《高职应用数学》教案 第39课 二阶常系数线性微分方程

第39课二阶常系数线性微分方程课题二阶常系数线性微分方程课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：1．掌握二阶线性微分方程、二阶常系数线性微分方程、二阶常系数齐次线性微分方程的概念2．理解二阶常系数齐次线性微分方程通解的结构定理，及其解法3．理解二阶常系数非齐次线性微分方程的通解结构定理，及其解法思政育人目标：通过学习二阶常系数线性微分方程的相关知识，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重点：二阶常系数线性微分方程的解法教学难点：二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的求法教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第一节课：课前任务→考勤（2min）→复习（10min）→讲授新课（33min）第二节课：讲授新课（22min）→课堂测验（10min）→课堂指导（10min）→课堂小结（3min）→课后拓展教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课课前任务【教师】和学生负责人取得联系，布置课前任务，提醒同学做完作业，在上课前交齐【学生】做完作业，在上课前交齐【教师】通过文旌课堂APP或其他学习软件，布置课前问答题：（1）什么是二阶线性微分方程？（2）什么是二阶常系数线性微分方程？（3）什么是二阶常系数齐次线性微分方程？【学生】查找资料，预习教材通过课前的预热，让学生了解所学科目的大概方向，激发学生的学习欲望考勤（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况复习（10min）【教师】提前设计好复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解【学生】做复习题目复习所学内容，为讲授新课打好基础讲授新课（33min）【教师】讲解二阶线性微分方程、二阶常系数线性微分方程、二阶常系数齐次线性微分方程的概念在自然科学及工程问题中，遇到的高阶方程很多都是线性方程，或者可以简化为线性方程．形如的二阶微分方程，称为二阶线性微分方程．其中，及都是自变量的已知函数．当为常数时，方程称为二阶常系数线性微分方程，称为自由项．当时，方程称为二阶常系数齐次线性微分方程．当时，对应的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程．【教师】讲解二阶常系数齐次线性微分方程通解的结构定理，及其解法，并通过例题介绍其应用定理1（二阶常系数齐次线性微分方程通解的结构定理）若是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的特解，即，则方程的通解为．下面我们研究二阶常系数齐次线性微分方程的解法．根据求导的经验，我们知道指数函数的一、二阶导数仍是同类型的指数函数，若选取适当的常数，则有可能使满足方程．因此猜想方程的解为．将它代入方程并整理可得．由于，因此必有．（7-5）由此可知，当r是一元二次方程（7-5）的根时，就是方程的一个解．我们称方程（7-5）是微分方程的特征方程，它的根称为微分方程的特征根．由于特征方程（7-5）是一元二次方程，它的根为，因此特征根就有3种不同的情况，分别讨论如下：（1）当时，是两个不相等的实根；（2）当时，是两个相等的实根；（3）当时，是一对共轭虚根．下面根据特征根的3种不同情况，分别讨论方程的通解．1．，是两个不相等的实根若是两个不相等的实根，则方程的两个特解是，且．因此，方程的通解为．2．，是两个相等的实根若是两个相等的实根，则，得到方程的一个特解为．为了求通解，还需求另一个与线性无关的解．设，其中，将其代入方程整理得．因为，是方程（7-5）的重根，于是有，所以可得．对上式积分两次，得．因为只需找出一个与线性无关的特解，也就是找出一个不为常数的即可，所以可令，取，由此得到方程的另一个解．因此，方程的通解为．3．，是一对共轭虚根若是一对共轭虚根，设．这时，，是方程的两个复数解．由于它们使用起来不方便，因此可根据欧拉公式，将改写为，．取方程的两个特解，即，，且，则方程的通解为．综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程通解的步骤如下：（1）写出特征方程；（2）求出特征根；（3）由特征根的情况写出其通解．例1求微分方程的通解．例1解所给微分方程的特征方程为，特征根为．因为，所以原微分方程的通解为．（例2、例3详见教材）【学生】掌握二阶线性微分方程、二阶常系数线性微分方程、二阶常系数齐次线性微分方程的概念，理解二阶常系数齐次线性微分方程通解的结构定理，掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法学习二阶线性微分方程、二阶常系数线性微分方程、二阶常系数齐次线性微分方程的概念，以及二阶常系数齐次线性微分方程通解的结构定理，及其解法。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化第二节课讲授新课（22min）【教师】讲解二阶常系数非齐次线性微分方程的通解结构定理，及其解法，并通过例题介绍其应用1．二阶常系数非齐次线性微分方程的通解结构定理2若是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，是其对应的齐次线性微分方程的通解，则就是方程的通解．定理2表明：求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，只要求得相应的齐次线性方程的通解，再求出非齐次线性方程的一个特解即可．2．二阶常系数非齐次线性微分方程的解法下面只介绍当取两种常见形式时求特解的方法．1）型设方程的右端，其中是常数，是一个已知的的次多项式，则．（7-6）不难想象，方程（7-6）的特解的形式仍然是多项式与指数函数的乘积．因此，我们假设是方程（7-6）的特解，其中是与同次的多项式，其各项系数待定，k的取值如下：因此，求的步骤是：首先依据条件设出，然后将代入方程（7-6）确定中的个待定系数．这种求的方法称为待定系数法．例4求微分方程的一个特解．例4解所给微分方程的特征方程为，其特征根为．因为是方程的特征单根，所以设原微分方程的特解为，于是有．将，和代入原微分方程得，即，解得．因此，原微分方程的一个特解为．例5求微分方程的一个特解．例5解所给微分方程的特征方程为，其特征根为．因为不是特征方程的根，所以设原微分方程的特解为，于是有．将，和代入原微分方程得，即．比较等式两边的同次幂系数，得．因此，原微分方程的特解为．2）型若方程的右端

，其中为实数，则有．（7-7）可以证明，方程（7-7）的特解为．其中，和是待定常数，是整数，其取值如下：例6求微分方程的通解．例6解该方程的特征方程为，其特征根为，故原微分方程对应的齐次方程的通解为．因为不是特征方程的根，所以设方程的特解为．于是有．将，和代入原微分方程得，合并同类项得

，即，比较系数可得解得．于是原微分方程的特解为．因此，原微分方程的通解为．【学生】理解二阶常系数非齐次线性微分方程的通解结构定理，掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法学习二阶常系数非齐次线性微分方程的通解结构定理，及其解法。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10min）☞教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生加入测试。【教师】从教材配套题库中选择几道题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂指导（10min）☞选出优秀学生带动、指导其他同学掌握知识点【教师】公布题目的正确答案，让答题快且正确的同学上台解答，为同学们做示范。如果题目比较难，无人答对则老师示范【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧以学生为主体，针对学生接受能力的差异性，让优秀学生带动其他学生掌握知识点课堂小结（3min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家掌握了二阶线性微分方程、二阶常系数线性微分方程、二阶常系数齐次线性微分方程的概念，理解了二阶常系数齐次线性微分方程和二阶常系数非齐次线性微分方程通解的结构定理，并掌握了其解法，课后要多加练习，巩固认知【学生】总结回顾知识点【教师】布置课后作业：习题7-3总结知识点，巩固印象课后拓展【教师】在文旌课堂APP或其