逻辑回归的梯度下降算法推导

逻辑回归的梯度下降算法推导逻辑回归是一种常用的分类算法，其模型可以通过最大似然估计来得到。为了最大化似然函数，可以使用梯度下降算法来求解逻辑回归模型的参数。

首先，我们定义逻辑回归模型的矩阵形式为：$h(x)=\frac{1}{1+e^{-wx}}$，其中$h(x)$表示预测值，$w$表示模型参数，$x$表示输入特征。

逻辑回归的损失函数为交叉熵损失函数，可以表示为：$J(w)=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m{[y^{(i)}\log(h(x^{(i)}))+(1-y^{(i)})\log(1-h(x^{(i)}))]}$，其中$J(w)$表示损失函数，$m$表示样本数量，$y^{(i)}$表示真实标签值，$x^{(i)}$表示第$i$个样本的特征。

梯度下降算法的目标是通过迭代更新参数$w$，以最小化损失函数$J(w)$。梯度下降算法的迭代更新规则为：$w:=w-\alpha\frac{\partialJ(w)}{\partialw}$，其中$\alpha$表示学习率。

为了推导出梯度下降算法的更新规则，我们首先求解损失函数关于参数$w$的偏导数。

根据链式法则，我们有：$\frac{\partialJ(w)}{\partialw}=\frac{\partialJ(w)}{\partialh(x)}\cdot\frac{\partialh(x)}{\partialw}$。

首先计算$\frac{\partialJ(w)}{\partialh(x)}$：

$\frac{\partialJ(w)}{\partialh(x)}=\frac{\partial}{\partialh(x)}[-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m{[y^{(i)}\log(h(x^{(i)}))+(1-y^{(i)})\log(1-h(x^{(i)}))]}]$

根据求导法则和链式法则，我们有：

$\frac{\partialJ(w)}{\partialh(x)}=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m{[\frac{y^{(i)}}{h(x^{(i)})}-\frac{1-y^{(i)}}{1-h(x^{(i)})}]}$

然后计算$\frac{\partialh(x)}{\partialw}$：

$\frac{\partialh(x)}{\partialw}=\frac{\partial}{\partialw}\frac{1}{1+e^{-wx}}$

再次应用链式法则，我们有：

$\frac{\partialh(x)}{\partialw}=\frac{\partial}{\partialw}\frac{1}{1+e^{-wx}}=(-1)\frac{1}{(1+e^{-wx})^2}\cdot(e^{-wx})(-x)=-\frac{1}{1+e^{-wx}}\cdot(1-\frac{1}{1+e^{-wx}})\cdot(-x)=h(x)(1-h(x))x$

将上述两部分结果相乘，我们得到梯度的表达式：

$\frac{\partialJ(w)}{\partialw}=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m{[\frac{y^{(i)}}{h(x^{(i)})}-\frac{1-y^{(i)}}{1-h(x^{(i)})}]}\cdoth(x)(1-h(x))x$

最终，我们可以得到梯度下降算法的更新规则：

$w:=w-\alpha\frac{\partialJ(w)}{\partialw}=w+\alpha[\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m{[(y^{(i)}-h(x^{(i)}))]}\cdoth(x)(1-h(x))x]$

上述公式表示在每次迭代中，我们根据当前参数$w$计算梯度，并更新参数$w$。重复此