坐标表示的焦半径公式

坐标表达的焦半径公式椭圆（一类）PF1=rr1同理，P能够假想点P在y轴右边，r1>r公式常见应用：椭圆上点到焦点最远距离a+c,近来距离a-c椭圆上三点Ax1,y1,Bx2,y2定义直线x=∓a2由焦半径公式，椭圆上任意一点P(x,y)到对应焦点和对应准线的距离之比r1d2.双曲线x2aPF1=r1r1=由双曲线上点x≥a若点P在右支上，r1=ex+a.同理，r2若点P在左支上，r1=ex-a.同理，r2公示的应用：（1）若双曲线上同一支上的三点Ax1,y1,Bx2,y（2）定义直线x=∓a2由焦半径公式，双曲线上任意一点P(x,y)到对应焦点和对应准线的距离之比r1d1=r3.抛物线y2MF=r=x+公式的应用：抛物线上三点Ax1,y1,Bx若x1+x圆锥曲线统一定义及方向角表达的焦半径公式统一定义：平面上到定点F与定直线l距离之比等于常数e的点轨迹。若0<e<1,轨迹为椭圆。若e=1，则轨迹为抛物线。若e>1，则轨迹为双曲线。2.方向角焦半径公式（1）方向角定义如图：将Fx当始边，FM当终边所成角定义为点M的方向角。方向角θ范畴0,2π将焦准距离统一表达为P。对于椭圆，双曲线P=b（2）公式：r=eP1-ecosθ（3）公式的应用：焦点弦长公式MN=rM+rN=阐明：（1）焦点弦长公式中，方向角θ以平方形式出现，不影响计算，可将方向角改为焦点弦和对称轴夹角：θϵ（（2）有对称性θ改为夹角，公式对椭圆，双曲线的左右焦点弦都成立。（3）对于双曲线当1-e若θ较小，使1-e2cos（4）对于抛物线y2=2Px，∵e=1,MN=（5）通径：垂直对称轴的焦点弦称通径，在MN=2P1-对于椭圆，双曲线:2eP=2b（6）以上结论容易推广到二类圆锥曲线，例如x2=Ky焦点弦与对称轴夹角则有MN=三．相交弦长公式将直线y=Kx+d代入椭圆bb2存在相交弦A在b2x1-在具体问题，只要已知直线斜率和求得的代入后方程可直接写出相交弦长体现式，完全能够略去中间过程。上面的观点对于双曲线，抛物线和直线产生的相交弦长也完全用类似的办法推导。只是对于双曲线，直线不能与渐近线平行；对于抛物线，直线不能与对称轴平行。焦点三角形问题对于椭圆和双曲线存在焦点三角形对于焦点三角形问题，应注意两条：一是用定义：椭圆：r1+r二是用正余弦定理：举例：已知椭圆x2a2（即∠F1PF解：由余弦定理：4=4a2又S阐明：上面这个例子完全合用双曲线中的焦点三角形。请你推导右面双曲线的图，若∠F1PF其它有关知识点：椭圆中的基本Rt∆OBF:BF=a,BO=b,FO=c.令∠BFO=θ,则cos能够通过三角函数对椭圆中的a,b,c,e进行互相转换。例如：由e=32双曲线中的基本矩形：x2a2-x=±a,y=±b,四条直线构成一种矩形，称作是这两条双曲线的基本矩形（如图）：基本矩形的对角线定是这两条双曲线的渐近线。基本矩形中Rt∆OAD是x2a2OA=a,AD=b,OD=c.令∠DOA=θ,则θ就是其一条渐近线的倾斜角。设斜率K，则tan能够运用三角函数在双曲线的a,b,c,e,K之间进行过渡。对于x2a2-y2b2=-1，则Rt∆OBDθ与θ*互余，在共轭双曲线之间e与e双曲线x2am>0为一类双曲线，m<0为二类双曲线，不管一类，二类，令m=0得到的两条直线定为双曲线的渐近线，具体运作时，移项，开方：x2a例：已知双曲线以坐标轴为对称轴，一条渐近线的方程为y=-34x由y=-34得9x有关抛物线的知识点：（1）四类抛物线：y2=±2Px,x焦点K4（2）焦点弦端点坐标公式如图，Ax1,y1,Bx2,x1∙x2y1y练习题：由焦点弦的一种端点B做准线x=-P2垂足E。证明：A,O,E三点共线。EBx上面的性质能够推广到其它类型的抛物线。yx=-（3）抛物线上两点连线斜率公式对于一类抛物线y2=Kx有关圆锥曲线的切线椭圆若点Px1,y同一法证明：由x12a2+y12b（1）+（2）－2（3）：即x1椭圆切线的普通表达点Pacosθ,bxcos练习题：求椭圆x2设椭圆切线xcosθK=-34切点弦直线点Px0,y0为椭圆两条切线PA，PB，切点A,B。直线AB称为切点弦直线。容易证明点Px0,y0设切点Ax切线PA:x1xa2切线PB:x2xa2由（1），（2），直线x0xa双曲线（1）若点Px1,y1（2）若点Px0,3.抛物线（1）若点Px1,y1为抛物线y2=2Px完全类似于椭圆时情形，用同一办法进行证明。若抛物线方程为y2=Kx，其上一点Px若抛物线方程为x2=Ky，其上一点P（2）若点Px0,y0为抛物线y练习题：（08山东理）yM为y=-2P上任意一点，MA,MB为x2求证：A,M,B三点横坐标成等差。证明：设Ax1x1x=Py1若这两条直线是由点Mx0x1x0x0x=Py-2P过点Ax1x0x=Py-2PMx0,-2P圆若点Px1,y1若点Px1,x1若点Px0,x0x+y练习题：由P（3,4）向圆x2+y解：由P（3,4）向圆x2+方程x224+λ∙24=0，λ=-1，外接圆方程为2.（09山东）圆x2+y2=t2解：设x1,y1为圆取y=t2y1-得x1再将切线x0x+y0y=t2由OA⊥OB知x15.有关切点弦直线的统一结论：在准线上任一点的切点弦直线必过对应的焦点。椭圆x2a2+y2b2=1对于双曲线，抛物线同样证明。抛物线y2能够直接证明：设过点M(-P2,y0)的直线y-y0=Kx+P2代入间接证明：先证切点弦直线必过焦点，再由焦点弦端点坐标公式，证明所引的两条切线必然垂直。y有关圆锥曲线焦点弦一种有关角度的结论：如图，AB为圆锥曲线任意一条焦点弦，点ECB为准线和对称轴焦点（亦称准点），则定有∠AEF=∠BEF。证明：设点C,D为点B,A在准线上的射影，由圆锥EFx曲线统一定义：BFBC=AFAD由BC∥EF∥AD即∆BCE~∆ADE,知∠BEF=∠AEF练习题：椭圆x2求证：AB与CD交于定点。y证明：运