=32②在PQ与MN两线段第二次重合中，即5＜t≤10时，P到C后返回，P表示的数是3-3（t-5）=18-3t，则E表示的数是16-3t，当Q表示的数比E表示的数大1时，重叠部分为EP的一半，∴-4+t-（16-3t）=1，解得t=21∴此时P表示的数是18-3t=94当P表示的数比F表示的数大1时，重叠部分为EP的一半，∴18-3t-（-7+t）=1，解得t=6，∴此时P表示的数是18-3t=0，综上所述，两条线段重叠部分为EP的一半时，P表示的数是-3或32或98．（2023·江苏盐城·七年级期末）对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，我们把M、P两点间距离的最小值称为点M关于线段AB的“靠近距离”，记作d1（点M，线段AB）；把M、P两点间的距离的最大值称为点M关于线段AB的“远离距离”，记作d2（点M，线段特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间的距离为0．已知点A表示的数为-5，点B表示的数为2．例如如图，若点C表示的数为3，则d1（点C，线段AB）=1，d2（点C，线段（1）若点D表示的数为-7，则d1（点D，线段AB）_____________，d2（点D，线段（2）若点M表示的数为m，d1（点M，线段AB）=3，则m的值为_____________；若点N表示的数为n，d2（点N，线段AB）=12，则（3）若点E表示的数为x，点F表示的数为x+2，d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求【思路点拨】（1）根据已知给出的定义，进行计算即可解答；（2）分两种情况讨论，点M在点A的两侧，点N在点B的两侧；（3）分别讨论点E在A点左侧和B点右侧两种情况，根据EF=2及已知数量关系列出等式求解即可．【解题过程】解：（1）d1d（2）①当M点在顶点A左边时，d1=AM=m−解得：m=−8，当M点在点A右边时，d1=BM=m−2解得：m=5，∴m的值为-8或5，②当N点在点B左边时，d2=BN=n−2解得：n=−10，当N点在点B右边时，d2=AN=n−解得：n=7，∴n的值为-10或7；（3）由题意可知，点F在点E的右侧且EF=2.①若点E在线段AB上，则d1（点E，线段AB）=0，d2（点F，线段AB）②若点E在点A的左侧，即x<−5时，d1（点E，线段AB）∵点F在点E的右侧且EF=2，AB=7，∴d2（点F，线段AB）∵d2（点F，线段AB）=3d1（点E∴3解得x=−7.5.③若点E在点B的右侧，即x>2时，d1（点E，线段AB）d2（点F，线段AB）∵d2（点F，线段AB）=3d1（点E∴x+7=3解得x=6.5综上所述，x的值为-7.5或6.5．9．（2023·吉林·东北师大附中明珠学校七年级期末）如图，数轴上有A、B、C三个点，分别表示数－18、－10、20，有两条动线段PQ和MN（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P总在点Q的左边，点M总在点N的左边），PQ＝2，MN＝5，线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始一直向右匀速运动，同时线段PQ以每秒3个单位的速度从点A开始向右匀速运动，当点Q运动到点C时，线段PQ立即以相同的速度返回；当点P运动到点A时，线段PQ、MN立即同时停止运动．设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段PQ和MN保持长度不变）．（1）当t＝2时，点Q表示的数为______，点M表示的数为______．（2）当开始运动后，t＝______秒时，点Q和点C重合．（3）在整个运动过程中，求点Q和点N重合时t的值．（4）在整个运动过程中，当线段PQ和MN重合部分长度为1时，请直接写出此时t的值．【思路点拨】（1）根据两点间距离的定义，线段的和差定义计算即可；（2）当线段PQ开始运动后点Q和点C重合；利用点Q运动的速度×时间=AC，列方程求t；（3）在整个运动过程中，点Q和点N重合分两种情况，当PQ从点A开始运动到C过程中，利用追击问题点Q运动的路程=AB间程+点N运动路程，列方程求出t，当PQ返回时，利用相遇问题点Q与点N运动的路程=AC+BC，列方程求解即可；（4）在整个运动过程中，线段PQ和MN重合部分长度能为1，当PQ从点A开始运动到C过程和当PQ返回从OC-2开始到A过程，线段PQ进MN的长度为1和出MN长度为1，列出方程求出时间t即可．【解题过程】解：（1）当t＝2时，点Q运动长度：3×2=6∵A点表示数－18，且点Q与点A重合∴运动后点Q表示的数为：-18+6=-12；当t＝2时，点M运动长度：1×2=2∵B点表示数－10，点N与点B重合∴运动后点N表示的数为：-10+2=-8∵MN＝5∴运动后点M表示的数为：-8-5=-13故填：-12、-13．（2）当线段PQ开始运动t秒后，点Q和点C重合；根据题意3t=20−−18解得：t=122故填：122（3）在整个运动过程中，点Q和点N重合分两种情况，当PQ从点A开始运动到C过程中，根据题意3t=−10−−18解得t=4秒，当PQ返回时，根据题意3t+t=20−−18解得：t=17秒，t的值为：4秒或17秒；（4）在整个运动过程中，线段PQ和MN重合部分长度能为1，当PQ从点A开始运动到C过程中，线段PQ进MN的长度为1和出MN长度为1，∵MN=5，M点从-15开始运动，线段PQ进MN的长度为1时，等量关系为：点Q行程=QM起点距离+1+点M行程根据题意3t=−15−−18解得t=2秒，线段PQ出MN长度为1，等量关系为：点P行程=PN起点距离+1+点N行程根据题意3t=−10−−18解得t=4.5秒，当PQ返回时，线段PQ进MN的长度为1时，等量关系为：点Q行程+点N行程=Q、N起点到C距离-2+1根据题意3t+t=20−−18解得：t=67线段PQ出MN长度为1，等量关系为：点P行程+点M行程=P、M到C距离+1根据题意3t+t=18−−20解得：t=72在整个运动过程中，当线段PQ和MN重合部分长度为1时，t的值为2秒,4.5秒,16310．（2023·江苏·七年级期末）已知点A、B、C是数轴上的三点，点C表示的数c，且A、B表示的数a、b满足：（a+5）2020+|7﹣b|＝0．（1）当AC的长度为4个单位长度时，则a＝，b＝，c＝．（2）在（1）条件下，点P、Q分别是AB、AC的中点，求P、Q的长度．（3）在数轴上有两个同时出发的动点M、N，点M从点A出发，以4个单位每秒的速度向点B运动，到达B点停留3秒，再加快速度（仍保持匀速运动）返回到点A，点N从点O出发，以2个单位每秒的速度向点B运动，到达点B后立即以相同速度返回到原点O并停止运动，结果点M到达A点比点N到达O点晚1秒，记点M从出发到运动结束的时间为t秒，在整个运动过程中，当MN=3时,求t的值求t的值．【思路点拨】（1）根据非负数的性质和两点间的距离公式即可求解；（2）根据中点坐标公式和两点间的距离公式即可求解；（3）根据题意先求出点N从出发到返回原点O并停止运动的时间，点M返回到点A时的速度，根据题意分情况画出图形，即可求解．【解题过程】解：（1）∵（a+5）2020+|7﹣b|＝5．∴a+5＝0，7﹣b＝0，∴a＝﹣5，b＝7，∵AC的长度为4个单位长度，∴AC＝4，即|﹣5﹣c|＝4，∴点C表示的数c为：﹣9或﹣1，故答案为：﹣5，7，﹣9或﹣1；（2）当点C表示的数c为﹣9时，∵点P、Q分别是AB，AC的中点，∴点P表示的数为1，点Q表示的数为﹣7，∴PQ＝1﹣（﹣7）＝8；当点C表示的数c为﹣1时，∵点P、Q分别是AB，∴点P表示的数为1，点Q表示的数为﹣3，∴PQ＝1﹣（﹣3）＝4；答：PQ的长度是8或4；（3）点N从出发到返回原点O并停止运动的时间：7×2÷7＝7（秒），点M从出发到运动结束的时间为7+1＝8（秒），点M从点A出发到达点B用时12÷4＝3（秒），点M从点B加快速度（仍保持匀速运动）返回到点A用时8﹣3﹣3＝2（秒），点M从点B加快速度（仍保持匀速运动）返回时的速度：12÷2＝6，①当点M、N都向点B运动时，MN＝2t﹣（﹣5+4t）＝3，解得：t＝1；②当点M到达点B停留4秒时，点N正返回原点O，2t＝7+3，解得：t＝5；③当点M从点B加快速度（仍保持匀速运动）返回到点A时，此时点N距离点B：6×2﹣7＝5，设点M从点B运动x秒时，MN＝3，6x+3＝2x+5，解得：x＝0.5，∴t＝6+0.5＝6.5；④当点N返回到原点O并停止运动，点M从点B加快速度（仍保持匀速运动）运动10个单位时，∴10÷6＝53∴t=6+5∴当MN＝3时，t的值为1或5或6.5或23311．（2023·辽宁沈阳·七年级期末）如图，数轴上点A、B、C分别表示的数为﹣70、60、20，在点O处有动点P，在点C处有动点Q，P点和Q点可在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒．（1）当点P以每秒10个单位长度的速度向左运动t秒时，点P与点A相距___个单位长度（用含t的代数式填空）．（2）若点Q先停留在点C的位置点，P以每秒10个单位长度的速度向右运动，当P与Q相遇时，点P就停留在点Q的位置，然后点Q以点P的速度和方向继续运动；当点Q到达B时，点Q则以相同的速度反向运动；当Q与P相遇时，点Q就停留在点P的位置，点P以点Q的速度和方向继续运动；当P到达A点时，P则以相同的速度反向运动到达O后停止运动．①求点P从开始运动到最后停止时t的值；②当线段PB的中点与线段OQ的中点重合时，请直接写出t的值．【思路点拨】（1）先求出向左运动t秒时，点P所表示的数，再根据数轴的定义即可得；（2）①先根据数轴的定义可得OC=20,BC=40,AC=90,OA=70，再根据“时间=路程÷时间”求出各个运动过程所需时间，由此即可得出答案；②根据（2）①分0≤t≤2、2<t≤6、6<t≤10、10<t≤19和19<t≤26五种情况，分别利用数轴的定义、线段中点的定义建立方程，解方程即可得．【解题过程】解：（1）由题意，向左运动t秒时，点P所表示的数为−10t，则点P与点A的距离为−10t−(−70)=故答案为：70−10t；（2）①由题意得：OC=20,BC=60−20=40,AC=20−(−70)=90,OA=70，则在各个运动过程中，所需时间如下：点P向右运动到点Q所需时间为OC10点Q向右运动到点B所需时间为BC10点Q向左运动与点P相遇所需时间为BC10点P向左运动到点A所需时间为AC10点P向右运动到点O所需时间为OA10所以点P从开始运动到最后停止时，t=2+4+4+9+7=26（秒）；②结合（2）①，分以下五种情况：（ⅰ）当0≤t≤2时，PB=60−10t,OQ=20，则线段PB的中点表示的数为60−1线段OQ的中点表示的数为12因此有30+5t=10，解得t=−4，不符题设，舍去；（ⅱ）当2<t≤6时，PB=60−10×2=40,OQ=20+10(t−2)=10t，则线段PB的中点表示的数为60−1线段OQ的中点表示的数为12因此有5t=40，解得t=8，不符题设，舍去；（ⅲ）当6<t≤10时，PB=60−10×2=40,OQ=60−10(t−6)=120−10t，则线段PB的中点表示的数为60−1线段OQ的中点表示的数为12因此有60−5t=40，解得t=4，不符题设，舍去；（ⅳ）当10<t≤19时，PB=60−20−10(t−10)则线段PB的中点表示的数为60−1线段OQ的中点表示的数为12因此有90−5t=10，解得t=16，符合题设；（ⅴ）当19<t≤26时，PB=60−10(t−19)−70则线段PB的中点表示的数为60−1线段OQ的中点表示的数为12因此有5t−100=10，解得t=22，符合题设；综上，t的值为16或22．12．（2023·陕西·西安市铁一中学七年级期末）如图，数轴上线段AB=2（单位长度），CD=4（单位长度），点A在数轴上表示的数是−10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．设运动的时间为t秒，请解决下列问题：（1）当t=1时，A点表示的数为_________，此时BC=_________；（2）当运动到BC=6（单位长度）时，求运动时间t的值；（3）P是线段AB上一点，当点B运动到线段CD上时，若关系式BD−AP=4PC成立，请直接写出此时线段PD的长：PD=________．【思路点拨】（1）用−10加上A点运动1秒的路程可得A点表示的数；分别求出B、C两点运动1秒后在数轴上表示的数，再利用两点间的距离公式即可求出BC；（2）设运动t秒时，BC=6（单位长度），然后分点B在点C的左边和右边两种情况，根据题意列出方程求解即可；（3）随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况．【解题过程】解：（1）当t=1时，A点表示的数为−10+6×1=−4；∵B、C两点运动1秒后在数轴上表示的数为−8+6×1=−2，16−2×1=14，∴此时BC=14−(−2)=16．故答案为：−4，16；（2）设运动t秒时，BC=6（单位长度），①当点B在点C的左边时，由题意得：6t+6+2t=24，解得：t=9②当点B在点C的右边时，由题意得：6t−6+2t=24，解得：t=15综上所述，当运动到BC=6（单位长度）时，运动时间t的值为94或15（3）设线段AB未运动时点P所表示的数为x，B点运动时间为t，则此时C点表示的数为16−2t，D点表示的数为20−2t，A点表示的数为−10+6t，B点表示的数为−8+6t，P点表示的数为x+6t，∴BD=20−2t−(−8+6t)=28−8t，AP=x+6t−(−10+6t)=10+x，PC=|16−2t−(x+6t)|=|16−8t−x|，PD=20−2t−(x+6t)=20−8t−x=20−(8t+x)，∵BD−AP=4PC，∴28−8t−(10+x)=4|16−8t−x|，即：18−8t−x=4|16−8t−x|，①当C点在P点右侧时，18−8t−x=4(16−8t−x)=64−32t−4x，∴x+8t=46∴PD=20−(8t+x)=20−46②当C点在P点左侧时，18−8t−x=−4(16−8t−x)=−64+32t+4x，∴x+8t=82∴PD=20−(8t+x)=20−82∴PD的长有2种可能，即143或18故答案为：143或1813．（2023·河北唐山·七年级期末）[知识背景]：数轴上，点A，B表示的数为a，b，则A，B两点的距离AB=a−b，A，B的中点P表示的数为a+b[知识运用]：若线段AB上有一点P，当PA=PB时，则称点P为线段AB的中点．已知数轴上A，B两点对应数分别为a和b，a+22+b−4=0，（1）a=______，b=______；（2）若点P为线段AB的中点，则P点对应的数x为______．若B为线段AP的中点时则P点对应的数x为______（3）若点A、点B同时向左运动，点A的速度为1个单位长度/秒，点B的速度为3个单位长度/秒，则经过多长时间点B追上点A？（列一元一次方程解应用题）；此时点B表示的数是______（4）若点A、点B同时向左运动，它们的速度都为1个单位长度/秒，与此同时点P从-16处以2个单位长度/秒的速度向右运动，经过多长时间后，点A、点B、点P三点中其中一点是另外两点的中点？__________________（直接写出答案．）【思路点拨】（1）利用非负数的性质解即可；（2）利用线段中点定义，和数轴求两点距离的方法列出方程，解方程即可；（3）利用点A的行程+AB间距离=B行程，列出方程t+6=3t求出t，点B表示的数用4减B点行程即可；（4）设运动的时间为tS，先用“t”表示A、B、P表示的数分三种情况考虑，①点A为点P与点B的中点，PA=AB，列方程4-t-(-2-t)=-2-t-(-16+2t)，②点P为点A与点B的中点，即AP=PB，列方程-16+2t-(-2-t)=4-t-(-16+2t)③点B为点A与点P中点，即AB=BP列方程-16+2t-(4-t)=4-t-(-2-t)解方程即可．【解题过程】解：（1）∵a+22+b−4∴a+2=0，b−4=0，∴a=−2，b=4，故答案为：﹣2；4；（2）∵点P为线段AB的中点，P点对应的数为x，∴4-x=x-(-2)，∴x=1，∵B为线段AP的中点时则P点对应的数x，∴x-4=4-(-2)，∴x=10，故答案为：1、10；（3）解：设经过t秒点B追上点A．t+6=3t，(3－1)t=6，t=3，B表示的数为：4-3×3=-5，∴经过3秒点B追上点A．此时点B表示的数是－5，答案为：经过3秒点B追上点A；－5；（4）设运动的时间为tS，点P表示-16+2t,点A表示-2-t，点B表示4-t，①点A为点P与点B的中点，PA=AB，4-t-(-2-t)=-2-t-(-16+2t)，3t=8，t=83②点P为点A与点B的中点，即AP=PB，-16+2t-(-2-t)=4-t-(-16+2t)，6t=34，t=173③点B为点A与点P中点，即AB=BP，-16+2t-(4-t)=4-t-(-2-t)，3t=26，t=263故答案为：83s、17314．（2023·全国·七年级期末）如图，点C在线段AB上，AC=6cm，CB=4cm．点M以1cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点N以2cm/s的速度从点C出发，在线段CB上做往返运动（即沿C→B→C→B→⋯运动），当点M运动到点C时，点M、N都停止运动．设点M运动的时间为t（s）．（1）当t=1时，求MN的长．（2）当点C为线段MN的中点时，求t的值．（3）若点P是线段CN的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度并写出其对应的时间段；如果不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）当t=1时，AM=1cm，CN=2cm，可得MN=7cm；（2）由题意，得：AM=tcm，MC=（6-t）cm，根据点M运动到点C时，点M、N都停止运动，可得0≤t≤6，分三种情况：①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，可求得t=2；②当2＜t≤4时，点N从B向C运动，求出t=2不合题意；③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，可求得t=14（3）存在某个时间段，使PM的长度保持不变，与（2）一样分三种情况分别探究即可．【解题过程】（1）解：当t=1时，AM=1cm，CN=2cm，∴MC=AC-AM=6-1=5（cm），∴MN=MC+CN=5+2=7（cm）；（2）如图，由题意，得：AM=tcm，MC=（6-t）cm，∵点M运动到点C时，点M、N都停止运动，∴0≤t≤6，①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，CN=2tcm，∵点C为线段MN的中点，∴MC=CN，即6-t=2t，解得：t=2；②当2＜t≤4时，点N从B向C运动，BN=（2t-4）cm，CN=4-（2t-4）=（8-2t）cm，∵点C为线段MN的中点，∴MC=CN，即6-t=8-2t，解得：t=2（舍去）；③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，CN=（2t-8）cm，∵点C为线段MN的中点，∴MC=CN，即6-t=2t-8，解得：t=143；综上所述，当t=2或143时，点C（3）如图2，①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，CN=2tcm，∵点P是线段CN的中点，∴CP=12CN=t∴PM=MC+CP=6-t+t=6cm，此时，PM的长度保持不变；②当2＜t＜4时，点N从B向C运动，CN=（8-2t）cm，∵点P是线段CN的中点，∴CP=12CN=12（8-2t）=（4-∴PM=MC+CP=6-t+（4-t）=（10-2t）cm，此时，PM的长度变化；③当4≤t≤6时，点N从C向B运动，CN=（2t-8）cm，∵点P是线段CN的中点，∴CP=12CN=12（2t-8）=（∴PM=MC+CP=6-t+（t-4）=2cm，此时，PM的长度保持不变；综上所述，当0≤t≤2或4≤t≤6时，使PM的长度保持不变；PM的长度分别为6cm或2cm．15．（2023·浙江舟山·七年级期末）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式AD+ECBE=32，则【思路点拨】（1）根据已知条件得到BC＝6，AC＝12，①由线段中点的定义得到CE＝3，求得CD＝5，由线段的和差得到AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②当点C线段DE的三等分点时，可求得CE＝13DE＝83或CE＝23DE＝163，则CD＝（2）当点E在线段BC之间时，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，求得AB＝3x，设CE＝y，得到AE＝2x+y，BE＝x﹣y，求得y＝27x，当点E在点A的左侧，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，求得DC＝EC+DE＝y+1.5x，得到y＝4x【解题过程】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝18，∴BC＝6，AC＝12，①∵E为BC中点，∴CE＝3，∵DE＝8，∴CD＝5，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②∵点C是线段DE的三等分点，DE＝8，∴CE＝13DE＝83或CE＝23DE∴CD＝163或CD＝8∴AD＝AC﹣CD＝12﹣163＝203或12-83（2）当点E在线段BC之间时，如图，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，∴AB＝3x，∵AB＝2DE，∴DE＝1.5x，设CE＝y，∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，∵AD+ECBE∴0.5x+y+yx−y∴y＝27x∴CD＝1.5x﹣27x＝1714∴CDAB当点E在点A的左侧，如图，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，∴DC＝EC+DE＝y+1.5x，∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x，∵AD+ECBE=32，BE＝EC+BC＝∴y−0.5x+yx+y∴y＝4x，∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x，∴AB＝BD﹣AD＝6.5x﹣y+0.5x＝6.5x﹣4x+0.5x＝3x，∴CDAB当点E在线段AC上及点E在点B右侧时，无解，综上所述CDAB的值为1742或故答案为：1742或1116．（2023·辽宁大连·七年级期末）如图1所示，已知线段AB=32cm，点P为线段AB上一点（不与A、B重合），M，N两点分别从A、P同时出发沿射线AB向右运动，点M的运动速度为4cm/秒，点N运动速度为3cm/秒，设运动时间为t秒t≠8．（1）若AP=8cm，①t=1时，则MN的长为______；②点M、N在移动过程中，线段BM、MN之间是否存在某种确定的的数量关系，判断并说明理由；（2）如图2所示，点M、N在射线AB上移动，若BM=4，MN=3，直接写出APPB【思路点拨】（1）①根据题意画出图形，分别求出t=1时，AM，PN的长，进而求出AN，即可求解；②分0＜t＜8和t＞8两种情况，分别表示出AM，PN，BM，MN的长，即可求解；（2）分0＜t＜8和t＞8两种情况，每种情况再分点N在点M左边，点N在点M右边，分别表示出AM，PN，AP，PB的长，即可求解．【解题过程】解：（1）①如图：t=1时，AM=4cm，PN=3cm，∴AN=AP+PN=8cm+3cm=11cm，∴MN=AN−AM=11cm−4cm=7cm；②∵AP=8，AB=32，∴BP=24当t=8时点M、N同时到达点B∴当0<t<8时AM=4t，PN=3t，如图：∴MP=8−4t∴MN=MP+NP=8−4t+3t=8−t∵BM=32−4t=4∴BM=4MN；当t>8时AM=4t，PN=3t，如图：∴AN=8+3t∴MN=AM−AN=4t−8−3t=t−8∵BM=4t−32=4∴BM=4MN；（2）0＜t＜8，点N在点M左边时，如图：∵AM=4t，BM=4，AB=32，∴AM=4t=AB−BM=28，t=7，∵PN=3t，MN=3，∴PN=3t=21，AN=AB−BM−MN=25，∴AP=AN−PN=25−21=4，PB=AB−AP=32−4=28，∴APPB0＜t＜8，点N在点M右边时，如图：∵AM=4t，BM=4，AB=32，∴AM=4t=AB−BM=28，t=7，∵PN=3t，MN=3，∴PN=3t=21，AN=AB−BM+MN=31，∴AP=AN−PN=31−21=10，PB=AB−AP=32−10=22，∴APPBt＞8，点N在点M左边时，如图：∵AM=4t，BM=4，AB=32，∴AM=4t=AB+BM=36，t=9，∵PN=3t，MN=3，∴PN=3t=27，AN=AB+BM−MN=33，∴AP=AN−PN=33−27=6，PB=AB−AP=32−6=26，∴APPBt＞8，点N在点M右边时，如图：∵AM=4t，BM=4，AB=32，∴AM=4t=AB+BM=36，t=9，∵PN=3t，MN=3，∴PN=3t=27，AN=AM+MN=39，∴AP=AN−PN=39−27=12，PB=AB−AP=32−12=20，∴APPB∴APPB的值为17，511，317．（2023·湖南岳阳·七年级期末）（1）特例感知：如图①，已知线段MN＝30cm，AB＝2cm，线段AB在线段MN上运动(点A不超过点M，点B不超过点N)，点C和点D分别是AM，BN的中点．①若AM＝16cm，则CD＝cm；②线段AB运动时，试判断线段CD的长度是否发生变化？如果不变，请求出CD的长度，如果变化，请说明理由．（2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON．①若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD=_____________度．②请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系．请说明理由．（3）类比探究：如图③，∠AOB在∠MON内部转动，若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，∠MOC∠AOC=∠NOD∠BOD=k【思路点拨】（1）①欲求CD，需求AC+AB+BD．已知CD，需求AC+BD．点C和点D分别是AM，BN的中点，得AC=12AM，BD=12BN，那么AC+BD=12AM+12BN=12（2）①欲求∠COD，需求∠AOC+∠AOB+∠BOD．已知∠AOB，需求∠AOC+∠BOD．由OC和OD分别平分∠AOM和∠BON，得∠AOC=12∠AOM，∠BOD=12∠（3）由∠MOC∠AOC=∠NOD∠BOD=k可得∠AOM=（1+k）∠AOC，∠BON=（1+k）∠BOD，所以∠AOC+∠BOD=120°k+1，根据∠COD=∠【解题过程】解：（1）①∵MN=30cm，AB=2cm，AM=16cm，∴BN=MN-AB-AM=12（cm），∵点C和点D分别是AM，BN的中点，∴AC=12AM=8cm，BD=12∴AC+BD=14（cm）．∴CD=AC+AB+BD=14+2=16（cm）．故答案为：16．②不变，理由如下：∵点C和点D分别是AM，BN的中点，∴AC=12AM，BD=12∴AC+BD=12AM+12BN=12（AM又∵MN=30cm，AB=2cm，∴AM+BN=MN-AB=30-2=28（cm）．∴AC+BD=12（AM+BN∴CD=AC+AB+BD=14+2=16（cm）．（2）①∵OC和OD分别平分∠AOM和∠BON，∴∠AOC=12∠AOM，∠BOD=12∠∴∠AOC+∠BOD=12∠AOM+12∠BON=12（∠AOM又∵∠MON=150°，∠AOB=30°，∴∠AOM+∠BON=∠MON-∠AOB=120°．∴∠AOC+∠BOD=60°．∴∠COD=∠AOC+∠BOD+∠AOB=60°+30°=90°．故答案为：90．②∠COD=12（∠MON+AOB∵OC和OD分别平分∠AOM和∠BON，∴∠AOC=12∠AOM，∠BOD=12∠∴∠AOC+∠BOD=12∠AOM+12∠BON=12（∠AOM∴∠COD=∠AOC+∠BOD+∠AOB=12（∠AOM+∠BON）+∠AOB=12（∠MON-∠AOB）+∠AOB．=12（∠MON+（3）∵∠MON=150°，∠AOB=30°，∴∠AOM+∠BON=120°，∵∠MOC∠AOC∴∠MOC=k∠AOC，∠NOD=k∠BOD，∴∠AOM=∠MOC+∠AOC=（1+k）∠AOC，∠BON=∠NOD+∠BOD=（1+k）∠BOD，∴∠AOC+∠BOD=120°∴∠COD=∠AOC+∠BOD+∠AOB=120°k+118．（2023·湖北十堰·七年级期末）如图，已知∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=2∠AOD．（1）求∠BOC的度数；（2）若射线OA绕点O以每秒旋转10°的速度顺时针旋转，同时射线OD以每秒旋转5°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为t秒0<t<8，试求当∠AOD=15°时t的值；（3）若∠AOC绕点O以每秒旋转5°的速度逆时针旋转，同时∠BOD绕点O以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为t秒0<t<12，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，在旋转的过程中，∠MON的度数是否发生改变？若不变，求出其值；若改变，说明理由．【思路点拨】（1）设∠AOD=x，从而可得∠AOC=∠BOD=90°−x，再根据角的和差可得∠BOC=180°−x，然后根据∠BOC=2∠AOD建立方程，解方程即可得；（2）先分别求出射线OA与射线OD重合时、射线OA旋转至射线OD的初始位置时、射线OD旋转至射线OA的初始位置时t的值，再分三种情况讨论，分别建立方程，解方程即可得；（3）先判断出在旋转的过程中，∠BOD一定在∠AOC的后面，再求出旋转t秒后，∠AOB,∠COD,∠BOC的度数，然后根据角平分线的定义求出∠BOM,∠CON的度数，最后根据∠MON=∠BOC−∠BOM−∠CON即可得出结论．【解题过程】（1）解：设∠AOD=x，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD=90°−x，∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=180°−x，又∵∠BOC=2∠AOD，∴180°−x=2x，解得x=60°，则∠BOC=180°−x=180°−60°=120°．（2）解：当射线OA与射线OD重合时，则10°t+5°t=60°，解得t=4，当射线OA旋转至射线OD的初始位置时，t=60°当射线OD旋转至射线OA的初始位置时，t=60°因此，分以下三种情况：①当0<t≤4时，则10°t+5°t+15°=60°，解得t=3，符合题设；②当4<t≤6时，10°t+5°t−15°=60°，解得t=5，符合题设；③当6<t<8时，10°t−60°+5°t=15°，解得t=5<6，不符题设，舍去；综上，当∠AOD=15°时t的值为3或5．（3）解：当∠AOC与∠BOD重合时，则10°t−5°t=90°，解得t=18>12，∴当0<t<12时，在旋转的过程中，∠BOD一定在∠AOC的后面，∴旋转t秒后，∠AOB=5°t+90°−10°t=90°−5°t，∠COD=5°t+90°−10°t=90°−5°t，∠BOC=5°t+120°−10°t=120°−5°t，∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，∴∠BOM=12∠AOB=45°−∴∠MON=∠BOC−∠BOM−∠CON=120°−5°t−(45°−=30°，即在旋转的过程中，∠MON的度数不发生改变，其值为30°．19．（2023·吉林白山·七年级期末）如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：∠1＝120°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角．(本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角)（1）如图1所示，O为直线AB上一点，∠AOC＝90°，则∠AOD垂角为和；（2）如果一个角的垂角等于这个角的补角的23（3）如图2所示，O为直线AB上一点，∠AOC＝90°，∠BOD＝30°，且射线OC绕点O以9°/s的速度逆时针旋转，射线OD绕点O以6°/s的速度顺时针旋转，两条射线OC、OD同时运动，运动时间为ts(0＜t＜20)，试求当t为何值时，∠AOC和∠AOD互为垂角．【思路点拨】（1）根据互为垂角的定义即可求解；（2）利用题中的“一个角的垂角等于这个角的补角的23(3)根据所有角都是指大于0且小于180°的角，可分0＜t＜5，5＜t＜10，10＜t＜20三种情况讨论，并建立相应的方程求解后可得符合题意的t的值．【解题过程】解：（1）∵∠AOC＝90°，∠EOD＝90°，∴∠AOD﹣∠COD＝90°，∠AOD﹣∠AOE＝90°，∴AOD的垂角是∠COD和∠AOE；故答案为：∠COD，∠AOE；（2）设这个角的度数为x度，则①当0＜x＜90时，它的垂角是(90+x)度，根据题意得：90+x＝23(180﹣x解得：x＝18；②当90＜x＜180时，它的垂角是(x﹣90)度，根据题意得：x﹣90＝23(180﹣x解得：x＝126，∴这个角的度数为18°或126°；（3）分三种情况：①当0＜t＜5时，∠AOC＝(90﹣9t)°，∠AOD＝(150+6t)°，∴(150+6t)﹣(90﹣9t)＝90，解得t＝2；②当5＜t＜10时，∠AOC＝(90﹣9t)°，∠AOD＝(210﹣6t)°，∴(210﹣6t)﹣(90﹣9t)＝90，解得t＝﹣10(舍去)；③当10＜t＜20时，∠AOC＝(9t﹣90)°，∠AOD＝(210﹣6t)°，∴(210﹣6t)﹣(9t﹣90)＝90，解得：t＝14．综上所述：t的值为2s或14s时，∠AOC和∠AOD互为垂角．20．（2023·全国·七年级期末）【阅读理解】射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA=13∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”，例如，如图1，∠AOB=60°，∠AOC=∠COD=∠BOD=20°，则∠AOC=13∠AOB，称射线（1）如图2，∠AOB=120°，射线OM是射线OA的友好线，则∠AOM=________（2）如图3，∠AOB=180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3゜的速度顺时针旋转，当射线OD①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，若存在，求出t②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．（直接写出答案）【思路点拨】（1）根据“友好线”的含义即可完成；（2）①分两种情况：OC与OD相遇之前，根据180゜减去OC、OD旋转的角度的和等于40度列出方程即可；OC与OD相遇之后，根据OC、OD旋转的角度的和减去180゜等于40゜列出方程即可；②分相遇前与相遇后两种情况：相遇前又分两种情况：OC是OA的“友好线”；OC是OD的“友好线”；相遇后也分两种情况：OD是OC的“友好线”；OD是OA的“友好线”；根据“友好线”的含义即可求得t的值．【解题过程】解：（1）∵射线OM是射线OA的“友好线”，且∠AOB=∴∠AOM=1故答案为：40；（2）射线OD与OA重合时，t=60（秒）①存在当∠COD的度数是40°时，∠AOC=(2t)°，∠BOD=(3t)°有两种可能：若在相遇之前，则180°−∠BOD−∠AOC=40°，即180−3t−2t=40，∴t=28；若在相遇之后，则∠BOD+∠AOC−180°=40°，即3t+2t−180=40，∴t=44；综上所述，当t=28秒或44秒时，∠COD的度数是40°②相遇之前：（I）如图1，OC是OA的“友好线”时，则∠AOC=1即2t=1∴t=20（II）如图2，OC是OD的“友好线”时，则∠COD=1即180−3t−2t=1∴t=30相遇之后：（III）如图3，OD是OC的“友好线”时，则∠COD=即3t+2t−180=1∴t=（Ⅳ）如图4，OD是OA的“友好线”时，则∠AOD=即180−3t=1∴t=所以，综上所述，当t=20，30，54013，54011时，OC、OD、21．（2023·湖北黄石·七年级期末）将一副直角三角板ABC，AED，按如图1放置，其中B与E重合，∠BAC=45°，∠BAD=30°．（1）如图1，点F在线段CA的延长线上，求∠FAD的度数；（2）将三角板AED从图1位置开始绕A点逆时针旋转，AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线．①如图2，当AE旋转至∠BAC的内部时，求∠MAN的度数；②当AE旋转至∠BAC的外部时，直接写出∠MAN的度数．【解题过程】（1）解：如图1，∵∠BAC=45°，∠BAD=30°，∴∠DAC=45°−30°=15°，∴∠FAD=180°−15°=165°．（2）解：①如图2，∵AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线，∴∠MAE=12∠BAE∴∠MAN=∠MAE+∠NAC+∠CAE=====37.5°；②如图3，当AE旋转至∠BAC的外部，且∠BAE＜180°时，∵AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线，∴∠MAE=12∠BAE∴∠MAN=∠MAE+∠NAC−∠CAE=====37.5°；如图4，当AE旋转至∠BAC的外部，且180°＜∠BAE＜210°时，∵AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线，∴∠MAE=12∠BAE∴∠MAN=∠MAE+∠NAD−∠DAE=====142.5°；如图5，当AE旋转至∠BAC的外部，且∠BAE＞210°时，∵AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线，∴∠MAB=12∠BAE∴∠MAN=∠MAB+∠NAD−∠DAB=====37.5°．综上所述：∠MAN的值为37.5°或142.5°．22．（2023·全国·七年级期末）已知：如图1，∠AOB=30°，∠BOC=3（1）求∠AOC的度数；（2）如图2，若射线OP从OA开始绕点O以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，同时射线OQ从OB开始绕点O以每秒旋转6°的速度逆时针旋转；其中射线OP到达OC后立即改变运动方向，以相同速度绕O点顺时针旋转，当射线OQ到达OC时，射线OP，OQ同时停止运动．设旋转的时间为t秒，当∠POQ=10°时，试求t的值；（3）如图3，若射线OP从OA开始绕O点逆时针旋转一周，作OM平分∠AOP，ON平分∠COP，试求在运动过程中，∠MON的度数是多少？（请直接写出结果）【思路点拨】（1）由题意可得，∠AOB=14∠AOC（2）由射线的运动可知，需要分两种情况讨论，①OP逆时针运动时，OP，OQ相遇前和相遇后；②OP顺时针旋转，OP，OQ相遇前和相遇后，分别画图求解即可；（3）根据射线OP的运动，需要分四种情况，①当射线OP与OA重合前，②当射线OP与OA重合后，∠AOP=180°前，③∠CON=180°前，④OP与OQ重合前，画出图形，结合角平分线求解即可．【解题过程】（1）解：∠BOC=34∠AOC，∠BOC+∠AOB=∠AOC∴∠AOB=14∠AOC∵∠AOB=30°，∴∠AOC=120°；（2）由（1）知，∠AOC=120°，∠BOC=90°，①OP逆时针运动时，即0≤t≤12时，由OP，OQ的运动可知，∠AOP=10°t，∠BOQ=6°t，OP，OQ相遇前，如图2（1），∠AOQ=∠AOP+∠POQ=∠AOB+∠BOQ，即10°t+10°=30°+6°t，解得t=5，OP，OQ相遇后，如图2（2），∠AOP=∠AOB+∠BOQ+∠POQ，即10°t=30°+6°t+10°，解得t=10；②OP顺时针旋转时，∠COP=10°t-120°，∠BOQ=6°t，OP，OQ相遇前，如图（3），∠BOC=∠COP+∠BOQ+∠POQ，即90°=10°t-120°+6°t+10°，解得t=12.5，OP，OQ相遇后，如图（4），∠BOC=∠COP+∠BOQ-∠POQ，即90°=10°t-120°+6°t-10°，解得t=13.75，综上，当t的值为5，10，12.5或13.75时，∠POQ=10°．（3）由（1）知∠AOC=120°，根据射线OP的运动，需要分四种情况，①当射线OP与OA重合前，如图3（1），∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，∴∠POM=12∠AOP，∠PON=12∠∴∠MON=∠POM+∠PON=12∠AOP+12∠COP=12②当射线OP与OA重合后，∠AOP=180°前，如图3（2），∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，∴∠POM=12∠AOP，∠PON=12∠∴∠MON=∠POM-∠PON=12∠AOP-12∠COP=12③∠CON=180°前，如图3（3），∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，∴∠POM=12∠AOP，∠PON=12∠∴∠MON=∠POM+∠PON=12∠AOP+12∠COP=12④OP与OQ重合前，如图3（4），∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，∴∠POM=12∠AOP，∠PON=12∠∴∠MON=∠PON-∠POM=12∠COP+12∠AOP=12综上，∠MON的度数为60°或120°．23．（2023·四川成都·七年级期末）已知∠AOB=90°，∠COD=80°，OE是∠AOC的角平分线．（1）如图1，当∠AOD=13∠AOB（2）如图2，若OD在∠AOB内部运动，且OF是∠AOD的角平分线时，求∠AOE−∠DOF的值；（3）在（1）的条件下，若射线OP从OE出发绕O点以每秒10°的速度逆时针旋转，射线OQ从OD出发绕O点以每秒6°的速度顺时针旋转，若射线OP、OQ同时开始旋转t秒(0<t<23.5)后得到∠COP=43∠AOQ【思路点拨】（1）由已知条件结合角的和差关系依次求解∠AOD,∠BOD,∠BOC,∠AOC,再利用角平分线的定义求解∠AOE,利用∠DOE=∠AOE−∠AOD，从而可得结论；（2）设∠BOC=m°,由已知条件结合角的和差关系依次表示∠AOC,∠BOD,∠AOD,再结合角平分线分别表示：∠AOE,∠DOF，从而可得答案；（3）分三种情况讨论，当0＜t≤5时，当5＜t≤5.5时，当5.5＜t＜23.5时，再利用角的和差分别表示∠COP,∠AOQ，再利用∠COP=4【解题过程】解：（1）如图1，∵∠AOD=13∠AOB∴∠AOD=30°，∠BOD=∠AOB−∠AOD=60°，∵∠COD=80°，∴∠BOC=∠COD−∠BOD=80°−60°=20°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+20°=110°，∵OE是∠AOC的角平分线，∴∠AOE=∠COE=1∴∠DOE=∠AOE−∠AOD=55°−30°=25°.（2）如图2，设∠BOC=m°,∵∠AOB=90°，∠COD=80°，∠BOC=m°,∴∠AOC=(90+m)°,∠BOD=(80−m)°,∴∠AOD=∠AOB−∠BOD=90°−(80−m)°=(10+m)°,∵OF是∠AOD的角平分线，∴∠DOF=1∵OE是∠AOC的角平分线，∴∠AOE=∠COE=(45+∴∠AOE−∠DOF=(45+1（3）由（1）得：∠COE=55°，∠AOD=30°,又OP旋转的角度为10t°,OQ旋转的角度为6t°,OP与OC重合时，t=5510=5.5s,OQ与OA如图3，当0＜t≤5时，∠COP=(55−10t)°,∠AOQ=(30−6t)°,∵∠COP=4∴55−10t=4∴t=7.5（不合题意舍去）当5＜t≤5.5时，如图4，同理可得：∠COP=(55−10t)°,∠AOQ=(6t−30)°,∵∠COP=4∴55−10t=4∴t=95经检验：t=95如图5，当5.5＜t＜23.5时，当t=23.5时，OP旋转235°,OQ旋转141°，从而同理可得：∠POC=(10t−55)°,∠AOQ=(6t−30)°,∵∠COP=4∴10t−55=4∴t=7.5,经检验：t=7.5s符合题意，综上：当t=9518s或t=7.5s24．（2023·陕西宝鸡·七年级期末）以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=40°，将一个直角角板的直角顶点放在O处，即∠DOE=90°．（1）如上图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD=_______；（2）如上图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，①若OE恰好平分∠AOC，则∠COD=_______；②若OD在∠BOC内部，请直接写出∠BOD与∠COE有怎样的数量关系；（3）将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（OD与OB重合时为停止）的过程中，恰好有∠COD=13∠AOE【思路点拨】（1）利用余角的定义可求解；（2）①由平角的定义及角平分线的定义求解∠COE的度数，进而可求解；②由∠COD＝∠BOC−∠BOD，∠COD＋∠COE＝90°，结合∠BOC的度数可求解；（3）可分两种情况：①当∠COD在∠BOC的内部时，②当∠COD在∠BOC的外部时，根据角的和差可求解．【解题过程】解：（1）由题意得∠BOD＝90°，∵∠BOC＝40°，∴∠COD＝90°−40°＝50°，故答案为50°；（2）①∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝180°−40°＝140°，∵OE平分∠AOC，∴∠COE＝12∠AOC∵∠DOE＝90°，∴∠COD＝90°−70°＝20°，故答案为20°；②∵∠COD＝∠BOC−∠BOD，∠COD＋∠COE＝90°，∴∠BOC−∠BOD＋∠COE＝90°，∴∠COE−∠BOD＝90°−∠BOC，∵∠BOC＝40°，∴∠COE−∠BOD＝90°−40°＝50°，∴∠BOD与∠COE数量关系为：∠COE−∠BOD=50°．（3）①当∠COD在∠BOC的内部时，∵∠COD=∠BOC−∠BOD，而∠BOC=40°∴∠COD=40°−∠BOD∵∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°,∠EOD=90°∴∠AOE=90°−∠BOD，又∵∠COD=1∴40°−∠BOD=1∴∠BOD=15