垂径定理与圆心角

9.垂径定理与圆心角垂径定理知识点梳理【知识点一】垂径定理1.圆的轴对称：圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是它的对称轴。2.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。3.弧的中点：分一条弦成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点。4.弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。【知识点二】垂径定理的逆定理1.定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。2.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。典例分析【题型一】运用垂径定理进行计算【例1】如图,在⊙O中,AB,AC为互相垂直且相等的两条弦,OD丄AB,0E丄AC,垂足分别为D,E.若AC=AB=2cm,求⊙O的半径.【变式1】如图⊙O的直径AB=16cm,P是0B的中点,∠APD=30°,求CD的长.【题型二】在直角坐标系中运用垂径定理求点的坐标【例1】如图,以点P为圆心的圆弧与x轴交于A,B两点,点P的坐标为(4,2),点A的坐标为(2,0),则点B的坐标为_______【变式1】如图在平面直角坐标系中，点O为坐标原点,点P在第一象限，⊙P与x轴交于O,A两点,点A的坐标为(6,0),⊙P的半径为,则点P的坐标为_________【题型三】应用垂径定理等分弧【例1】如图为一自行车内胎的一部分，如何运用所学知识将它平均分给四个小朋友做玩具？【变式1】小云出黑板报时碰到了一种难题,在版面设计过程中需要将一种半圆面三等分.如图,请帮她设计一种合理的等分方案,规定尺规作图,保存作图痕迹。【题型四】垂径定理的实际应用【例1】某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图,污水水面宽度为60cm,水面至管道顶部距离为10cm,问:修理人员应准备内径多大的管道?【变式1】如图是一条水平铺设的直径为2m的通水管道横截面,其水面宽1.6m,则这条管道中此时最深为__________m【题型五】运用垂径定理求最值【例1】如图3-3-15,⊙O的半径为5,弦AB的长为8,M是弦価上的一种动点,则线段0M长的最小值为().A.2B.3C.4D.5【变式1】如图,在⊙O中,AB是⊙O的直径,=8cm,==,M是AB上一动点,CM十DM的最小值为______cm【题型六】与垂径定理有关的分类讨论问题【例1】已知点A,B,C都在⊙O上,且AB=AC,圆心O到BC的距离为6cm,圆的半径为l4cm,求AB的长.【变式1】已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦,AB=8cm,且AB丄CD,垂足为点M,则AC的长为().A.cmB.cmC.cm或cmD.cm或cm【变式2】已知,⊙O的半径是5,AB,CD为⊙O的两条弦,且AB∥CD,AB=6,CD=8,求AB,CD间的距离。【题型六】与圆的性质有关的定值问题【例1】已知⊙O的直径AB=15cm,有一条长为9cm的动弦CD在弧AMB上滑动(点C与点A,点D与点B均不重叠),且EC丄CD与AB交E点,FD丄CD与AB交子点F.（1）求证:AE=BF（2）在动弦CD滑动的过程中,四边形CDFE的面积与否为定值?若是,请给出证明,并求出这个定值；若不是,请阐明理由【变式1】如图,AB是半径为R的平圆O的直径,四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中C,D,E在AB上,F,N在半圆上。求证:两个正方形的面积之和为一定值.圆心角知识点梳理【知识点一】圆心角定理1.圆的中心对称性：圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心2.圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角3.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。【知识点二】圆心角与它所对弧的度数关系1.1o圆心角所对的弧叫做1o的弧，no圆心角所对的弧叫做no的弧2.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。【知识点三】圆心角、弧、弦、弦心距的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其它各对量都相等典例分析【题型一】运用圆心角的关系阐明弧的关系【例1】如图,在⊙O中,D,E分别是半径OA,OB上的点,且AD=BE,C为上的一点,且CD=CE,那么=吗?为什么?【变式1】如图,在⊙O中,AB为直径，CO⊥AB，D为CO的中点，DE∥AB，求证：【题型二】运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系进行证明【例1】如图,⊙O的弦AB,CD相交于点P,P0平分∠APD.求证:AB=CD【变式1】小林根据在一种圆中圆心角、弦、弧三个量之间的关系认为在图中，若∠AOB=2∠COD，则，AB=2CD，你同意吗？阐明理由。【题型三】与圆心角有关的实际问题【例1】已知来庄、李庄分别位于直径为300m的半圆弧上的三等分点的位置,现在要在河(半圆弧所在圆的直径所在的直线)修建水泵站，分别向两个村庄供水，求最少需要多少米水管。【变式1】某村想在村口建如图形状的门,已知的度数为120°,立柱AC高2m.若要使高3m，宽2m的集装箱货车能通过该门.问：的半径应不不大于于多少？【题型四】弧、弦之间的关系与垂径定理的综合应用【例1】如图，已知AB为⊙O的弦，从圆上任一