新高考一卷主题搞定之第十题教师版

新高考一卷逐题搞定第十题真题展示已知函数，则（

）A．有两个极值点 B．有三个零点C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线【答案】AC【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，，令得或，令得，所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；因，，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误；令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：AC.优秀模拟题多选题1．（2022·全国·模拟预测）已知函数为奇函数，且其函数图象关于直线对称，若函数在定义域上的值不全为零，则下列式子中正确的是（

）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】根据函数为奇函数，得到，赋值后得到，，A正确，D错误；结合的函数图象关于直线对称，得到关于轴对称，从而得到，C正确；求出函数周期，从而得到D正确.【详解】因为为奇函数，所以，则，即，A正确；由得：，即，D错误；又的函数图象关于直线对称，所以关于直线对称，所以，因为，所以，所以，即，故，因为，所以所以函数周期，故，B正确；由A选项，结合，可得，即所以，C正确.故选：ABC2．（2022·广东·珠海市第三二模）已知函数，下列说法正确的有（

）A．曲线在处的切线方程为B．的单调递减区间为C．的极大值为D．方程有两个不同的解【答案】ABC【分析】对于A，利用导数的几何意义求解即可，对于B，对函数求导后，由导数小于零可求得结果，对于C，求导后求出函数的单调区间，从而可求出函数的极大值，对于D，画出的图象，利用图象求解.【详解】因为，，所以，对于A，，则在处的切线方程为，所以A正确；对于B，令，解得，所以的单调递减区间为，所以B正确；对于C，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为，所以C正确；对于D，由D的解析知在上单调递增，在上单调递减，且，当时，，当时，，所以画出的图象，如图，方程解的个数，即的图象与的交点个数，由图知只有一个解，所以D错误．故选：ABC．3．（2022·广东广州·一模）已知函数，则下列选项正确的有（

）A．函数极小值为1B．函数在上单调递增C．当时，函数的最大值为D．当时，方程恰有3个不等实根【答案】AC【分析】求导得，分析的单调性，进而可得极大值、极小值与最值，即可判断ABC是否正确；作出的图象，结合图象即可判断D是否正确.【详解】对于AB：，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的极大值为，的极小值为，故A正确，B错误；对于C：由函数单调性知，在上单调递增，在上单调递减，在上递增，且，，故函数的最大值为，故C正确；对于D：当时，，时，，且的极大值为，的极小值为，由上述分析可知，的图象为：由图象可得当或时，有1个实数根，当或时，有2个实数根，当时，有3个实数根，故D错误.故选：AC.4．（2022·全国·模拟预测）已知函数，则（

）A．是偶函数B．单调递增C．曲线在点处切线的斜率为D．【答案】BD【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断A，根据导函数即可判断函数单调性，根据导数的几何意义，即可求切线斜率，根据函数单调性和奇偶性，即可比较的大小.【详解】解：函数定义域为R，又，所以函数为奇函数，故A错误；，当时，，当时，，，所以，所以，当时，，，所以，所以，综上恒成立，故单调递增，故B正确；由B得，曲线在点处切线的斜率为，故C错误；因为在R上单调递增，且，所以，所以，故D正确.故选：BD.5．（2022·海南·模拟预测）若时，关于的不等式恒成立，则实数的值可以为（

）（附：）A． B． C． D．【答案】BD【分析】采用参变分离的方法可得恒成立，令，利用导数可求得的单调性，由此可得，进而确定的范围，对比选项可得结果.【详解】由题意知：当时，恒成立；令，则，令，则，当时，恒成立，即恒成立，在上单调递增，，，即实数的取值范围为.，，，.故选：BD.【点睛】思路点睛：本题考查利用导数求解函数恒成立的问题，解决本题中的恒成立问题的基本思路是采用参变分离的方法，将恒成立的不等式转化为，由此可将问题转化为最大值的求解问题.6．（2022·湖北·丹江口市第一模拟预测）已知函数，设函数，则下列说法正确的是（

）A．若有4个零点，则B．存在实数t，使得有5个零点C．当有6个零点时．记零点分别为，且，则D．对任意恒有2个零点【答案】BC【分析】由可得或，作函数的图象，观察图象判断A，B，D，由条件观察图象确定的关系，由此判断C，【详解】的大致图像如图所示，令，即，即或．若有4个零点，则实数t的取值范围为或或，故A项错误；由图可知，当时，有5个零点，故B项正确；当有6个零点时，则，所以，即有，故C项正确；当时，有4个零点，故D项错误，故选：BC．7．（2022·山东省北镇模拟预测）已知函数，其中实数，点，则下列结论正确的是（

）A．必有两个极值点B．当时，点是曲线的对称中心C．当时，过点可以作曲线的2条切线D．当时，过点可以作曲线的3条切线【答案】ABD【分析】对求导，得到的单调性，判断的极值点个数可判断A；当时，计算可判断B；当时，设切点为，求出过点的切线方程，通过求可判断C；设切点为，求出过点的切线方程，令所以过点可以作曲线的切线条数转化为与图象的交点个数即可判断D.【详解】对于A，，令，解得：或，因为，所以令，得或，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值.所以A正确；对于B，当时，，，，所以点是曲线的对称中心，所以B正确；对于C，当时，，令，，设切点为，所以在点处的切线方程为：，又因为切线过点，所以，化简得：，，所以过点不可以作曲线的切线，所以C不正确；对于D，，设切点为，所以在点处的切线方程为：，又因为切线过点，所以，解得：，令所以过点可以作曲线的切线条数转化为与图象的交点个数.,则在上单调递增，在上单调递减，，如下图所示，当时，过点可以作曲线的3条切线.故D正确.故选：ABD.8．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知函数与的定义域均为，分别为的导函数，，，若为奇函数，则下列等式一定成立的是（

）A． B．.C． D．【答案】ACD【分析】将去代入已知等式可构造方程组得到，由此可得关于对称；结合为偶函数可推导得到是周期为的周期函数，则可得C正确；令，代入中即可求得A正确；令，由可推导得到D正确；设，由可知，结合可知，由此可得，知B错误.【详解】由得：，，关于中心对称，则，为奇函数，，左右求导得：，，为偶函数，图象关于轴对称，，是周期为的周期函数，，C正确；，，又，，A正确；令，则，，又，，，即，D正确；，，设，则，，又为奇函数，，，即，B错误.故选：ACD.【点睛】结论点睛：本题考查利用抽象函数关系式求解函数周期性、对称性、奇偶性的问题；对于与导数有关的函数性质，有如下结论：①若连续且可导，那么若为奇函数，则为偶函数；若为偶函数，则为奇函数；②若连续且可导，那么若关于对称，则关于点对称；若关于对称，则关于对称.9．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（

）A． B．C．为奇函数 D．为偶函数【答案】BD【分析】结合诱导公式化简即可得到AB正误；利用诱导公式可得，根据奇偶性的定义可知CD正误.【详解】对于AB，，A错误，B正确；对于CD，；由得：，即定义域为，关于原点对称；令，则，，为偶函数，即为偶函数，C错误，D正确.故选：BD.10．（2022·湖南永州·一模）对于函数，则（

）A．有极大值，没有极小值B．有极小值，没有极大值C．函数与的图象有两个交点D．函数有两个零点【答案】AD【分析】对函数求导，通过求导判断函数的单调性从而可知函数是否有极值；画出函数与的图象从而可判断交点个数；函数有两个零点价于函数与图像有两个交点，数形结合即可判断.【详解】，则，因为在恒成立.所以当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；所以在处有极大值，没有极小值，故A正确，B错误；根据的单调性，画出函数图像，以及的图象，如图：由此可知，函数与的图象只有一个交点，故C错误；函数有两个零点等价于函数与图像有两个交点，如下图所示：由此可知，函数与图像有两个交点，即函数有两个零点；故D正确.故选：AD.11．（2022·吉林·长春吉大附中实验模拟预测）定义域和值域均为（常数）的函数和图像如图所示，给出下列四个命题，那么，其中正确命题是（

）A．方程有且仅有3个解 B．方程有且仅有3个解C．方程有且仅有7个解 D．方程有且仅有1个解【答案】ACD【分析】通过利用或，结合函数和的图像，分析每个选项中外层函数的零点，再分析外层零点对应的直线与内层函数图像的交点个数，即可得出结论.【详解】解：对于A中，设，则由，即，由图像知方程有三个不同的解，设其解为，，，由于是减函数，则直线与函数只有1个交点，所以方程，，分别有且仅有一个解，所以有且仅有3个解，故A正确；对于B中，设，则由，即，由图像可得有且仅有一个解，设其解为b，可知，则直线与函数只有2个交点，所以方程只有两个解，所以方程有两个解，故B错误；对于C中，设，若，即，方程有三个不同的解，设其解为，，，设，则由函数图像，可知，，由图可知，直线和直线分别与函数有3个交点，直线与函数只有1个交点，所以或或共有7个解，所以共有7个解，故C正确；对于D中，设，若，即，由图像可得有且仅有一个解，设其解为b，可知，因为是减函数，则直线与函数只有1个交点，所以方程只有1解，所以方程只有一个解，故D正确.故选：ACD.12．（2022·江苏南通·模拟预测）已知分别是函数和的零点，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】把函数的零点转化两个函数图像交点的横坐标，再结合反函数图像的特点得到点和关于点对称，根据可判断A、B选项；结合反函数的性质可以判断C选项；利用特殊值的思路得到的范围即可判断D选项.【详解】因为，分别是函数，的零点，所以，，那么，可以看做函数和与函数图像交点的横坐标，如图所示，点，，分别为函数，，的图像与函数图像的交点，所以，因为函数和互为反函数，所以函数图像关于的图像对称，的图像也关于的图像对称，所以点和关于点对称，，，故AB正确；由反函数的性质可得，因为单调递增，，所以，所以，故C错；当时，函数对应的函数值为，函数对应的函数值为，因为，所以，所以的范围为，那么，而，所以，故D正确.故选：ABD.13．（2022·湖南永州·一模）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．若函数有4个零点，则实数的取值范围为B．关于的方程有个不同的解C．对于实数，不等式恒成立D．当时，函数的图象与轴围成的图形的面积为【答案】ABD【分析】根据题意先求的解析式，先判断的单调性与最值，对A：将题意转化为：与有四个交点结合图象分析判断；对B：将题意转化为：与的交点个数，分析判断；对C：取特指，代入运算判断；对D：根据图象结合题意运算求解.【详解】∵，则在的图象是将的图象沿轴方向伸长为原来的3倍、沿轴方向缩短为原来的一半∴则在上单调递增，在上单调递减∴在上的最大值为，最小值为，即在上的值域为对于A，令，即，则与有四个交点作出时的图象，如图1：分别与连线的斜率为结合图象可得：实数的取值范围为，A正确；对于B，令，则∴方程的根的个数即为与的交点个数当时，的最大值为∴与有且仅有一个交点，当时，则有：①当时，在上的最大值为，则与在内有两个交点∴当，与有交点②当，则在上的最大值为∴与有且仅有一个交点③当时，在上的最大值为，则与在内没有交点∴当，与没有交点∴当，与的交点个数为当时，也成立∴关于的方程有个不同的解，B正确对于，因为图象过点，令，则，C错误对于D，由题意可得：当时，函数的图象与轴围成的图形为三角形，其底边长为，高为∴当时，函数的图象与轴围成的图形的面积为故选：ABD.【点睛】①对于类周期性函数的理解可以结合函数图象的变换理解函数图象或求其解析式；②关于函数零点或方程的根问题，我们常常转化为图象的交点，数学结合处理问题.14．（2022·吉林·长春吉大附中实验模拟预测）已知函数，满足，又的图像关于点对称，且，则（

）A． B．C．关于点对称 D．关于点对称【答案】ABD【分析】先分析函数的对称性和周期性，再逐项分析即可求解.【详解】令，由得：，，即的一条对称轴是，又关于对称，令，即，，是奇函数；，的周期为8；对于A：正确；对于B：，正确；对于D：令，将代入得，即要证明关于对称，显然由，故关于对称，即关于对称，正确；对于C：同上，将代入得，即显然不是的对称点，错误；故选：ABD.15．（2022·吉林·长春吉大附中实验模拟预测）关于函数，下列描述正确的有（

）A．在区间上单调递增 B．的图象关于直线对称C．若则 D．有且仅有两个零