《复变函数与积分变换》§4.2 复变函数项级数_第1页
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§4.2复变函数项级数复变函数项级数一定义4.4表达式称为复变函数项级数，称为函数项级数(1)的部分和函数．设复变函数序列在区域D内有定义，记作(1)它的前项和复变函数项级数一若级数收敛，则称为函数项级数(1)的收敛点；若级数发散，则称为函数项级数(1)的发散点．的一切收敛点所组成的集合称为它的收敛域．函数项级数若区域D是函数项级数的收敛域，则函数(2)称为它的和函数．幂级数二形如或的函数项级数称为幂级数．z=0是级数的收敛点．如果幂级数在处收敛，那么对的一切z，级数必绝对收敛．若幂级数在处发散，则对满足的一切z，必发散．级数幂级数的收敛域

1定理1(Abel)满足幂级数二Abel定理证明收敛，由于级数根据级数收敛的必要条件有因而存在正数M,使对一切自然数n，有从而如果那么级数收敛，根据正项级数的比较判别法收敛，知级数即当时，绝对收敛．幂级数幂级数二另一部分的证明用反证法若当时，幂级数收敛，则由上面的讨论知，级数绝对收敛，与题设矛盾．幂级数二幂级数的收敛半径2利用阿贝尔定理，可以确定幂级数的收敛范围．对幂级数来说，它的收敛情况可以分为下列3种：只在原点z=0处收敛，其它点处处发散，如幂级数在全复平面上处处绝对收敛，如级数

在复平面上有非零的收敛点，也有发散点．

幂级数二定义4.5若存在实数使幂级数在圆域内内发散，而在则称为幂级数的R为收敛半径．对于前面所说的幂级数的3种收敛情况，可知：若只在原点收敛，则收敛半径若在全平面上处处收敛，则收敛半径若既有非零收敛的点，也有发散点，则收敛半径满足绝对收敛，收敛圆，幂级数二例1求下列级数的收敛半径．解：所以当时，级数收敛；而当时，不收敛，级数发散．所以，原级数的收敛半径为收敛域为并且幂级数二定理4.8设幂级数若下列条件之一成立1）（比值法，达朗贝尔公式)．2）（根值法，柯西公式)．则它的收敛半径幂级数二例2求下列幂级数的收敛半径．解：1）其中2）3）1）2）3）幂级数的运算和性质三幂级数的四则运算1设及的收敛半径为R1

和R2，且则，其中幂级数的运算和性质三幂级数的复合运算2设幂级数而函数g(z)在内解析,且满足则特别地，若则幂级数此时，也称R为幂级数的收敛半径，为它的收敛圆．幂级数的运算和性质三例3求幂级数的收敛域．解：收敛圆为，在上是收敛的，所以原级数的收敛域为幂级数的运算和性质三例4求以下幂级数的收敛半径．解：本题缺偶数次方项，不能直接套定理当即时，级数收敛．收敛半径为幂级数的运算和性质三例5试把表示成形如的幂级数．将f(z)变形，解：使之成为的函数．幂级数的运算和性质三幂级数在收敛圆内部的性质3定理4.9设幂级数的收敛半径为R>0，在收敛圆内部的和函数f(z),即幂级数的运算和性质三（2）逐项积分：沿收敛圆域内的任一条简单光滑(或分段光滑)曲线可对积分，并且对级数可逐项积分，且收敛半径不变，即有则在收敛圆内部有以下性质：（

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