专题17圆锥曲线的几何性质（教师版）

专题17圆锥曲线的几何性质圆锥曲线在高考中命题趋势近年来变化比较多，在试卷中有位置往前的趋势，突出对基本概念、基本方法、基本性质的考查，考查方式灵活，侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆离心率及双曲线离心率、渐近线、焦点三角形；三是求抛物线的性质及其应用。本专题主要研究三个方面内容：一是圆锥曲线的离心率；二是研究圆锥曲线的焦点三角形；三是研究双曲线的渐近线。圆锥曲线在高考中命题趋势近年来变化比较多，在试卷中有位置往前的趋势，突出对基本概念、基本方法、基本性质的考查，考查方式灵活，侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆离心率及双曲线离心率、渐近线、焦点三角形；三是求抛物线的性质及其应用。本专题主要研究三个方面内容：一是圆锥曲线的离心率；二是研究圆锥曲线的焦点三角形；三是研究双曲线的渐近线。通过本专题学习，可以进一步理解圆锥曲线的几何性质，提高求解圆锥曲线的离心率、焦点三角形、双曲线的渐近线问题水平，形成解题策略。——江苏省清江中学高级教师崔绪春探究1：圆锥曲线的离心率【典例剖析】例1.(2022·浙江卷)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过F且斜率为b4a选题意图:选题意图:高考对双曲线的考查以基础知识为主,重点考查双曲线的几何性质、方程思想及运算能力.在强调基本概念、基本方法的同时，注重对能力的考查，强调问题本质与数学思维.思维引导：联立直线AB和渐近线可求出点B,再根据|FB|=3|FA|求得点A【解析】由题意得AB:y=b4ax+c，渐近线方程OB:y=bax，联立方程y=b4ax+cy=bax解得：x=c3y=bc3a，所以Bc3,bc3a，

因为FB【变式训练】练11(2022·江苏省四校联考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)与双曲线C2：x2a22-y2bA.3-1

B.2

C.3+1

【解析】∵多边形ABF2CDF1为正六边形，∴∠BOF2=60°，∴b2a2=tan60°=3，

∴双曲线C2的离心率e2=1+(b2a2)2=1+3=2练12(2022·湖北省高三9月起点考·多选)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，点A.椭圆C的离心率的取值范围是(0,22)

B.当椭圆C的离心率为32时，QF1的取值范围是[2-3,2+3【解析】由题意得a=2，又点P(2,1)在椭圆C外，则24+1b2>1即椭圆C的离心率的取值范围是22,1，故当e=32时，c=3，b=1，所以QF1的取值范围是a-c,a+c，即[2-3,2+3]，故B正确；

设椭圆的上定点为A(0,b)，F1(-c,0),F2(c,0)，由于AF1·AF2故选：BCD.【规律方法】求曲线离心率规律总结：1.利用曲线定义,求曲线离心率.2.利用三角形相似,求曲线离心率.对称,求曲线离心率.4.构造直角三角形,求曲线离心率.求解圆锥曲线的离心率,关键在于根据题意,画出相应图形,认真分析图形特征,运用所学的基础知识和基本技巧,关注基本量a、探究2：焦点三角形【典例剖析】例2.(2022·湖北省联考)已知F1，F2是椭圆C:x24+y23=1的左右焦点，左顶点为A，过点F1的直线交椭圆CA.74 B.52 C.8选题意图选题意图：湖北省联考题,本题考查椭圆的焦点三角形,利用余弦定理解三角形,考查数形结合思想.将椭圆、解三角形、平面几何等相关知识融合在一起，让学生形成一个整体法认知结构.思维引导：由椭圆的定义可得AF1=1，F1F2=2，利用平面几何的性质得MF1=2NF1【解析】连接NF2，如图所示：由题意可知AF1=1，F1F2=2，因为AN//MF2，所以MF1NF1=F1F2AF1=2，

令MF2=2m，【变式训练】练21(2022·广东省联考)已知M(x0,y0)是椭圆C:x23+y2=1上的一点，A.(-62,62)【解析】椭圆C：x23+y2=1的焦点为F1(-2,0)，F2(2,0)，

MF1=(-2练22(2022·山东省潍坊市模拟)已知F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点.A.双曲线的离心率为3

B.双曲线的渐近线方程为y=±2x

C.∠PAF2【解析】因为PF1=2PF2，|PF1|-|PF2|=2a，所以PF1=4a，PF2=2a．

又2c>2a，4a>2a，所以∠PF1F2=30∘，所以cos∠PF1F2=16a2+4c2-4a22⋅4a⋅2c=32，所以c2-23ac+3a2=0，

所以e2-23e+3=0，解得e=3，【规律方法】1.椭圆的焦点三角形：椭圆上任意一点P与两焦点F1、F2构成的三角形:秒杀题型一：=1\*GB3①周长为定值：2(a+c)。=2\*GB3②∠F1PF2=θ，当点当点P靠近长轴端点时θ减小；与短轴端点重合时θ最大。（2）秒杀题型二：S△Smax=bc（3）秒杀题型三：=1\*GB3①当△F1PF2底角为90°，△F=2\*GB3②当θ=π2时，△F1PF2个数：b>c0<e<2.双曲线的焦点三角形：（1）焦点直角三角形的个数：一定为八个，顶角为直角与底角为直角的各为四个；（2）S△F1PF3.焦点三角形属于圆锥曲线中的重点内容，主要考查利用几何思想解题的基本方法，考查了建立方程、函数、不等式的基本数学思想，体现了理性思维、数学探索等科学素养.探究3：渐近线【典例剖析】例3.(2022·青海省西宁市一模)如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合，该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)A.y23-x2=1选题意图选题意图：青海省一模试题，以实际生活中的建筑物为载体，考查运用双曲线的几何性质求其标准方程.渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养，利用数形结合思想解题.思维引导：求出双曲线的下焦点坐标和渐近线方程,再根据下焦点到渐近线的距离为3,离心率为2,求得a2,b2【解析】双曲线的下焦点坐标为(0,-c)，渐近线方程为y=±abx，即ax±by=0，

则下焦点到渐近线的距离为bca2+b2=bcc【变式训练】练31(2022·全国甲卷文科)记双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y=2x与【解析】因为双曲线C的渐近线方程为y=±bax，要使直线y=2x与C无公共点，则只需要2≥ba即可，

由ba≤2得c2-a练32(2022·湖北省鄂东南三校联考)过抛物线C:y2=2px(p >0)的焦点F的直线l，交抛物线C的准线于点A，与抛物线C的一个交点为B，且AB=kBF(k≥3)，若l与双曲线【解析】如图，∵k≥3，且AB=kBF，∴|AB|≥3|BF|，

要使|AB|≥3|BF|，则B应在离A点较近的一端，过B作准线的垂线，垂足为C，

∵|AB|≥3|BF|，|BF|=|BC|，∴|AB|≥3|BC|，

在△ABC中，sinA=BC|AB|，∴sinA≤33，∴0<A<45∘，45∘<B<90∘【规律方法】1.题型一：由双曲线的方程求渐近线秒杀思路：=1\*GB3①已知双曲线方程求渐近线方程:mx2-ny=2\*GB3②若焦点在x轴上，渐近线为y=±bax；若焦点在y轴上，渐近线为y=±a题型二：有共同渐近线的双曲线方程的设法秒杀思路：x2题型三：已知渐近线方程设双曲线方程秒杀思路：ax±by=0⟹ax题型四：双曲线的焦点到渐近线的距离：b秒杀公式：焦点到渐近线的距离与顶点到渐近线的距离之比等于双曲线的离心率。2.渐近线属于双曲线中重要的几何性质，主要考查利用几何思想解题的基本方法，考查了建立方程、函数、不等式的基本数学思想，体现了理性思维、数学探索等科学素养.探究4：抛物线的几何性质【典例剖析】例4.(2022·新高考2卷·多选)已知O为坐标原点，过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM|，则(

)A.直线AB的斜率为26 B.|OB|=|OF|

C.|AB|>4|OF| D.选题意图选题意图：高考真题,本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的几何性质，向量的数量积,综合性较强.要求学生在复杂的直线与抛物线的位置关系中，能抓住问题的本质，发现解决问题的关键，选择合理的方法.思维引导：由|AF|=|AM|及抛物线方程可求A点坐标,再由斜率公式即可判断A选项;表示出直线AB的方程,联立抛物线可求得B点坐标,即可求出|OB|判断B选项;由抛物线的定义求出|AB|,即可判断C选项;【解析】选项A:设FM中点为N，则xA所以yA2=2pxA=2p⋅34p=所以yB2=2p⋅p3=2p23.所以|OB|=xB2+y所以OA⋅OB=(34p,62p)(p3,-63p)=p故选：ACD【变式训练】练41(2022·湖北省黄石市联考)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，P是C上位于第一象限内的一点，若C在点P处的切线与x轴交于M点，与y轴交于N点，则与|PF|相等的是(

)A.|MN| B.|FN| C.|PM| D.|ON|【解析】如图，设P(a,a22p)(a>0)，由y=x22p，得y'=xp，所以C在点P处的切线方程为y-a22p=ap(x-a)，

从而M(a2,0)，N(0,-a22p)，根据抛物线的定义，得|PF|=a2故选：B.练42(2022·湖北省联考)已知抛物线x2=12y的焦点为F，Mx1A.点F的坐标为18,0B.若直线MN过点F，则x1x2=-116

C.若MF=λNF，则MN的最小值为12【解析】抛物线x2=12y的焦点为F(0,18)，所以A不正确；

根据抛物线的性质可得：MN过F时，则x1x2=-116，所以B正确；

若