《数值计算方法》课程教学大纲

《数值计算方法》课程教学大纲.第一篇：《数值计算方法》课程教学大纲.《数值计算方法》课程教学大纲课程名称：数值计算方法/MathodsofNumericalCalculation课程代码：0806004066开课学期：4学时/学分：56学时/3.5学分（课内教学40学时，实验上机16学时，课外0学时）先修课程：《高等代数》、《数学分析》、《常微分方程》、《C语言程序设计》适用专业：信息与计算科学开课院（系）：数学与计算机科学学院一、课程的性质与任务数值计算方法是数学与应用数学专业的核心课程之一。它是对一个数学问题通过计算机实现数值运算得到数值解答的方法及其理论的一门学科。本课程的任务是架设数学理论与计算机程序设计之间的桥梁，建立解决数学问题的有效算法，讨论其收敛性和数值稳定性并寻找误差估计式，培养学生数值计算的能力。二、课程的教学内容、基本要求及学时分配（一）误差分析2学时了解数值计算方法的主要研究内容。2理解误差的概念和误差的分析方法。熟悉在数值计算中应遵循的一些基本原则。重点：数值计算中应遵循的基本原则。难点：数值算法的稳定性。（二）非线性方程组的求根8学时理解方程求根的逐步搜索法的含义和思路掌握方程求根的二分法、迭代法、牛顿法及简化牛顿法、非线性方程组求根的牛顿法3熟悉各种求根方法的算法步骤，并能编程上机调试和运行或能利用数学软件求非线性方程的近似根。重点：迭代方法的收敛性、牛顿迭代方法。难点：迭代方法收敛的阶。（三）线性方程组的解法10学时熟练掌握高斯消去法熟练地实现矩阵的三角分解：Doolittle法、Crout法、Cholesky法、LDR方法。3掌握线性方程组的直接解法：Doolittle法、Crout法、Cholesky法（平方根法）、改进平方根法、追赶法。4能熟练地求向量和矩阵的1-范数、2-范数、-范数和条件数。5理解迭代法的基本思想，掌握迭代收敛的基本定理。掌握解线性方程组的雅可比（Jacobi）迭代法、高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法、逐次超松驰（SOR）迭代法。7能写出线性方程组的各种直接解法和间接解法的算法，并能编程上机运行或能利用数学软件求解线性方程组。重点：矩阵的三角分解。难点：线性方程组迭代解法的收敛问题。（四）插值法6学时1.了解插值的一般概念和多项式插值的存在唯一性。2.熟练掌握Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值、分段低次插值及三次样条插值的求解。3.熟悉曲线拟合的最小二乘法，能熟练地求矛盾方程组的最小二乘解。4.能对Lagrange插值、Newton插值、Neville插值、Hermite插值、三次样条插值、线拟合的最小二乘法等编程上机调试和运行或借助数学软件求插值函数和曲线拟合。重点：Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值。难点：三次样条插值的求解。（五）最佳逼近多项式的一般理论5学时了解最佳逼近的基本问题。掌握C[a,b]空间中最佳逼近的唯一性问题。3了解切贝绍夫定理与Vallee-Poussin定理。（六）数值微分与数值积分5学时了解数值积分的基本思想，能够熟练地确定具体求积公式的代数精度及确定求积公式的节点和系数。熟练地用Newton-cotes公式，Romberg公式，两点、三点Gauss公式等进行数值积分重点：确定具体求积公式的代数精度及确定求积公式的节点和系数。难点：用待定系数法确定Gauss型求积公式的节点和系数。（七）常微分方程的数值解4学时理解常微分方程的数值解的含义掌握常微分方程的欧拉解法、R—K方法、亚当姆斯方法，理解其算法思想。重点：基于数值积分的方法。难点：R—K方法。三、推荐教材及参考书推荐教材：1、张韵华等编著，数值计算方法与算法，科学出版社，2001。2、冯天祥编著，数值计算方法，四川科技出版社，2003。参考书：1、冯天祥编著，数值计算方法理论与实践研究，西南交通大学出版社，２００５。2、李庆扬等著，数值分析，华中理工大学出版社，2000。3、林成森著，数值计算方法，科学出版社出版，1999。4、李庆扬等著，现代数值分析，高等教育出版社，1998。5封建湖等，计算方法典型题分析解集，西北工业大学出版社，1999。四、结合近几年的教学改革与研究，对教学大纲进行的新调整增加了最佳逼近多项式的一般理论。大纲制订者：冯玉明大纲审定者：陈小春制订日期：2008-11-15第二篇：数值计算方法教学大纲《数值计算方法》课程教学大纲课程编码：0405034课程性质：专业选修课学时：52学分：3适用专业：数学与应用数学一、课程性质、目的和要求本课程为数学系数学与应用数学专业的专业必修课。通过本课程的学习，要求学生了解数值计算的基本概念、基本方法及其原理，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力。本课程主要介绍数值计算的基本方法以及数值计算研究中的一些较新的成果。以数学分析、线性代数、高级语言程序设计为先行课，包含解线性方程组的直接法、解线性方程组的迭代法、解非线性方程的迭代法、矩阵特征值与特征向量的计算、数据拟合、多项式插值、数值积分与数值微分等基本内容，为微分方程数值解、最优化方法、数学实验等后继课程作好准备。通过实验使学生掌握各种常用数值算法的构造原理，提高算法设计和理论分析能力，为在计算机上解决科学计算问题打好基础。二、教学内容、要点和课时安排第一章误差（4学时）教学目的：学习误差的相关概念，了解残生误差的原因，在函数中误差的传播规律，并且掌握实际运算中可以减小误差的方法。教学难点：误差的传播规律，公式的推导。第一节误差的来源第二节绝对误差、相对误差与有效数字一、绝对误差与绝对误差限二、相对误差与相对误差限三、有效数字与有效数字位数第三节数值计算中误差传播规律简析第四节数值运算中应注意的几个原则思考题：1、什么是绝对误差与绝对误差限？2、什么是相对误差与相对误差限？3、在数值计算的过程中函数的自变量的误差与函数值的误差只有什么样的关系？4、在数值计算的过程中我们应该注意那些原则来使得误差尽量的小？第二章非线性方程求根（14学时）教学目的：学习非线性方程求根的方法，主要介绍二分法、简单迭代法、牛顿迭代法与弦割法，要求掌握每一种方法的理论思想，会用学习的方法求解非线性方程的根。教学难点：分法、简单迭代法、牛顿迭代法与弦割法的计算过程的理解，记忆，尤其是迭代法收敛性的判定。第一节二分法第二节迭代法一、简单迭代法二、迭代法的几何意义三、迭代法收敛的充分条件第三节牛顿迭代法与弦割法一、牛顿迭代公式及其几何意义二、牛顿迭代法收敛的充分条件三、弦割法第四节迭代法的收敛阶与加速收敛方法思考题：1、二分法中二分次数的求法？2、迭代过程应该如何来理解？3、简单迭代法收敛性如何来判定？4、什么是收敛阶数？第三章线性代数方程组的解法（20学时）教学目的：学习求解线性代数方程组的方法，在本章知识的学习中将会学习直接求解和间接求解线性代数方程组两大类方法，包括高斯消元法、列主元消去法、三角分解法、雅可比迭代法、高斯—塞德尔迭代法。教学难点：强调每一种方法的解题思想，理解每一种方法的解题理论依据，知道各个方法使用的前提条件和解题要求；在迭代法中要重点介绍两种方法的区别，强调各个收敛判定定理的使用条件。第一节高斯消元法与选主元技巧一、三角形方程组及其解法二、高斯消元法三、列主元消元法第二节三角分解法一、矩阵的三角分解二、杜利特尔分解法三、解三对角线方程组的追赶法四、解对称正定矩阵方程组的平方根法第三节向量与矩阵的范数一、向量的范数二、矩阵的范数第四节迭代法一、雅可比迭代法二、高斯—塞德尔迭代法三、迭代法收敛的条件与误差估计四、逐次超松弛迭代法第五节方程组的状态与矩阵的条件数一、方程组的状态与矩阵的条件数二、方程组的近似解可靠性的判别三、近似解的迭代改善思考题：1、高斯消元法与列主元消元法的区别及各自的优点？2、迭代过程应该如何来理解？3、解线性代数方程组的迭代法的收敛性如何判定？4、向量与矩阵的范数都如何来求？5、什么是矩阵的条件数?第四章插值与拟合（8学时）教学目的：学习插值问题及代数多项式插值；线性插值和二次插值；n次拉格朗日插值；均差及牛顿均差型插值多项式；三次样条插值函数的概念及求法；曲线拟合的最小二乘法；超定方程组的最小二乘解；代数多项式拟合。教学难点：插值多项式的求法和理解。第一节插值概念与基础理论一、插值问题的提法二、插值多项式的存在唯一性三、插值余项第二节插值多项式的求法一、拉格朗日插值多项式二、插商与牛顿基本插值多项式三、插分与等矩结点下的牛顿公式第三节分段低次插值一、分段线性插值与分段二次插值二、三次样条插值第四节曲线拟合的最小二乘法一、最小二乘问题的提法二、最小二乘解的求法三、加权技巧的应用思考题：1、插值多项式为什么是唯一存在的？2、插商的定义？3、等矩结点下的牛顿公式是什么样的？第五章数值微分与数值积分（6学时）教学目的：牛顿-科茨数值积分公式和数值微分公式的构造过程，梯形公式和抛物线公式的产生误差的相应估计.复合梯形公式及其误差；复合抛物线公式及其误差；变步长的梯形公式。教学难点：数值微分公式和数值积分公式的构造过程，产生误差的相应估计。第一节数值微分一、利用插值多项式构造数值微分公式二、利用三次样条插值函数构造数值微分公式第二节构造数值积分公式的基本方法与有关概念一、构造数值积分公式的基本方法二、数值积分公式的余项三、数值积分公式的代数精度第三节牛顿—科茨公式一、牛顿—科茨公式二、复合低阶牛顿—科茨公式三、误差的事后估计与步长的自动调整四、变步长复合梯形法的递推算式第四节龙贝格算法思考题：1、数值微分公式的构造过程？2、数值积分公式的构造过程？3、牛顿—科茨公式的内容？三、考核方式及评价结构比例平时成绩和闭卷考试相结合。闭卷考试成绩占总成绩的70%，平时课堂练习、出勤、课后作业、课堂讨论占总成绩的30%。四、使用教材及主要参考书目教材：李有法、李晓勤，《数值计算方法》,高等教育出版社.参考书目：1．马东升，《数值计算方法》（第二版），机械工业出版社2001年6月版.2．甄西丰，《实用数值计算方法》（第一版），清华大学出版社2001年版.3．李林、金先级，《数值计算方法》，中山大学出版社2006年2月版.第三篇：《数值逼近》教学大纲《数值逼近》教学大纲（课程编号520271）（学分3.5，学时56）一、课程的性质和任务本课程是信息与计算科学专业的专业大类课。函数逼近论研究函数的各类逼近性质，是计算数学和其它科学工程计算中诸多数值方法的理论基础。本课程除了介绍几类古典的函数逼近理论和方法之外，还介绍了现代逼近理论中样条函数、曲线与曲面拟合等方面的理论与技巧。在介绍上述内容的同时，安排学生上机实习，使学生能够更深刻地理解与掌握逼近论的基本理论与方法，达到理论与实践相结合的目的。二、课程内容、基本要求Weierstrass定理与线性算子逼近掌握Weierstrass第一定理、第二定理，了解算子逼近理论。一致逼近掌握函数一致逼近理论中的Borel存在定理、最佳逼近定理，熟练掌握Tchebyshev最小零偏差多项式，了解三角多项式逼近理论和代数多项式逼近理论中的Jackson型和Bernstein型定理。多项式插值方法熟练掌握Lagrange插值公式、Newton插值公式、Hermite插值，等距节点插值与差分，插值余项估计等。平方逼近理论掌握最小二乘法、最佳平方逼近理论，空间中的直交函数系与广义Fourier级数、直交函数系的构造方法、直交多项式的一般性质，了解直交多项式级数的收敛性、几种特殊的直交多项式。数值积分掌握Newton-Cotes公式、Romberg方法，熟练掌握代数精度法构造求积公式，熟练掌握Gauss型求积理论，了解Euler-Maclaurin公式，三角精度与周期函数的求积公式、奇异积分的计算等内容。样条逼近方法掌握样条函数及其基本性质、B-样条及其性质、三次样条插值。曲线、曲面的生成和逼近了解微分几何中的曲线、曲面论，掌握数据处理、累加弦长法、参数样条曲线、Bezier方法、B-样条方法等曲线与曲面设计方法。三、课程的教学环节课内56学时，课外12学时（学生自行上机完成数值实习作业）。四、说明本课程与计算实验课《计算实验》配套进行五、课程使用的教材与主要参考书教材：《数值逼近》，王仁宏编，高等教育出版社，2000。参考书：《函数逼近的理论与方法》，徐利治、王仁宏、周蕴时编，上海科学技术出版社。《计算几何》，苏步青、刘鼎元编，上海科学技术出版社。《CAGD中的曲线与曲面》，周蕴时，苏志勋等，吉林大学出版社。教学大纲制订者：刘秀平教学大纲审订者：卢玉峰应用数学系计算数学教研室2004年7月21日第四篇：上海交大《计算方法》教学大纲上海交通大学研究生（非数学专业）数学基础课程《计算方法》教学大纲(2007修改讨论稿)一．1.2.3.4.5.6.7.概况开课学院（系）和学科：理学院数学系计算数学教研室课程编码：课程名称：计算方法学时/学分：54学时/3学分预修课程：线性代数，高等数学，程序设计语言课程主干内容:数值代数，数值逼近，非线性方程数值解，常微分方程数值解。适应专业学科：全校的机、电、材、管理、生命和物理、力学诸大学科类，以及人文学科需要的专业。8.教材/教学参考书：(1)李庆扬、王能超、易大义，数值分析（第4版），华中理工大学出版社，2003(2)孙志忠，袁慰平，闻震初，数值分析，东南大学出版社，2002(3)J.StoerandR.Bulirsch,IntroductiontoNumericalAnalysis(secondedition),Springer-Verlag,Berlin-NewYork,1993.(4)AtkinsonKE，AnIntroductiontoNumericalAnalysis，JohnWiley&Sons.1989.二．课程的性质和任务本课程属于数值计算课程的基础部分。数值计算课程是非数学类研究生数学公共基础课程，该组课程列入计算数学系列，目前按照“分级”的原则，设置《计算方法》（基础部分）、《微分方程数值方法》(扩展部分)和《高等计算方法》（提高部分）三门课程。本课程讨论用计算机求解数学问题的几类基本的数值方法及其相关的数学理论。计算机是对近代科学研究、工程技术和人类社会生活影响最深远的高新技术之一，它对科学技术最深刻的改变，莫过于使科学计算平行于理论分析和实验研究，成为人类探索未知和进行大型工程设计的第三种方法和手段。计算机的飞速发展正把计算的方法的创新、改进、提高推向人类科技活动的前沿。人类现代计算能力的巨大更取决于计算方法的效率。因此，学习和掌握计算方法的基本理论，包括算法设计和误差分析，对于将来从事科学研究和工程技术工作的工科研究生来说是必不可少的。科学计算能力是现代科技和管理人才不可或缺的基本素养之一。通过本课程的学习，要求学生了解这些数值计算问题的来源，理解求解它们的数学思想和理论根据，数值方法的构造原理及适用范围，掌握相应计算方法及其计算步骤，各种常用的数值计算公式、数值方法的构造原理及适用范围，能够分析计算中产生误差的原因，能采取减少误差的措施；能够解释计算结果的意义，根据计算结果作合理的预测，为今后用计算机去有效地解决实际问题打下基础。本课程包括数值计算的最基本内容：数值代数，数值逼近，方程数值解，常微分方程数值解。三．课程的教学内容和基本要求教学内容分为八部分，对不同的内容提出不同的教学要求（*号者为选学部分，视学生接受程度而定）第一部分绪论内容：计算方法的研究目的、特点与基本要求，误差及误差分析等基本概念要求：了解计算方法在解决实际问题中所处的位置及本课程的内容、研究对象、学习方法、发展简况，理解计算方法中的误差、误差运算及分析、近似计算中应注意的问题、算法的数值稳定性、收敛性与收敛速度等基本概念。第二部分插值与逼近2．1多项式插值2．1．1Lagrange插值2．1．2Newton插值2．2分段插值2．2．1多项式插值的问题2．2．2分段线性插值2．2．3分段三次Hermite插值2．3三次样条插值2．4曲线的最小二乘拟合2．5最佳平方逼近与正交多项式*2．6最佳一致逼近要求：掌握基本插值法的构造和计算，掌握这些插值函数的余项表达形式、适用范围以及各自特点，了解分段插值及样条插值的特点。理解三次样条函数插值的算法设计。掌握由离散点求曲线拟合的方法，懂得运用最小二乘原理概念以及法方程组进行拟合。掌握正交多项式的概念、基本性质和正交化方法。会使用Legendre多项式。在此基础上了解最佳平方逼近与正交多项式的关系。第三部分数值积分3．1数值积分的基本思想3．2Newton-Cotes公式3．2．1Newton-Cotes公式3．2．2复化Newton-Cotes公式3．3变步长及Richardson加速技术3．4Gauss求积法3．4．1代数精度3．4．2Gauss形积分公式3．4．3Gauss点3．4．4Gauss形积分公式的特点要求：掌握常用数值积分法的原理与公式，掌握变步长及Richardson加速技术，在理解代数精度概念的基础上掌握Gauss求积公式及其构造、特点。第四部分常微分方程的数值解法4．1Eular法及其变形4．2Rung-Kuta法4．2．1泰勒级数法4．2．2Rung-Kuta法的基本思想4．2．3二阶Rung-Kuta法及其计算公式的推导。4．2．4四阶Rung-Kuta法4．3单步法的收敛性和稳定性4．4线性多步法4．5方程组与高阶方程的数值解法要求：理解解常微分方程初值问题的三种构造手段(Taylor级数法、数值积分法和数值微分法)，会用以上所述方法解常微分方程初值问题，并能对格式作局部截断误差估计。理解单步法的收敛性和稳定性问题的提法和结论。第五部分非线性方程求根5．1搜索法5．1．1逐步搜索法及其特点、适用问题5．1．2二分法及其特点、适用问题5．2迭代法5．2．1迭代法的基本原理5．2．2迭代法的收敛与收敛速度5．3Newton法与割线法。要求：掌握常用的方程求根基本方法，理解这些方法的构造特点及适用范围、对迭代法能进行收敛性、收敛速度分析，理解Newton法的特性。第六部分解线性方程组的直接法6．1Gauss消去法6．1．1Gauss顺序消去法6．1．2Gauss列主元消去法6．2LU分解方法6．2．1LU分解方法6．2．2追赶法、平方根法、LDL等6．3向量与矩阵的范数6．4误差分析要求：掌握解线性方程组的Gauss消元法、列主元法、LU分解方法，理解这些方法的构造过程和特点以及适用的线性方程组。了解解特殊线性方程组的追赶法、平方根法、LDL解法。在掌握向量范数和矩阵范数的基础上了解算法的误差分析及病态方程组概念。第七部分解线性方程组的迭代法7．1基本迭代法7．1．1Jacobi迭代法7．1．2Gauss-Seidel迭代法7．2迭代法的收敛性7．3松弛迭代法要求：掌握解线性方程组的基本迭代法：Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法，理解这些方3法的构造过程和特点以及适用的线性方程组。掌握算法收敛准则及常用判别条件。第八部分矩阵特征值与特征向量的计算8．1求矩阵特征值与特征向量的一般原理8．2幂法8．3QR分解8．3．1初等反射阵8．3．2矩阵的QR分解8．3．3Householder变换8．4QR算法要求：了解求矩阵特征值与特征向量的一般原理，掌握矩阵的QR分解，在此基础上了解幂法和QR算法的原理和基本算法。掌握用Householder变换把矩阵相似约化为上Hessenberg阵的算法。四．实验（上机）内容和基本要求本课程无实验和上机的教学安排，但要求学生结合本专业的特点和所研究的课题，选择部分主要算法自己上机实现。要求学生熟悉至少一门数学软件平台（Mathematica/Matlab/Maple）和至少一种编程语言。教学实验就是编程解决实际问题。至少做有求解足够规模的问题的大作业3-4次，使学生理解如何提出问题和解决问题，以提高分析问题和解决问题的能力。五．对学生能力培养的要求本课程以课堂讲授为主，着重讲授算法建立的数学背景、原理和基本线索，教学过程中应该注重方法、概念的理解，注重思维方式培养。每章在介绍各种数值方法正确使用的同时，还要从各种算法的理论分析中了解算法的适应范围且能对一些算法做误差分析，能应用所讲的各种算法在计算机上解决不同的实际问题，使学生建立起自觉使用所学数值方法到本专业中的意识。教师在教学过程中，根据学生的领悟情况，尽量将部分推导演绎过程引导学生自己完成，调动学生动手的欲望，提高授课的质量和效率。尽管本课程的重点放在运用算法解决问题上，但是仍然鼓励和希望学有余力的同学，对于问题建立模型、算法的性态分析和算法实际运行性质的分析，有实质性的研究和提高。六．其他本课程考核的形式以笔试为主，并计入大作业和平时练习的成绩。起草者：贺力平，宋宝瑞起草时间：2003.5修改者：曾进，周国标修改时间：2004.7审阅者：黄建国第二次修改者：宋宝瑞第二次修改时间：2007.84第五篇：数值分析课程实验报告《数值分析》课程实验报告实验名称用二分法和迭代法求方程的根成绩一、实验目的掌握利用二分法以及迭代法求方程近似根的方法，并学会运用matlab软件编写程序，求解出方程的根，对迭代法二分法进一步认识并灵活运用。二、实验内容比较求方程50xxe的根，要求精确到小数点后的第4位1.在区间[0,1]内用二分法；2.用迭代法1/5kxkxe，取初值00.25x.三、算法描述1、二分法：二分法是最简单的求根方法，它是利用连续函数的零点定理，将汗根区间逐次减半缩小，取区间的中点构造收敛点列{}来逼近根x.2、迭代法：迭代法是一种逐次逼近的方法，其步骤是首先给定一个粗糙的初始值，然后用一个迭代公式反复修正这个值，知道满足要求为止。四、实验步骤1、二分法：(1)计算f(x)在区间[0,1]端点处的值f(0)和f(1)的值；(2)计算f(x)在区间【0,1】的中点(0+1)/2=1/2处的值f((a+b)/2)；（3）如果函数值f(1/2)=0，则1/2是f（x）=0的实根，输出根x，终止；否则继续转（4）继续做检验。由于f(1/2)≠0，所以继续做检验。（4）如果函数值f(0)*f(1/2)<0,则根在区间[0,1/2]内，这时以1/2代表1；否则以1/2代表0；，此时应该用1/2代表1.（5）重复执行(2)(3)(4)步，直到满足题目所要求的精度，算法结束。2、迭代法(1)提供迭代初值25.00x；(2)计算迭代值)(01xx；(3)检查|01xx|，若||01xx，则以1x代替0x转(2)步继续迭代；当||01xx时终止计算，取作为