基本计数原理（课件）高二数学（北师大版2019选择性）

问题:重庆的王先生想到西昌现场观看嫦娥一号卫星的发射，从重庆到西昌可以乘坐火车或者汽车，一天中，火车有３班，汽车有２班，问从重庆到西昌共有多少种不同的走法?分类加法计数原理

问题1:重庆的王先生想到西昌现场观看嫦娥一号卫星的发射，从重庆到西昌可以乘坐火车或者汽车，一天中，火车有３班，汽车有２班，问从重庆到西昌共有多少种不同的走法．重庆西昌火车1火车2火车3汽车1汽车2分析:从重庆到西昌有2类方法,Ⅰ.乘火车，3种方法;

Ⅱ.乘汽车，2种方法;所以从重庆到西昌共有3+2=5

种不同方法。如果重庆到西昌，除了３班火车２班汽车外还有２班飞机，那么王先生有多少种不同的走法呢？

如果完成一件事情有n类不同的办法，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？[探究]:

［延伸］：共有：

3+2+2=7种分类计数原理

一般地,若完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．（又叫：加法原理）完成一件事分类不重复、不遗漏甲1.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一天中，火车有3班，汽车有2班。那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？乙火车2火车1火车3汽车1汽车23+2=5（种）巩固提升2.在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到,A,B,C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体情况如下:A大学B大学生物学化学医学物理学工程学数学会计学信息技术学法学如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择呢?C大学机械制造建筑学广告学汉语言文学韩语N=5+4+5=14(种)

问题2:

在重庆工作的小李欲回广州老家过年，受雪灾影响重庆到广州的火车全部停运．于是他决定先乘火车到柳州，然后第二天再乘汽车到广州．一天中，火车有３班，汽车有２班，问小李一共有多少种走法？分布乘法计数原理

问题2:

在重庆读书的小李欲回老家广州过年，受雪灾影响重庆到广州的火车全部停运．于是他决定先乘火车到柳州，然后第二天再乘汽车到广州．一天中，火车有３班，汽车有２班，问小李一共有多少种走法？第二步,由柳州去广州有2种方法；

分析:

第一步,由重庆去柳州有3种方法,所以从重庆经柳州到广州共有3×2=6

种不同的方法。汽车1汽车2柳州重庆广州火车1火车3火车2不同的走法:火车1汽车1火车1汽车2火车2汽车1火车2汽车2火车3汽车1火车3汽车2[探究]

：如果完成一件事情需要n步，每一步都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？[延伸]：如果小李回家的时候需要转一次车后再乘飞机（如图），则共有多少种不同的走法？汽车2汽车1火车3火车2火车1飞机1飞机2重庆广州A地B地共有：3×2×2=12种春节到了，某同学要与父母一起参加家庭聚会.（1）她有3件不同的上衣，4条不同的裤子，如果把1件上衣和1条裤子看作一种搭配方法，那么共有多少种搭配方法？（2）她还有5双不同的鞋子，如果把1件上衣、1条裤子和1双鞋子看作一种搭配方法，那么共有多少种搭配方法？分析

（1）我们先看裤子的选择方法数，有4条不同的裤子，则有4种选择方法；每一条裤子对应3件不同的上衣，如图.因此，根据分类加法计数原理，共有N＝3+3+3+3＝3x4=12种搭配方法.（2）由题意知还有5双不同的鞋子，且每一双鞋子对应的裤子和上衣的搭配方法有12种，如图.因此，根据分类加法计数原理，共有

＝12+12+12+12+12＝12x5=3x4x5=60种搭配方法.

分步计数原理

完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有

2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数.1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,又称乘法原理说明N=m1×m2×…×mn种不同的方法（又叫：乘法原理）两个计数原理的比较原理名称分类原理（加法原理）分步原理（乘法原理）联系区别一判断依据特点完成某件事情有多少种不同的方法要分类完成要分步完成每类方法都是相互独立每步方法都是相互依存分类要彻底分步要清晰深化巩固1.节目主持候选人中有４名男同学，８名女同学，

问题：（１）

若从中任选一人主持节目，共有几种不同的选法？

（２）

若从中任选一个男同学和一个女同学共同主持节目，共有几种不同的选法？分析（1）节目主持候选人中有４名男同学，８名女同学，若从中选一人主持节目,不管选择男还是选择女，它们都可以独立地完成。因此是分类，一类是男同学，一类是女同学。第一类：任选1男有4种选法；第二类：任选2女有8种选法，

共8+4=12种

（2）节目主持候选人中有４名男同学，８名女同学，若从中选一个男同学和一个女同学共同主持节目，任选1人都不能直接完成，因此是分步，第一步选1个男同学，第二步选1个女同学。

第一步：任选1男有4种选法；第二步：任选1女有8种选法，

共8×4=32种2.书架上层有不同的数学书5本，中层有不同的语文书8本，下层有不同的物理书7本.现要从书架的两层上任意地各取一本，问有多少取法？

再分两步:分别有8种和7种不同的可能分析：考虑分类能否完成任务,分步能否完成任务.要完成任务,先分类再分步首先分3类:上层和中层,上层和下层,中层和下层,再分两步:分别有5种和8种不同的可能再分两步:分别有5种和7种不同的可能基本计数原理的简单应用例1

在1，2，3，…，200中，能够被5整除的数共有多少个？解

能够被5整除的数，末位数字是0或5，因此，我们把1，2，3，…，200中能够被5整除的数分成2类来计数：第1类，末位数字是0的数，共有20个；第2类，末位数字是5的数，共有20个.根据分类加法计数原理，在1，2，3，…，200中，能够被5整除的数共有

＝20+20＝40个.

解先考虑李明从A村经过B村到C村：从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，因此李明从A村经过B村到C村可以分成3类，每一类都有2种不同的方法，共有2+2+2＝2×3＝6条线路可以选择.再考虑从C村到D村，有3条道路可以选择，因此可以认为有3类，共有6+6+6＝6×3＝18条线路可以选择.因此，整个行程可以理解为共有N＝2×3×3＝18条线路可以选择.例4、书架上第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育杂志.(2)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同取法?N＝4＋3+2＝9N＝4×3×2＝24(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?例5、新蔡县的部分电话号码是05798415××××,后面每个数字来自0～9这10个数,问可以产生多少个不同的电话号码?变式:

若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同的电话号码?0579841510101010×××=104分析:分析:=504010987×××例6:(1)5封信投入到3个邮箱里，有多少种不同的方法？（2）若3封信投入到5个邮箱里，有多少种不同的方法？解：5×5×5=53解：3×3×3×3×3=35

变式.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？

解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成这一事件故报名方法种数为4×4×4×4×4=种.（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种故有n=5×５×５×５=种.例7、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？染色问题:解:

按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,

第一步,m1=3种,

第二步,m2=2种,

第三步,m3=1种,

第四步,m4=1种,所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案种数共有N=3×2×1×1=6种。

思考、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？

若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢？

答:它们的涂色方案种数分别是0、4×3×2×2=48、5×4×3×3=180种等。思考：？同学们，今天我们学了哪些知识呢一、两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理二、两种思想类比的思想从特殊到一般的思想