湖南省2023年中考数学试卷八套及答案

湖南省郴州市

2023

年中考数学试卷一、单选题1． 的倒数是（A．2）B．C．D．2．下列图形中，能由图形通过平移得到的是（）A．B．C．D．3．下列运算正确的是（）A．B．C． D．4．下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（）A．B．C．D．下列问题适合全面调查的是（ ）调查市场上某品牌灯泡的使用寿命了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况

C．了解郴江河的水质情况D．神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查6．一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A．B．C． D．小王从

A

地开车去

B

地，两地相距

240km．原计划平均速度为

km/h，实际平均速度提高了

50%，结果提前

1

小时到达．由此可建立方程为（

）B．C． D．8．第

11

届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午

开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离

与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（

）A．途中修车花了B．修车之前的平均速度是/C．车修好后的平均速度是 /D．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的 倍二、填空题9．计算：

．在一次函数 中， 随

的增大而增大，则

的值可以是

（任写一个符合条件的数即可）．在一个不透明的袋子中装有

3

个白球和

7

个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同．从袋子中随机取出一个球，是红球的概率是

．抛物线 与

轴只有一个交点，则

．为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占

30%，演唱技巧占

50%，精神面貌占

20%考评．某参赛队歌曲内容获得

90分，演唱技巧获得

94

分，精神面貌获得

95

分．则该参赛队的最终成绩是

分．在

Rt

△ABC

中，

∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D

是

AB

的中点，则

.如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点 处安装了一台监视器，它的监控角度是 ，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器

台．16．如图，在中，若点 的对应点恰好落在线段， ， ．将 绕点 逆时针旋转，得到 ，上，则点 的运动路径长是

cm（结果用含

的式子表示）．三、解答题17．计算：．先化简，再求值： ，其中

．某校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从

A、B、C、D、E

五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图．（1）请把图

1

中缺失的数据，图形补充完整；请计算图

2

中研学活动地点

C

所在扇形的圆心角的度数；若该校共有

1200

名学生，请估计最喜欢去

D

地研学的学生人数．20．如图，四边形 是平行四边形．（1）尺规作图；作对角线 的垂直平分线（保留作图痕迹）；（2）若直线 分别交 ， 于 ， 两点，求证：四边形 是菱形21．某次军事演习中，一艘船以 的速度向正东航行，在出发地 测得小岛 在它的北偏东 方向，

小时后到达 处，测得小岛 在它的北偏西 方向，求该船在航行过程中与小岛 的最近距离（参考数据： ， ．结果精确到 ）．随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2

月份游客人数为

1.6

万人，4

月份游客人数为

2.5万人．求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；预计

5

月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区

5

月

1

日至

5

月

21

日已接待游客

2.125

万人，则

5

月份后

10

天日均接待游客人数最多是多少万人？23．如图，在 中， 是直径，点 是圆上一点．在 的延长线上取一点 ，连接 ，使 ．（1）求证：直线 是的切线；（2）若 ， ，求图中阴影部分的面积（结果用含

的式子表示）．24．在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘 （固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为 ．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘 与点 的距离

（ ）（ ），记录容器中加入的水的质量，得到下表：托盘 与点 的距离3025201510容器与水的总质量1012152030加入的水的质量57101525把上表中的

与 各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的 关于

的函数图象．的函数图象；请在该平面直角坐标系中作出 关于观察函数图象，并结合表中的数据：①猜测 与

之间的函数关系，并求 关于的函数表达式；②求 关于

的函数表达式；③当 时， 随

的增大而

（填“增大”或“减小”）， 随

的增大而

（填“增大”或“减小”）， 的图象可以由 的图象向

（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．（3）若在容器中加入的水的质量 （g）满足 ，求托盘 与点 的距离

（cm）的取值范围．25．已知 是等边三角形，点 是射线 上的一个动点，延长 至点 ，使 ，连接交射线 于点 ．（1）如图

1，当点在线段 上时，猜测线段 与 的数量关系并说明理由；（2）如图

2，当点 在线段 的延长线上时，的面积．①线段 与 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图

3，连接 ．设 ，若 ，求四边形26．已知抛物线 与

轴相交于点 ， ，与轴相交于点 ．（1）求抛物线的表达式；（2）如图

1，点 是抛物线的对称轴

上的一个动点，当的周长最小时，求 的值；（3）如图

2，取线段 的中点的坐标；若不存在，请说明理由．，在抛物线上是否存在点 ，使 ？若存在，求出点【答案】B【答案】B【答案】A【答案】D【答案】D【答案】C【答案】B【答案】D【答案】3【答案】3（答案不唯一）【答案】【答案】9【答案】93【答案】5【答案】4【答案】【答案】解：原式．18．【答案】解：，当 时，原式19．【答案】（1）解：．（人）选择 的人数：（人）补全图形如下：（2）解：，∴研学活动地点所在扇形的圆心角的度数；（3）解：（人）答：最喜欢去 地研学的学生人数共有 人．20．【答案】（1）解：如图所示， 即为所求；（2）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴如图：设与，交于点 ，∴∵ 是 的垂直平分线，， ，∵，∴，∴∴四边形，为平行四边形，∵，∴四边形为菱形．21．【答案】解：过点 作，垂足为 ，∵，，，，，∴，，，在中，，即，∴，在中，，即，∴，∴，∴（ ），∴该船在航行过程中与小岛 的最近距离 ．22．【答案】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得：，解得： （负值已舍掉）；答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 ；（2）解：设

5

月份后

10

天日均接待游客人数是

y

万人，由题意，得：，解得： ；∴5

月份后

10

天日均接待游客人数最多是

1

万人．23．【答案】（1）证明：连接 ，∵ 是直径，∴，∵ ， ，∴ ，∴，∴ ，∵ 是 的半径，∴直线 是 的切线；（2）解：∵ ，，∴，∴ ，∵在 中，， ，∴ ，解得 ，∴．24．【答案】（1）解：函数图象如图所示，（2）解：①②时，③减小；减小；下解得 ，解得，（3）解：当当 时，∴托盘 与点的距离

（）的取值范围．25．【答案】（1）解：∵ 是等边三角形，，理由如下：∴，过点 作 ，交于点，∴∴为等边三角形，， ，∴，∵，，∴， ，又∴，，∴，∴；，（2）解：①成立，理由如下：∵ 是等边三角形，∴过点 作 ，交 的延长线于点 ，∴∴为等边三角形，， ，∴，∵，，∴， ，又，∴，∴，∴；②过点 作，交 的延长线于点 ，过点 作，交 于点 ，交 于点 ，则：，由①知： 为等边三角形，∵ 为等边三角形，，，∴，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，设 ，则：，，∴ ，∵ ，∴ ，∴，即：②，联立①②可得：（负值已舍去），经检验是原方程的根，∴，，，∴，∴，∵，∴，∴四边形的面积为．26．【答案】（1）解：∵抛物线与

轴相交于点，，∴，解得：，∴；时，，（2）解：∵ ，当∴ ，抛物线的对称轴为直线∵ 的周长等于 ，为定长，∴当 的值最小时，的周长最小，∵ 关于对称轴对称，∴，当三点共线时， 的值最小，为 的长，此时点 为直线与对称轴的交点，设直线 的解析式为：，则：，解得：，∴，当时，，∴，∵，∴，，∴ ；（3）解：存在，∵∴为 的中点，，∴∵，，∴在，中，，∵，∴，①当点在 点上方时：过点作 ，交抛物线与点，则： ，此时 点纵坐标为

2，设 点横坐标为

，则： ，解得：，∴或；②当点 在 点下方时：设与

轴交于点 ，则：设则：，，，，∴，解得：，∴，设 的解析式为：，则：，解得：，∴，联立，解得：或，∴或；综上：或或或．湖南省衡阳市

2023

年中考数学试卷一、单选题1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家．若收入

500

元记作元，则支出

237

元记作（ ）A． 元 B． 元C．0

元D．元）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（B．C． D．3．下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从左面看到的图形的是（ ）A．B．C．D．5．计算的结果正确的是（）A． B． C． D．6．据共青团中央

2023

年

5

月

3

日发布的中国共青团团内统计公报，截至

2022

年

12

月底，全国共有共青团员

7358

万．数据

7358

万用科学记数法表示为（ ））A． B． C． D．对于二次根式的乘法运算，一般地，有 ．该运算法则成立的条件是（B．C． D．8．如图，在四边形

ABCD

中，BC∥AD，添加下列条件，不能判定四边形

ABCD

是平行四边形的是（）A．AB＝CD B．AB∥CD C．∠A＝∠C D．BC＝AD《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设有

x

只鸡，y

只兔．依题意，可列方程组为（ ）B．C． D．10．某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下表．甲、乙两名选手成绩的方差分别记为 和 ，则 与 的大小关系是（ ）测试次数12345甲510938乙86867A． B． C． D．无法确定我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 ”．假设三角形没有一个内角小于或等于 ，即三个内角都大于 ．则三角形的三个内角的和大于 ，这与“三角形的内角和等于 ”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 ．上述推理使用的证明方法是（ ）反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法已知 ，若关于

x

的方程 的解为 ．关于

x

的方程的解为 ．则下列结论正确的是（ ）B．C． D．二、填空题在平面直角坐标系中，点 所在象限是第

象限．一个布袋中放着

3

个红球和

9

个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．布袋中的球已经搅匀．从布袋中任取

1

个球，取出红球的概率是

．已知 ，则代数式 的值为

．已知关于

x

的方程 的一个根是 ，则它的另一个根是

．如图，在 中， ．以点

C

为圆心，r

为半径作圆，当所作的圆与斜边 所在的直线相切时，r

的值为

．18．如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中

3

个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是

个．三、解答题计算：解不等式组：21．2023

年

3

月

27

日是第

28

个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取

15

名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x

表示，80

分及以上为优秀，共分成四组，A： ；B： ；C： ；D： ），并给出下面部分信息：八年级抽取的学生竞赛成绩在

C

组中的数据为：84，84，88．九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数优秀率八87a98九8786bc根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：

，

，

．（2）该校八、九年级共

500

人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到

90

分及以上的学生人数．22．如图，正比例函数 的图象与反比例函数的图象相交于点

A．（1）求点

A

的坐标．一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点

B

和点

C，作直线 ，（2）分别以点

O、A

为圆心，大于交

x

轴于点

D．求线段 的长．23．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼 的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部 米的

C

处，遥控无人机旋停在点

C

的正上方的点

D

处，测得教学楼 的顶部

B

处的俯角为 ， 长为 米．已知目高 为 米．米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多求教学楼 的高度．若无人机保持现有高度沿平行于 的方向，以少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线 ．于点

E，交于点

F，交24．如图， 是 的直径， 是一条弦，D

是 的中点，于点

H， 交 于点

G．（1）求证：．（2）若，求的半径．25．（1）[问题探究]如图

1，在正方形接 ．中，对角线相交于点

O．在线段 上任取一点

P（端点除外），连①求证：；②将线段上的位置发生变化时，绕点

P

逆时针旋转，使点

D

落在 的延长线上的点

Q

处．当点

P

在线段的大小是否发生变化？请说明理由；③探究 与 的数量关系，并说明理由．（2）[迁移探究]如图

2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变．试探究与 的数量关系，并说明理由．26．如图，已知抛物线与

x

轴交于点和点

B，与

y

轴交于点

C，连接，过

B、C

两点作直线．求

a

的值．将直线 向下平移 个单位长度，交抛物线于 、 两点．在直线 上方的抛物线上是否存在定点

D，无论

m

取何值时，都是点

D

到直线 的距离最大，若存在，请求出点

D

的坐标；若不存在，请说明理由．（3）抛物线上是否存在点

P，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．【答案】B【答案】D【答案】C【答案】B【答案】B【答案】A【答案】D【答案】A【答案】C【答案】A【答案】A【答案】B【答案】三【答案】【答案】【答案】5【答案】【答案】10【答案】解：20．【答案】解：解不等式①得：解不等式②得：∴不等式组的解集为：21．【答案】（1）84；100；80%（2）解：根据频数分布直方图可得，抽取的八年级学生竞赛成绩中，90

分以上的有

6

个；根据抽取的九年级学生的竞赛成绩可得，90

分以上的有

6

个；∴该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到

90

分及以上的学生人数为：（人），答：该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到

90

分及以上的学生人数为

200

人．22．【答案】（1）解：解方程组，得，∵，垂直平分 ，∴ ；（2）解：由题意可得：连接 ，如图，则，设，则，解得，∴．，23．【答案】（1）解：过点

B

作根据题意可得：，于点

G，米，∵ ， ，∴四边形 为矩形，，∴米，∵，，∴，∴，∴米，∵ 长为米，∴（米），答：教学楼的高度为米．（2）解：连接并延长，交于点

H，∵米，米，∴米，∵米，，∴，∴，米，∴（米），∵无人机以米/秒的速度飞行，∴离开视线 的时间为：答：无人机刚好离开视线（秒），的时间为

12

秒．24．【答案】（1）证明：∵D

是 的中点，∴∵∴，，，是 的直径，∴，∴∴．，（2）解：∵∴，，是的直径，∵，设，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴，解得∴∴，，的半径为

5．25．【答案】（1）①证明：∵四边形

ABCD

是正方形，∴CD=CB，∠DCA=∠BCA=

45°，∵CP=CP，∴△DCP≌△BCP，∴PD=

PB；②∠DPQ

的大小不发生变化，∠DPQ=90°；理由如下：如图所示：作

PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分别为点

M、N，∵四边形

ABCD

是正方形，∴∠DAC=∠BAC=45°，∠DAB=

90°，∴四边形

AMPN

是矩形，PM=

PN，∴∠MPN=

90°，∵PD=PQ，PM

=PN，∴Rt△DPN≌Rt△QPM(HL)，∴∠DPN=

∠QPM，∴∠QPN+∠QPM=

90°，∴∠QPN+∠DPN=

90°，∴∠DPQ

=90°；③AQ= OP；理由如下：如图所示：作

PE⊥AO

交

AB

于点

E，作

EF⊥OB

于点

F，作

PM⊥AE

于点

M，∵四边形

ABCD

是正方形，∴∠BAC=45°，∠AOB=90°，∴∠AEP=45°，四边形

OPEF

是矩形，∴PAE=∠PEA=45°，EF=

OP，∴PA=PE，∵PD=PB，PD=

PQ，∴PQ=

PB，∵PM⊥AE，∴QM=BM，AM=EM，∴AQ=

BE，，∵∠EFB=90°，∠EBF=

45°，∴ ，∴AQ= OP.（2）解： ；证明：∵四边形 是菱形，∴ ，于点

G，如图，∴ 是等边三角形， 垂直平分 ，∴ ，∵ ，∴ ，作 交 于点

E， 交则四边形 是平行四边形，，，∴ ， 都是等边三角形，∴ ，作∴于点

M，则，，∴．与

x

轴交于点，，得抛物线的解析式为，26．【答案】（1）解：抛物线得 ，解得： ；（2）解：存在 ，理由如下：设 与 轴交于点 ，由（1）中结论当 时， ，即，， ，即 是等腰直角三角形，，，，设，过点 作轴交于点 ，作于点 ，，即设直线 的解析式为是等腰直角三角形，，代入 ，得，解得，故直线 的解析式为，将直线 向下平移个单位长度，得直线的解析式为，，，当时， 有最大值，此时也有最大值，；（3）解：存在或，理由如下：当点 在直线在 轴上取点下方时，，作直线交抛物线于（异于点 ）点 ，由（2）中结论，得，，，，，设直线 的解析式为，代入点，得，解得，故设直线的解析式为，联立，解得（舍），故；当点 在直线 上方时，如图，在

轴上取点，连接 ，过点 作抛物线于点 ，，，，，设直线 的解析式为，代入点，，得 ，解得，故设直线 的解析式为，，且过点 ，故设直线 的解析式为，联立，解得，（舍），故 ，综上所述：或湖南省怀化市

2023

年中考数学试卷一、单选题1．下列四个实数中，最小的数是（）A． B．0 C． D．2．2023

年

4

月

12

日

21

时，正在运行的中国大科学装置“人造太阳”——世界首个全超导托卡马克东方超环（EAST）装置取得重大成果，在第

122254

次实验中成功实现了

403

秒稳态长脉冲高约束模式等离子体运行，创造了托卡马克装置高约束模式运行新的世界纪录．数据

122254

用科学记数法表示为（ ）A． B．C． D．下列计算正确的是（ ）B．C． D．4．剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行创作的艺术．民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．关于

x

轴对称的点的坐标是（）C．D．在平面直角坐标系中，点B．如图，平移直线 至，直线 ， 被直线 所截，，则 的度数为（）D．，9.6， ， .关于这组数据，A． B． C．某县“三独”比赛独唱项目中，5

名同学的得分分别是： ，下列说法正确的是（ ）A．众数是 B．中位数是C．平均数是 D．方差是下列说法错误的是（ ）成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件一元二次方程 有两个相等的实数根C．任意多边形的外角和等于D．三角形三条中线的交点叫作三角形的重心9．已知压力 、压强 与受力面积之间有如下关系式：．当

F

为定值时，下图中大致表示压强

p

与受力面积

S

之间函数关系的是（）A．B．C．D．10．如图，反比例函数的图象与过点 的直线 相交于、 两点．已知点 的坐标为 ，点 为

轴上任意一点．如果 ，那么点 的坐标为（）A．B．C．或D．或二、填空题11．要使代数式有意义，则

x

的取值范围是

．12．分解因式：

．13．已知关于

x

的一元二次方程的一个根为 ，则

m

的值为

，另一个根为

．，其中

，

，

，

为实数．例如：．如14．定义新运算：果 ，那么

．15．如图，点 是正方形的对角线上的一点，于点 ，．则点 到直线 的距离为

．16．

在平面直角坐标系中， 为等边三角形，点

A

的坐标为．把按如图所示的方式放，同时边长扩大为 边，同时边长扩大为 ，边置，并将 进行变换：第一次变换将 绕着原点

O

顺时针旋转长的

2

倍，得到 ；第二次旋转将 绕着原点

O

顺时针旋转长的

2

倍，得到 ，…．依次类推，得到 ，则的坐标为

．的边长为

，点三、解答题17．计算：18．先化简19．如图，矩形中，过对角线，再从 ，0，1，2

中选择一个适当的数作为

a

的值代入求值．的中点 作 的垂线 ，分别交 ， 于点 ， ．（1）证明：；（2）连接、，证明：四边形是菱形．20．为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高 （碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的 点用测角仪测得碑顶 的仰角为 ，在 点处测得碑顶 的仰角为 ，已知 ，测角仪的高度是 （ 、 、 在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高．（，结果保留一位小数）21．近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：所抽取的学生人数为

；补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；该校共有学生 人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数．22．如图， 是 的直径，点 是 外一点， 与 相切于点 ，点 为 上的一点．连接 、、 ，且 ．（1）求证： 为的切线；（2）延长 与 的延长线交于点

D，求证：；种客车若干辆，则有人没有座位；若租用（3）若 ，求阴影部分的面积．23．某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客 人的可坐乘客 人的 种客车，则可少租

辆，且恰好坐满．求原计划租用 种客车多少辆？这次研学去了多少人？若该校计划租用 、 两种客车共 辆，要求 种客车不超过几种租车方案？辆，且每人都有座位，则有哪（3）在（2）的条件下，若 种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元，应该怎样租车才最合算？24．如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与

轴交于两点，与 轴交于点 ．（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；（2）点 为第三象限内抛物线上一点，作直线 ，连接 、 ，求面积的最大值及此时，求证：无论

为何值，平行于

轴的直线点 的坐标；（3）设直线 交抛物线于点 、上总存在一点 ，使得 为直角．【答案】A【答案】C【答案】A【答案】C【答案】D【答案】B【答案】A【答案】B【答案】D【答案】D【答案】【答案】【答案】-1；2【答案】1【答案】316．【答案】；17．【答案】解：18．【答案】解：，当

a

取 ，1，2

时分式没有意义，所以或

0，当时，原式；当 时，原式 ．19．【答案】（1）证明：如图所示，∵四边形是矩形，∴，∴，∵ 是 的中点，∴，在与中，∴；（2）解：∵∴ ，又∵∴四边形是平行四边形，∵∴四边形 是菱形．20．【答案】解：依题意，四边形是矩形，米，米，∵∴∴，∴米，在中，∴米∴米21．【答案】（1）200

人（2）解：中度近视的人数为（人），“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数为∴高度近视的人数为（人），补全统计图如下：人．（3）解： （人），∴估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数为

22．【答案】（1）证明：∵ 是 的切线，∴如图所示，连接在与中，∴∵ 为上的一点．的切线；∴ 是 的切线；（2）证明：∵ 是∴ ，∴∴（3）解：∵，∴，∵∴，∴∴，∴23．【答案】（1）解：设原计划租用种客车

辆，根据题意得，，解得：所以（人）答：原计划租用种客车 辆，这次研学去了人；（2）解：设租用种客车

辆，则租用 种客车辆，根据题意，得解得： ，∵

为正整数，则，辆，则租用种客车

辆，辆，则租用种客车

辆，∴共有

种租车方案，方案一：租用

种客车方案二：租用

种客车方案三：租用

种客车辆，则租用 种客车

辆，元，元，元，（3）解：∵

种客车租金为每辆

元，

种客车租金每辆

元，∴

种客车越少，费用越低，方案一：租用

种客车

辆，则租用

种客车

辆，费用为方案二：租用

种客车

辆，则租用

种客车

辆，费用为方案三：租用

种客车

辆，则租用

种客车

辆，费用为∴租用

种客车

辆，则租用

种客车

辆才最合算．24．【答案】（1）解：将 代入 ，得，解得：，∴抛物线解析式为：∴对称轴为，∴当 时，∴顶点坐标为（-1，-9）；（2）解：如图所示，过点作轴于点 ，交 于点 ，由，令，解得：，∴设直线，的解析式为，将点代入得， ，解得：∴直线，的解析式为，设，则，∴，当时， 的最大值为∵∴当 取得最大值时，面积取得最大值∴面积的最大值为，此时，∴（3）解：设、，的中点坐标为，联立，消去，整理得： ，∴∴∴，，，∴，设点到的距离为，则 ，∵∴∴、，，∴，∴∴为直径，且与相切，∴，∴ 点总在 上，为直角．∴无论

为何值，平行于

轴的直线上总存在一点 ，使得为直角．湖南省永州市

2023

年中考数学试卷一、单选题1．我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进

30

吨粮食记为“”，则“”表示（）A．运出

30吨粮食B．亏损

30

吨粮食C．卖掉

30吨粮食D．吃掉

30

吨粮食2．企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美，下列企业标志图为中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．3．下列多边形中，内角和等于的是（）A．B．C．D．的解为，则m

的值为（）4．关于x

的一元一次方程A．3 B．5．下列各式计算结果正确的是（C．7D．）A．B．C． D．6．下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为三角形的是（）A．B．C．D．万元，若年至年间每年人均可某县 年人均可支配收入为 万元， 年达到支配收入的增长率都为

，则下面所列方程正确的是（ ）B．C． D．今年

2

月，某班准备从《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是（ ）B． C． D．1已知点 在反比例函数 的图象上，其中

a，k

为常数，且 ﹐则点M

一定在（ ）第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限如图，在 中， ，以 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ，再分别以 ， 为圆心，大于 的定长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线 交 于点 ，作，垂足为 ，则下列结论不正确的是（ ）A．B．D． 一定经过的内心三个数中最小的数为

．C．二、填空题11．

，3，12． 与的公因式为

．已知x

为正整数，写出一个使 在实数的范围内没有意义的

x值是

．甲、乙两队学生参加学校仪仗队选拔，两队队员的平均身高均为 ，甲队队员身高的方差为 ，乙队队员身高的方差为 ，若要求仪仗队身高比较整齐，应选择

队较好．如图， ，则

度．16．

若关于x

的分式方程（m

为常数）有增根，则增根是

．17．已知扇形的半径为

6，面积为，则扇形圆心角的度数为

度．18．如图， 是一个盛有水的容器的横截面， 的半径为 ．水的最深处到水面的距离为，则水面 的宽度为

．三、解答题19．解关于

x

的不等式组20．先化简，再求值：，其中.21．如图，已知四边形是平行四边形，其对角线相交于点

O，．是直角三角形吗？请说明理由；求证：四边形 是菱形．22．今年

3月

27

日是第

28

个全国中小学生安全教育日．某市面向中小学生举行了一次关于心理健康、预防欺凌、防漏水、应急疏散等安全专题知识竞赛，共有

18360

名学生参加本次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，随机抽取了

n

名学生的成绩

x（成绩均为整数，满分为

100

分）分成四个组：1组 、2组 、3组 、4

组 ，并绘制如下图所示频数分布图

；所抽取的n

名学生成绩的中位数在第

组；若成绩在第

4组才为优秀，则所抽取的n名学生中成绩为优秀的频率为

；试估计

18360

名参赛学生中，成绩大于或等于

70

分的人数．23．永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高

2.9

米（如图

1

所示），寓意陈树湘为中国革命“断肠明志”牺牲时的年龄为

29

岁．如图

2，以线段 代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面 上D

处为陈树湘雕拍照，相机支架 高

0.9

米，在相机C

处观测雕像顶端A

的仰角为 ，然后将相机架移到处拍照，在相机M处观测雕像顶端

A

的仰角为 ，求D、N

两点间的距离（结果精确到

0.1

米，参考数据： ）24．小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据：时间t（单位：分钟）12345…总水量y（单位：毫升）712172227…（1）探究：根据上表中的数据，请判断和（k，b

为常数）哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系?并求出y关于t

的表达式；（2）应用：①请你估算小明在第

20

分钟测量时量筒的总水量是多少毫升?②一个人一天大约饮用

1500

毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按

30

天计）的漏水量可供一人饮用多少天．是，点E

在25．如图，以 为直径的的延长线上，点 在线段的外接圆，延长 到点D．使得上， 交 于N， 交 于G．（1）求证： 是的切线；（2）若，求的长；（3）若，求证：．26．如图

1，抛物线（

，

，

为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于H，且．（1）求抛物线的表达式；（2）如图

1，直线交于点 ，求的最大值；（3）如图

2，四边形为正方形，交 轴于点 ，交的延长线于 ，且，求点 的横坐标．答案【答案】A【答案】C【答案】B【答案】A【答案】D【答案】D【答案】B【答案】B【答案】A【答案】C【答案】-2【答案】2a【答案】1（答案不唯一）【答案】甲【答案】100°【答案】x=4【答案】60【答案】1619．【答案】解：，解①得，，解②得， ，原不等式组的解集为．20．【答案】解：，∵，∴原式=21．【答案】（1）解： 是直角三角形，理由如下：∵四边形 是平行四边形，∴ ，∵ ，∴ 是直角三角形．（2）证明：由（1）可得： 是直角三角形，∴ ，即 ，∵四边形 是平行四边形，∴四边形 是菱形．22．【答案】（1）600；3（2）（3）解： （人），答：成绩大于或等于

70

分的人数约为

15606

人．23．【答案】解：如图， 米， 米四边形，四边形是矩形，四边形是矩形∴米，∵中，，∴米，∴米∵中，，∴∴米米∴∴ 米.24．【答案】（1）解：观察表格，可发现前一分钟比后一分钟少

5

毫升的水，故可得能正确反映总水量y

与时间t

的函数关系，把，代入，可得，解得，y

关于t

的表达式 ；（2）解：①当 时， ，故小明在第

20

分钟测量时量筒的总水量是

102

毫升，答：小明在第

20

分钟测量时量筒的总水量是

102

毫升．②由解析式可知，每分钟的滴水量为

毫升，30

天 分钟 分钟，可供一人饮水天数 天，答：这个水龙头一个月（按

30

天计）的漏水量可供一人饮用

144

天．25．【答案】（1）证明：∵ 是 的直径，∴，∴，∵，∴，∴，∴ 是（2）解：∵的切线；，，∴，∴，∴，解得当或

3，时，，当时，，∵，即，∴；（3）证明：∵ 是 的直径，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∵∴ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴∴ ，∴ ．，，26．【答案】（1）解： 抛物线（

，

，

为常数）经过点 ，顶点坐标为 ，， ， ，，，抛物线的解析式为：．故答案为：（2）解：过点 作．轴于点，如图所示，抛物线的解析式为：，且与

轴交于 ， 两点，，，．设直线的解析式为：，则，，．直线 的解析式为：在直线 上，，在直线 上，的解析式为：，，．在抛物线上，．．，．，，．，，当时，有最大值，且最大值为：．故答案为： ．（3）解：设与的交点为 ，如图所示，为正方形，，，，．，，，为矩形．．，．，，，，．，，．，．，设，，．抛物线的解析式为：，且与

轴交于 ， 两点，．设直线 的解析式为：，则，，直线 的解析式为：．， 在直线上，，，即 点横坐标为 ．在抛物线上，，，，，或．或．，．， 或为 点横坐标，且，，，．点横坐标为：．故答案为：5．湖南省岳阳市

2023

年中考数学试卷一、单选题1． 的相反数是（）A． B．2．下列运算结果正确的是（C．D．）A．B．C．D．3．下列几何体的主视图是圆的是（）A．B．C．D．4．已知，点 在直线 上，点在直线上，于点，则的度数是（）D．（单位：次/分钟），A． B． C．5．

在

5月份跳绳训练中，妍妍同学一周成绩记录如下：这组数据的众数和中位数分别是（ ）A． B． C．下列命题是真命题的是（ ）A．同位角相等 B．菱形的四条边相等D．C．正五边形是中心对称图形 D．单项式

的次数是

47．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合右图，其大意是：今有圆形材质，直径

为

25

寸，要做成方形板材，使其厚度

达到7

寸．则

的长是（

）A． 寸8．若一个点的坐标满足）A．二、填空题B．25

寸 C．24

寸 D．7

寸，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于

的二次函数（ 为常数， ）总有两个不同的倍值点，则

的取值范围是（B． C． D．函数y= 中，自变量x

的取值范围是

．近年来，岳阳扛牢“守护好一江碧水”责任，水在变清，岸在变绿，洞庭湖真正成为鸟类的天堂.2022年冬季，洞庭湖区越冬水鸟数量达 万只，数据 用科学记数法表示为

．11．有两个女生小合唱队，各由

6

名队员组成，甲队与乙队的平均身高均为 ，甲队身高方差，乙队身高方差 ，两队身高比较整齐的是

队．（填“甲”或“乙”）12．如图，①在 上分别截取线段 ，使 ；②分别以 为圆心，以大于的长为半径画弧，在 内两弧交于点 ；③作射线 ．若 ，则

．13．观察下列式子：；；…； ； ；为正整数）个等式是

．依此规律，则第

（，14．已知关于

的一元二次方程 有两个不相等的实数根，且则实数

．15．2023

年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在处用仪器测得赛场一宣传气球顶部 处的仰角为 ，仪器与气球的水平距离 为

20

米，且距地面高度 为

1.5

米，则气球顶部离地面的高度是

米（结果精确到

0.1

米，）．16．

如图，在中， 为直径，为弦，点 为的中点，以点为切点的切线与的延长线交于点 ．（1）若，则 的长是

（结果保留

）；（2）若，则

．三、解答题17．计算：．18．解不等式组：19．如图，反比例函数（

为常数，）与正比例函数 （ 为常数， ）的图象交于 两点．（1）求反比例函数和正比例函数的表达式；（2）若y

轴上有一点 的面积为

4，求点 的坐标．20．为落实中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于实施中华优秀传统文化传承发展工程意见》，深入开展“我们的节日”主题活动，某校七年级在端午节来临之际，成立了四个社团：A

包粽子，B

腌咸蛋，C

酿甜酒，D

摘艾叶．每人只参加一个社团的情况下，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：本次共调查了

名学生；请补全条形统计图；学校计划从四个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图的方法，求同时选中A和C

两个社团的概率．21．如图，点 在 的边 上，，请从以下三个选项中①；②；③ ，选择一个合适的选项作为已知条件，使 为矩形．你添加的条件是

（填序号）；添加条件后，请证明 为矩形．水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是 ，今年龙虾的总产量是 ，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少 ，求今年龙虾的平均亩产量．如图

1，在 中， ，点 分别为边 的中点，连接 ．初步尝试： 与特例研讨：如图

2，若的数量关系是

，与 的位置关系是

．，先将与相交于点绕点 顺时针旋转

（

为锐角），，连接 ．得到 ，当点 在同一直线上时，①求 的度数；②求 的长．（3）深入探究：若 ，将绕点 顺时针旋转

，得到 ，连接， ．当在同一直线上时，利用所提供的备用图探究旋转角

满足 ，点数量关系，并说明理由．与的24．已知抛物线与

轴交于两点，交 轴于点．请求出抛物线 的表达式．如图

1，在 轴上有一点，点 在抛物线 上，点 为坐标平面内一点，是否存在点使得四边形 为正方形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图

2，将抛物线 向右平移

2

个单位，得到抛物线 ，抛物线 的顶点为 ，与

轴正半轴交于点 ，抛物线 上是否存在点 ，使得 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．答案1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】A4．【答案】C5．【答案】D6．【答案】B7．【答案】C8．【答案】D9．【答案】x≠210．【答案】【答案】甲【答案】3013．【答案】14．【答案】315．【答案】9.516．【答案】（1）（2）17．【答案】解：．18．【答案】解：∵，解①的解集为；解②的解集为，（

为常数，）与正比例函数（ 为常数，）∴原不等式组的解集为 ．19．【答案】（1）解：∵反比例函数的图象交于 两点，∴ ，解得 ，故反比例函数的表达式为，正比例函数的表达式 ．（

为常数， ）与正比例函数（ 为常数，）的图象交（2）解：∵反比例函数于 两点，根据反比例函数图象的中心对称性质，∴ ，设根据题意，得，，∴，解得 或，故点C

的坐标为或．20．【答案】（1）100（2）解：B

的人数：（人），补全统计图如下：．（3）解：根据题意，画树状图如下：一共有

12

种等可能性，选中A，C的等可能性有

2

种，故同时选中A

和C

两个社团的概率为 ．21．【答案】（1）答案不唯一，①或②（2）解：添加条件①， 为矩形，理由如下：在 中 ， ，在和中 ，∴∴，又∵，∴，∴，∴ 为矩形；添加条件②，在 中为矩形，理由如下：， ，在和中，∴∴，，∴ 为矩形，则去年龙虾的平均亩产量是，又∵ ，∴ ，∴【答案】解：设今年龙虾的平均亩产量是

x由题意得， ，解得 ，经检验， 是分式方程的解且符合题意，答：今年龙虾的平均亩产量 ．【答案】（1）MN= AC；MN//AC（2）解：①如图所示，连接 ， ，∵是的中位线，∴，∴∵将绕点 顺时针旋转（

为锐角），得到，∴；∵点在同一直线上时，∴又∵在中， 是斜边的中点，∴∴∴是等边三角形，∴，即旋转角∴∴是等边三角形，又∵，∴，∴，，，，∴∴ ，②如图所示，连接∵ ，∴ ，，∵，∴∴，，设，则，在中，，则，在∴中，，，解得：或（舍去）∴，（3）解：如图所示，当点在同一直线上时，且点 在上时，∵，∴，，设∵是，则的中位线，∴∴，∵将绕点 顺时针旋转，得到，∴，，∴∴，∵点在同一直线上，∴∴，∴在同一个圆上，∴∴∵∴，；如图所示，当在上时，∵∴在同一个圆上，设，则，将绕点 顺时针旋转，得到，设，则，则，∴，∵，∴，∵∴与

轴交于两点，交 轴于点，∴综上所述， 或24．【答案】（1）解：∵抛物线∴把 代入，得，解得，∴抛物线的解析式为：；（2）解：假设存在这样的正方形，如图，过点E

作于点R，过点F

作轴于点I，∴∵四边形是正方形，∴∴∴又∴∴∵∴∴∴ ；同理可证明：∴∴∴ ；（3）解：∵，对称轴为直线，∴抛物线的顶点坐标为令 则解得，，∴，即∴将抛物线的图象右平移

2

个单位后，则有：∴点B

在平移后的抛物线的对称轴上，，对称轴为直线∴∴设直线 的解析式为 ，把 代入得，解得，∴直线 的解析式为 ，当 时，∴ 此时∴∴又∴，∴ ∴所以，当点P

与点B

重合时，即点

P

的坐标为，则有．湖南省张家界市

2023

年中考数学试卷一、单选题1． 的相反数是（A．）B． C．2023D．2．如图是由

5

个完全相同的小正方体组成的立体图形，其主视图是（）A．B．C．D．3．下列运算正确的是（）A．C．B．D．4．下列说法正确的是（）扇形统计图能够清楚地反映事物的变化趋势对某型号电子产品的使用寿命采用全面调查的方式C．有一种游戏的中奖概率是 ，则做

5

次这样的游戏一定会有一次中奖D．甲、乙两组数据的平均数相等，它们的方差分别是 ，，则乙比甲稳定5．如图，已知直线 ， 平分 ， ，则 的度数是（）A．B．C．D．《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为 文．如果每株椽的运费是

3

文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问 文能买多少株椽？设 元购买椽的数量为x

株，则符合题意的方程是（ ）．B．C． D．7．“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边 的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ）A．D．8．如图，矩形B． C．的顶点A，C

分别在y轴、x轴的正半轴上，点D

在 上，且，反比例函数 的图象经过点D及矩形 的对称中心M，连接面积为

3，则k

的值为（ ）．若的A．2二、填空题B．3C．4D．59．“仙境张家界，峰迷全世界”，据统计，2023

年“五一”节假日期间，张家界市各大景区共接待游客约

864000人次．将数据

864000

用科学记数法表示为

．10．因式分解： =

．11．关于x

的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则

m

的取值范围是

．12．2023

年

4

月

24

日是我国第八个“中国航天日”，某校开展了一次航天知识竞赛，共选拔

8

名选手参加总决赛，他们的决赛成绩分别是

95，92，93，89，94，90，96，88．则这

8

名选手决赛成绩的中位数是

．13．如图，为的平分线，且到四边形，且，则四边形，将四边形 绕点 逆时针方向旋转后，得旋转的角度是

．14．如图，在平面直角坐标系中，四边形 是正方形，点 的坐标为 ， 是以点 为圆心，为半径的圆弧； 是以点 为圆心， 为半径的圆弧，

是以点 为圆心， 为半径的圆弧，是以点 为圆心， 为半径的圆弧，继续以点 ， ， ， 为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点 的坐标是

．三、解答题15．计算：．先化简 ，然后从 ，1，2

这三个数中选一个合适的数代入求值．为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用

45

座客车若干辆，但有

15

人没有座位；若租用同样数量的

60

座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲