第4章 综合指标分析

第四章综合指标分析第四节变异指标第三节平均指标第二节相对指标第一节总量指标目录CONTENTS2原始数据加工数据统计指标静态分布动态趋势总量指标绝对规模相对指标相对关系平均指标集中趋势变异指标离散趋势水平指标绝对规模速度指标相对变化因素分析趋势预测人口总数人口性别比例平均年龄年龄标准差不同年份人口数人口自然增长率人口数量模型4第一节总量指标一总量指标的概念二总量指标的作用总量指标的种类三四四总量指标的计量单位总量指标的种类五Excel应用举例一、总量指标

反映社会经济现象在一定条件下的总规模、总水平或工作总量的统计指标，即数量指标，也称为绝对数。总量指标是认识社会经济现象的起点；是实行社会管理的基本依据；是计算其他统计指标的基础。总量指标的作用：总体标志总量总体单位总量按反映的总体内容不同分为：总量指标的基本分类按反映的时间状况不同分为：时期指标时点指标按计量单位不同分为：实物指标价值指标劳动指标总体标志总量总体单位总量一个总体中只有一个单位总量，但可以有多个标志总量，它们由总体单位的数量标志值汇总而来。例如：研究某城市居民家庭消费水平，居民家庭月消费总额是标志总量；居民家庭数是总体单位总量。总体单位某一数量标志的标志值总和总体所包含的总体单位的数量总量指标的基本分类时期指标时点指标表明现象总体在一段时期内发展过程的总量，如在某一段时期内的出生人数、死亡人数表明现象总体在某一时刻（瞬间）的数量状况，如在某一时点的总人口数具有可加性、数值大小与时期长短有直接关系、需要连续登记汇总不具有可加性、数值大小与时期长短没有直接关系、由一次性登记调查得到总量指标的基本分类出生人数人口总数死亡人数t1时段t2时段t3时段t关于一个人口总体的总量指标时期指标时点指标实物单位自然单位度量衡单位标准实物单位价值单位劳动单位总量指标的计量单位多个单位的结合运用：复合单位双重单位多重单位（如：人·次、吨·公里）（如：人/平方公里）（如：艘/吨/千瓦）适用范围综合能力差强大小如：台、件如：米、平方米如：标准吨如：工日、工时如：元

公顷

人辆计量单位单一单位复合单位：工时、吨公里等自然单位：个、台等度量衡单位：吨等12第二节相对指标一相对指标的概念和作用二相对指标的表现形式相对指标的种类和计算方法三四四正确运用相对指标的原则甲企业乙企业利润总额资金占用资金利润率500万元5000万元3000万元40000万元16.7%12.5%比较两厂经济效益不可比不可比可比第二节相对指标指用两个有联系的指标进行对比的比值来反映社会经济现象数量特征和数量关系的综合指标，也称为相对数。相对指标将对比基础抽象化，是一种抽象化的数值；抽象化掩盖了绝对数的规模。相对指标的特点：总人数30人男生人数20人女生人数10人男生比重为2/3女生比重为1/3男女比例为2:1总量指标非总量指标相对指标无名数有名数用倍数、系数、成数、﹪、‰等表示用双重计量单位表示的复名数相对指标的基本表现形式倍数与成数应当用整数的形式来表述5倍、3成、近7成3.25倍、8.6成

分母为1分母为1.00分母为10分母为100分母为1000反映现象间数量对比关系；男：女=10：7三次产业之比为2：3：5弥补总量指标的不足，使不能直接对比的现象找到共同的比较基础；大小企业经济效益对比，劳动生产率高低用来综合反映有关经济现象之间的联系程度。例如：比率、速度、程度2021年GDP增长8.1%相对指标的作用：相对指标的种类与计算结构相对数比例相对数比较相对数计划完成程度相对数强度相对数动态相对数掌握它们的计算和作用。

说明⒈为无名数；⒉同一总体各组的结构相对数之和为1；⒊用来分析现象总体的内部构成状况；4.分子分母不能互换结构相对数公式概念总体内某一部分数值与总体全部数值对比的比值。说明总体内部构成情况。表示：一般用％分子与分母比较同:总体、内容、时间；异：范围哦，恩格尔系数就是结构相对数。例：某工厂共生产某种产品1000件，其中合格品为940件，次品为60件。则

⒈为无名数，可用百分数或一比几或几比几表示；⒉用来反映组与组之间的联系程度或比例关系；3.分子、分母可互换。说明比例相对数概念公式分子与分母比较同一总体内不同组成部分的指标数值对比的结果，表明总体内部的比例关系。同：总体、内容、时间；异：范围哦，男女性别比是比例相对数。例：我国某年国民收入使用额为19715亿元，其中消费额为12945亿元，积累额为6770亿元。则

⒈为无名数，一般用倍数、系数表示；⒉用来说明现象发展的不均衡程度；3.注意对比指标必须是同质现象；4.分子、分母可互换说明比较相对数概念公式两个同类现象在同一时间不同国家、不同地区、不同单位对比。分子与分母比较同：时间、内容；异：总体例：某年某地区甲、乙两个公司商品销售额分别为5.4亿元和3.6亿元。则

是同一现象在不同时期的两个数值进行动态对比得出的相对数。动态相对数公式⒈为无名数；⒉用来反映现象的数量在时间上的变动程度;3.分子分母不能互换、同一总体说明分子与分母比较同：总体、内容；异：时间

强度相对数是同总体同时间两个不同性质有联系的指标数值对比的结果。（不同指标对比）⒈一般为有名数，有时用无名数；⒉分子分母有时可互换，形成正指标和逆指标如：劳动生产率具有平均含义，但不同于平均指标(分子、分母的不完全对应性）。说明分子与分母比较同：总体、时间；异：内容哦，人口密度就是强度相对数。强度相对数无名数的强度相对数一般用﹪、‰表示。其特点是分子来源于分母，但分母并不是分子的总体，二者所反映现象数量的时间状况不同。例：某年某地区年平均人口数为100万人，在该年度内出生的人口数为8600人。则该地区

作用：①反映一国一地的发展水平、力量强弱。②反映事物存在的密度、普遍程度、运动强度、负担强度。③反映经济效益的高低。例：某地区某年末现有总人口为100万人，医院床位总数为24700张。则该地区

（正指标）（逆指标）为用双重计量单位表示的复名数，反映的是一种依存性的比例关系或协调关系，可用来反映经济效益、经济实力、现象的密集程度等。有名数的强度相对数

直接应用上述公式:A.计划任务数表现为绝对数和平均数时计划完成程度相对数例1：己知某厂2021年的计划产品产量为2000件，实际产量为2400件。则：

超额完成（或未完成）绝对数=实际完成数－计划数例2：己知某企业劳动生产率计划达到8000元/人，某种产品计划单位成本为100元，该企业实际劳动生产率达到9200元/人，该产品实际单位成本为90元。则：

计算结果表明，该企业劳动生产率实际比计划提高了15%，而某产品单位成本实际比计划降低了10%。（正指标）（逆指标）计划执行进度相对数的计算方法

可以分段检查计划进行的松紧情况。例3.某企业某年计划生产某种产品2000件，第一、第二、第三季度实际产量分别为：450件、560件、600件。截至第三季度末，该产品的产量计划执行进度为：

计算结果表明，截至第三季度末，应完成全年计划任务的75%，而实际计划执行进度为80.5%，说明达到了进度要求。计划执行过程中要时刻监督，可以用该指标衡量计划完成的程度。在检查中长期计划的完成情况时，根据计划指标的性质不同，计算可分为水平法和累计法。水平法

根据计划末期（最后一年）实际达到的水平与计划规定的同期应达到的水平相比较，来确定全期是否完成计划。

例4：某旅游公司按5年计划规定的最后一年的接待人数应达到50万人，实际执行情况如下表。采用水平法计算，只要有连续1年时间（可以跨年度）实际完成水平达到最后一年计划水平，就算完成了5年计划，余下的时间就是提前完成计划时间。在此例中，实际从5年计划的第四年第三季度到第五年第二季度连续1年的人数达到了50万人，剩下下半年时间就是提前完成计划时间。年度第一年第二年第三年第四年第五年上半年下半年第一季度第二季度第三季度第四季度第一季度第二季度第三季度第四季度接待人数4345222511121212.212.8131314

累计法根据整个计划期间实际完成的累计数与同期计划数相比较，来确定计划完成程度。

例5：同例4数据，如果该旅游公司五年计划累计接待游客208万人。提前完成计划时间=（计划期月数－实际完成月数）+（超额完成计划数/超额期日均完成数）

计算结果说明：该旅游公司超额12.98%完成五年计划。提前两个季度完成计划任务（43+45+22+25+11+12+12+12.2+12.8+13=208）。

B.计划任务数表现为相对数时例6：己知某厂2021年的计划规定产品产量要比上年实际提高5﹪而实际提高了7﹪。则

例7：己知某厂2021年的计划规定产品成本比上年降低5%，实际降低提高6﹪。则

即实际比计划单位成本下降了1.05%.百分点相当于百分数的计量单位，一个百分点就指1﹪。

上例6中，实际比计划多提高的百分点为（7﹪-5﹪）×100=2（个百分点）实际工作中常用，但并不是相对数正确选择对比基础；指标对比要有可比性；相对指标要与总量指标结合运用；多种相对指标结合运用。使用相对指标应注意的问题正确选择对比基础本单位历史水平本行业（全国）平均（先进）水平经济效益指数＝某经济效益指标实际值该经济效益指标标准值价格定基指数＝某期价格水平某固定基期的价格水平经济发展、价格水平均较为正常的时期注意指标间的可比性

2019年的工业总产值（当年价格）1980年的工业总产值（当年价格）2018年中国的国民收入（人民币元）2018年美国的国民收入（美元）

相对指标抽象掉了具体的数量差异:1:2=50%10000:20000=50%1998年相对于1997年，美国的GDP增长速度为3.9％，同期中国GDP增长速度为7.8％，恰好为美国的2倍；但根据同期汇率（1美元兑换8.3元人民币），1998年中国GDP总量约合9671亿美元，约相当于同期美国GDP总量84272亿美元的1/9。相对指标应当结合总量指标使用结构相对数比例相对数比较相对数动态相对数计划完成相对数强度相对数（部分与总体关系）（部分与部分关系）（横向对比关系）（纵向对比关系）（实际与计划关系）（关联指标间关系）多种相对指标应当结合运用人口性别比为1.03：11999年末我国共有总人口12.6亿人，其中男性人口为6.4亿，女性人口为6.2亿。男性人口的比重为50.8﹪比1980年末的9.9亿人增加了28﹪人口密度是美国的4.5倍人口密度为130人/平方公里人口出生率为15.23‰女性人口的比重为49.2﹪数据分布特征的测度数据特征的测度众数中位数平均数方差和标准差峰态系数四分位差全距偏态系数分布的形状集中趋势离散程度平均差离散系数45第三节平均指标一平均指标的含义、特点、作用和种类二数值平均数四三位置平均数第三节平均指标又称平均数，是反映社会经济现象总体各单位某一数量标志在一定时间、地点和条件下所达到的一般水平的综合指标。反映总体分布的集中趋势。平均指标平均数数值平均数位置平均数算术平均数调和平均数几何平均数中位数众数平均指标的作用概括说明总体的数量特征；对比同类现象在不同条件下的差异；分析现象的依存关系；消除不同总体数量差异，进行估计推算。基本形式：例：直接承担者※注意区分算术平均数与强度相对数算术平均数算术平均数与强度相对数的比较1、概念不同。强度相对数是两个有联系而性质不同的总体对比而形成相对数指标。算术平均数是反映同质总体单位标志值一般水平的指标。2、主要作用不同。强度相对数反映两不同总体现象形成的密度、强度。算术平均数反映同一现象在同一总体中的一般水平。3、计算公式及内容不同。算术平均数分子、分母分别是同一总体的标志总量和总体单位数，分子、分母的元素具有一一对应的关系，即分母每一个总体单位都在分子可找到与之对应的标志值，反之，分子每一个标志值都可以在分母中找到与之对应的总体单位。而强度相对数是两个总体现象之比，分子分母没有一一对应关系。STAT算术平均数83名女生的身高变量一般水平、代表性数值分布的集中趋势、中心数值算术平均数算术平均数的计算算术平均数=总体标志总量总体单位总数数据集数据个数N简单算术平均数A.简单算术平均数——适用于总体资料未经分组整理、尚为原始资料的情况式中：为算术平均数;为总体单位总数；为第i个单位的标志值。算术平均数的计算方法算术平均数的计算方法某班40名学生《统计学》成绩如下：【例】89、88、76、99、74、60、82、60、89、86、92、85、70、93、99、94、82、77、79、97、78、95、84、79、63、72、87、84、79、65、98、67、59、83、66、65、73、81、56、77简单算术平均数特点受各变量值本身大小的影响不会超过变量值的变动范围受极端变量值的影响较明显B.加权算术平均数——适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况式中：为算术平均数;为第组的次数；为组数；为第组的标志值或组中值。算术平均数的计算方法【例】某企业某日工人的日产量资料如下：日产量（件）工人人数（人）15161718192061017282217合计100计算该企业该日全部工人的平均日产量。算术平均数的计算方法

解：算术平均数的计算方法若上述资料为组距数列，则应取各组的组中值作为该组的代表值用于计算；此时求得的算术平均数只是其真值的近似值。说明【例】某企业50名工人加工零件均值计算表如下：按零件分组组中值x频数fxf105～110110～115115～120120～125125～130130～135135～140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5358141064322.5562.5940.01715.01275.0795.0550.0合计-----506160.0算术平均数的计算方法解：加权算术平均数的大小，不仅取决于研究对象的变量值，而且受各变量值重复出现的频数的影响，频数大的组对算术平均数影响就大。分析：成绩（分）人数（人）甲班乙班丙班603915010013950平均成绩（分）619980起到权衡轻重的作用算术平均数的计算方法决定平均数的变动范围思考1思考：若分组资料中的各组权数f均相等，即加权算术平均数简单算术平均数表现为次数、频数、单位数；即公式中的表现为频率、比重；即公式中的指变量数列中各组标志值出现的次数，是变量值的承担者，反映了各组的标志值对平均数的影响程度权数绝对权数相对权数思考2思考:绝对权数与相对权数的区别权重比重重要程度234567819权数与加权234567819权数与加权234567819权数与加权234567819权数与加权234567819权数与加权234567819算术平均数的计算取决于变量值和权数的共同作用：变量值决定平均数的范围；权数则决定平均数的位置⒈变量值与其算术平均数的离差之和衡等于零，即：⒉变量值与其算术平均数的离差平方和为最小，即：算术平均数的主要数学性质离差的概念12345678-1-1-213交替标志平均数1、概念：交替标志又称是非标志，它是一个只有两种答案的标志。如：性别只有男、女；一批产品只有合格品、不合格品等就可用是非标志来反映。2、表示形式：1：具有某种属性的单位标志值。0：不具有某种属性的单位标志值。N：全部总体单位数。N1：具有某种属性的总体单位数。N2：不具有某种属性的总体单位数。P=N1/N：具有某种属性的单位数所占的比重。Q=N2/N：不具有某种属性的单位数所占的比重。其中：P+Q=1交替标志平均数是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，又叫倒数平均数调和平均数具体分为简单调和平均数和加权调和平均数

调和平均数与算术平均数基本原理是一致的，主要区别是掌握资料不同。A.简单调和平均数——适用于总体资料未经分组整理、尚为原始资料的情况式中：为调和平均数;

为变量值的个数；

为第个变量值。调和平均数的计算方法简单调和平均数—举例(1)我各买1公斤?(2)我各买1元?…

2.50元/kg2.00元/kg1.00元/kg(加权算术平均)两种计算结果为什么不一致?(1)平均价格=(2.5+2+1)/3=1.833(元/公斤)(2)平均价格:加权算术平均数=(2.5*0.4+2*0.5+1*1)/1.9=1.579(元/公斤)加权调和平均=(1+1+1)/(1/2.5+1/2+1/1)=1.579(元/公斤)举例计算:B.加权调和平均数——适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况式中：为第组的变量值；为第组的标志总量。调和平均数的计算方法——当已知各组变量值和标志总量时，作为算术平均数的变形使用。因为：调和平均数的应用x、f

为已知若只知

x和xf

，而f

未知，则不能使用加权算术平均方式，只能使用其变形即加权调和平均方式。苹果单价购买量总金额品种（元）（公斤）（元）红富士236青香蕉1.859日产量（件）各组工人日总产量（件）10111213147001100456019501400合计9710【例】某企业某日工人的日产量资料如下：计算该企业该日全部工人的平均日产量。调和平均数的应用即该企业该日全部工人的平均日产量为12.1375件。调和平均数的应用解调和平均数的特点易受极端值的影响，且受极小值的影响比受极大值的影响更大；只要有一个变量值为零，就不能计算调和平均数；应用范围较小。调和平均数与算术平均数

当m=xf时：加权调和平均数公式就变成加权算术平均数公式结论是:调和平均与算术平均的计算只是由于资料不同而出现的差异,其经济含义完全一致。算术平均数与调和平均数的其他应用

（教材P94）产值利润率（%）一季度二季度企业数（个）实际产值（万元）企业数（个）实际利润（万元）5－1010－2020－303070505700205002250050802071035142250合计150487001506474一季度的平均产值润率二季度的平均产值利润率比值的平均数的计算方法由于比值（平均数或相对数）不能直接相加，求解比值的平均数时，需将其还原为构成比值的分子、分母原值总计进行对比设比值分子变量分母变量则有：己知，采用基本平均数公式己知，采用加权算术平均数公式己知，采用加权调和平均数公式比值比值的平均数的计算方法【例A】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：计划完成程度（﹪）组中值（﹪）企业数（个）计划产值（万元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合计—1824900计算该公司该季度的平均计划完成程度。比值的平均数的计算方法【例A】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：计划完成程度（﹪）组中值（﹪）企业数（个）计划产值（万元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合计—1824900计算该公司该季度的平均计划完成程度。分析：

应采用加权算术平均数公式计算比值的平均数的计算方法【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下（按计划完成程度分组）：组别企业数（个）计划产值（万元）实际产值（万元）12342310380025001720044006802375180605060合计182490026175计算该公司该季度的平均计划完成程度。比值的平均数的计算方法【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下（按计划完成程度分组）：组别企业数（个）计划产值（万元）实际产值（万元）12342310380025001720044006802375180605060合计182490026175计算该公司该季度的平均计划完成程度。求解比值的平均数的方法分析：

应采用简单算数平均数基本公式计算比值的平均数的计算方法【例C】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：计划完成程度（﹪）组中值（﹪）企业数（个）实际产值（万元）90以下90～100100～110110以上8595105115231036802375180605060合计—1826175计算该公司该季度的平均计划完成程度。计划完成程度（﹪）组中值（﹪）X企业数（个）计划产值（万元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合计—1824900求解比值的平均数的方法【例C】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：分析：

应采用调和平均数的基本公式计算计算该公司该季度的平均计划完成程度。是N项变量值连乘积的开N次方根。几何平均数用于计算现象的平均比率或平均速度应用：各个比率或速度的连乘积等于总比率或总速度；相乘的各个比率或速度不为零或负值。应用的前提条件：A.简单几何平均数——适用于总体资料未经分组整理尚为原始资料的情况式中：为几何平均数;为变量值的个数；为第个变量值。几何平均数的计算方法【例】某流水生产线有前后衔接的四道工序。某日各工序产品的合格率分别为95﹪、94﹪、96﹪、97﹪，求整个流水生产线产品的平均合格率。分析：设最初投产100A个单位，则第一道工序的合格品为100A×0.95；第二道工序的合格品为（100A×0.95）×0.94；……第四道工序的合格品为（100A×0.95×0.94×0.96）×0.97；因该流水线的最终合格品即为第四道工序的合格品，故该流水线总的合格品应为100A×0.95×0.94×0.96×0.97；则该流水线产品总的合格率为：

即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算。

解：思考若上题中不是由四道连续作业的工序组成的流水生产线，而是四个独立作业的车间，且各车间的合格率同前，又假定各车间的产量相等均为100件，求该企业的平均合格率。几何平均数的计算方法因各车间彼此独立作业，所以有第一车间的合格品为：100×0.95；第二车间的合格品为：100×0.94；……第四车间的合格品为：100×0.97。则该企业全部合格品应为各车间合格品的总和，即总合格品=100×0.95+……+100×0.97几何平均数的计算方法分析：不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解比值的平均数的方法计算。又因为

应采用加权算术平均数公式计算，即B.加权几何平均数——适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况式中：为几何平均数;为第组的次数；为组数；为第组的标志值或组中值。几何平均数的计算方法【例】某金融机构以复利计息。近10年来的年利率有前4年为6﹪，中间3年为8﹪，后3年为10﹪。求平均年利率。设本金为V，则至各年末的本利和应为：第1年末的本利和为：

第2年末的本利和为：………………

第10年末的本利和为：分析：第2年的计息基础第10年的计息基础

则该笔本金10年总的本利率为：即10年总本利率等于各年本利率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故计算平均年本利率应采用几何平均法。

解：几何平均数的计算方法思考若上题中不是按复利而是按单利计息，且各年的利率与上相同，求平均年利率。分析第1年末的应得利息为：

第2年末的应得利息为：

第10年末的应得利息为：

…………设本金为V，则各年末应得利息为：则该笔本金10年应得的利息总和为：=V（0.06×4+0.08×3+0.1×3）这里的利息率或本利率不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解比值的平均数的方法计算。因为假定本金为V

所以，应采用加权算术平均数公式计算平均年利息率，即：

解：（比较：按复利计息时的平均年利率为7.79﹪）

【例】甲投资银行某项投资的年利率是按复利计算的，将过去20年的年利率资料整理为如表所示。要求：计算20年的平均年利率。

解：即平均年利率为8.27%。【例】已知某市2011-2015年国内生产总值的发展速度（以上年为100%）分别为112%、108%、114%、116%和113%。要求：计算这5年国内生产总值的平均发展速度。解：注意：如果已知的是各年的增长速度，要计算若干年的平均增长速度，则需要先将增长率加上100%得到发展速度，再根据上述方法计算平均发展速度，最后用平均发展速度减100%得到平均增长速度。几何平均数的特点受极端值的影响较算术平均数小；变量值应该均大于零；应用范围较小，仅适用于具有等比或近似等比关系的数据；几何平均数的对数是各变量值对数的算术平均数。是否为比率或速度各个比率或速度的连乘积是否等于总比率或总速度是否为其他比值是否否是否是几何平均法算术平均法求解比值的平均数的方法数值平均数计算公式的选用顺序指标算术平均与几何平均更为常用一些，其中几何平均数对小的极端值敏感，算术平均数对大的极端值敏感。注意某系83名女生身高资料（按序排列）次序统计量的概念

身高人数（CM）（人）152115421552156415711582159216012161716281634身高人数（CM）（人）1643165816651673168716911705171217231741总计83152154154155155156156156156157158158159159160160160160160160160160160160160160161161161161161161161162162162162162162162162163163163163164164164165165165165165165165165166166166166166167167167168168168168168168168169170170170170170171171172172172174将变量值按顺序排列起来，当反映分布集中趋势的度量值仅仅由数列中某个位置的值来确定时，这个值就称为次序统计量，也可以称为位置平均数。位置平均数与数值平均数的基本区别在于其不需要依据每一个变量值来计算。某系83名女生身高资料（按序排列）次序统计量的概念身高人数（CM）（人）152115421552156415711582159216012161716281634身高人数（CM）（人）1643165816651673168716911705171217231741总计83将变量值按顺序排列起来，当反映分布集中趋势的度量值仅仅由数列中某个位置的值来确定时，这个值就称为次序统计量，也可以称为位置平均数。位置平均数与数值平均数的基本区别在于其不需要依据每一个变量值来计算。152154154155155156156156156157158158159159160160160160160160160160160160160160161161161161161161161162162162162162162162162163163163163164164164165165165165165165165165166166166166166167167167168168168168168168168169170170170170170171171172172172174数列中点的值即第42个值指总体中出现次数最多的变量值，用表示,它不受极端数值的影响，用来说明总体中大多数单位所达到的一般水平。众数位置平均数众数（mode）：出现次数最多即出现频率最高的变量值。身高人数（CM）（人）152115421552156415711582159216012161716281634身高人数（CM）（人）1643165816651673168716911705171217231741总计83152154154155155156156156156157158158159159160160160160160160160160160160160160161161161161161161161162162162162162162162162163163163163164164164165165165165165165165165166166166166166167167167168168168168168168168169170170170170170171171172172172174众数的确定方法某年级83名女生身高资料

身高人数（CM）（人）152115421552156415711582159216012161716281634

身高人数（CM）（人）1643165816651673168716911705171217231741总计83众数MO＝160结论：根据定义确定单项式分布数列的众数。

身高人数比重（CM）（人）（%）150-15533.61155-1601113.25160-1653440.96165-1702428.92170以上1113.25

总计83100某年级83名女生身高资料众数的确定方法众数的原理及应用83名女生身高原始数据83名女生身高组距数列日产量（件）工人人数（人）101112131470100380150100合计800【例A】已知某企业某日工人的日产量资料如下:众数的确定（单值数列）计算该企业该日全部工人日产量的众数。众数的确定（组距数列）【例B】某车间50名工人月产量的资料如下：月产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合计50—计算该车间工人月产量的众数。概约众数：众数所在组的组中值，在本例为500件【例】某高校电影院在安排2016年影片放映计划时，为满足学生的需求，分别按性别随机抽取男女学生共400名，登记其对影片类型的取向。要求：分析学生对影片取向的集中趋势。解：对于男生而言，众数即为动作片这种影片类型；对于女生而言，众数即为言情片这种影片类型；男女生对影片类型的综合取向，众数即为动作片这种影片类型。当数据分布存在明显的集中趋势，且有显著的极端值时，适合使用众数；众数不一定存在，存在时也不一定是唯一的；当数据分布的集中趋势不明显或存在两个以上分布中心时，不适合使用众数（前者无众数，后者为双众数或多众数，也等于没有众数）众数的原理及应用出生1981.01980.01979.01978.01977.01976.01975.0160140120100806040200没有突出地集中在某个年份413名学生出生时间分布直方图众数的原理及应用（无众数）192.5190.5188.5186.5184.5182.5180.5178.5176.5174.5172.5170.5168.5166.5164.5162.5160.5158.5156.5154.5152.5150.5148.56050403020100413名学生的身高分布直方图（双众数）当数据分布呈现出双众数或多众数时，可以断定这些数据来源于不同的总体。出现了两个明显的分布中心众数的特点众数不受分布数列的极大或极小值影响，代表性强；当分组数列中没有明显的集中趋势，近似均匀分布时，该分配数列无众数；如果与众数组相邻的上下两组的次数相等，则众数组的组中值就是众数值；缺乏敏感性。将总体各单位标志值按大小顺序排列后，指处于数列中间位置的标志值，用表示中位数不受极端数值的影响，在总体标志值差异很大时，具有较强的代表性。中位数的作用：位置平均数中位数把标志值数列分为两个部分,一部分标志值小于或等于它,另一部分标志值大于或等于它.中位数的确定（未分组原始资料）首先，将标志值按大小排序；其次，按(n+1)/2确定中位数的位置；最后，按下面的方式确定中位数。（n为奇数）（n为偶数）中位数的位次为：

即第5个单位的标志值就是中位数

【例A】某售货小组9个人，某天的销售量按从小到大的顺序排列为26件、30件、33件、35件、39件、40件、42件、43件、46件，则中位数的确定（未分组资料）中位数的位次为

中位数应为第5和第6个单位标志值的算术平均数，即

【例B】若上述售货小组为10个人，某天的销售量按从小到大的顺序排列为26件、30件、33件、35件、36件、39件、40件、42件、43件、46件，则中位数的确定（未分组资料）【例】某班第一、第二两个小组《统计学》期末考试成绩排序结果如表所示，要求计算第一、第二两个小组考试成绩的中位数。

解：两个学习小组的考试成绩已经分别按由低到高的顺序排列第一小组，有7名学生，中位数所处的位置=4，即第四名学生的成绩75分就是中位数；第二小组，有8名学生，中位数的位置=4.5，即中位数是处于中间位置的两名学生成绩的平均数

中位数

中位数的确定（分组资料）单项数列确定中位数方法：首先，由确定中位数的位置；其次，按次数累计确定中位数。

组距数列确定中位数方法：首先，按确定中位数所在组的位置；其次，再按下限公式或上限公式确定中位数。下限公式上限公式中位数的确定（组距数列）共个单位共个单位共个单位共个单位LU中位数组组距为d共个单位假定该组内的单位呈均匀分布共有单位数

中位数下限公式为

该段长度应为【例C】某学校40名同学获奖学金资料如下：奖学金金额（元/人）获奖人数（人）向上累计次数（人）5001000150020002500300056897551119283540合计40—计算该学校奖学金金额的中位数。中位数的位次：

中位数的确定（单值数列）中位数的确定（组距数列）【例D】某车间160名工人日产量的资料如下：日产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）100以下100～110110～120120~130130~140140~1501500以上1018493526148102877112138152160合计160—计算该车间工人日产量的中位数。

中位数一定存在；中位数与算术平均数相近；中位数不受极端值影响；变量值与中位数离差绝对值之和最小；缺乏敏感性；有些离散型变量的单项式数列，当次数分布偏态时，中位数的代表性会受影响。中位数的作用及用法中位数一定存在；中位数与算术平均数相近；中位数不受极端值影响；变量值与中位数离差绝对值之和最小。中位数的作用及用法

变量值34556910中位数5平均值6与中位数离差-2-100145与平均数离差-3-2-1-1034绝对数值之和

13

14分位数1、分位数的概念中位数也称为二分位数，因为它具有通过一个点，将一组数据分为两半，一半在其之下，一半在其之上的特点。与其原理类似，分位数还有四分位数、十分位数、百分位数等。四分位数，是指将按升序排列的一组数据划分为4等分的3个变量值。十分位数，是指将按升序排列的一组数据通过9个点划分为10等分的9个变量值。百分位数，是将按升序排列的一组数据通过99个点划分为100个等分的99个变量值。2、分位数的计算四分位数、十分位数、百分位数的计算方法与中位数类似，在此只介绍四分位数的计算方法。设下四分位数为

，上四分位数为

，各四分位数的位置分别为：【例】某学习小组的统计学考试成绩如下表，要求（1）计算中位数、四分位数；（2）如果增加一个学生的成绩95分，试计算16个学生统计学考试成绩的中位数、四分位数。解：（1）（2）算术平均数、众数和中位数的比较(对称分布)正偏态分布（右）负偏态分布(左）XfXfXf算术平均数、众数和中位数的比较应用平均指标的基本原则总体的同质性是计算和应用平均指标的前提；应用算术平均数、调和平均数、几何平均数、众数和中位数，应注意各自特点和适用条件；用组平均数补充总体平均数。141第四节标志变异指标一标志变异指标的概念二标志变异指标的作用二三标志变异指标的计算集中趋势弱、离散趋势强集中趋势强、离散趋势弱第四节标志变异指标

标志变异指标统计上用来反映总体各单位标志值之间差异程度大小的综合指标，也称做标志变动度。

平均指标是一个代表性数值，它反映总体各单位某一数量标志的一般水平，而把总体各单位之间的差异抽象化了。但总体各单位之间的差异是客观存在的，这种差异也是统计总体的重要特征之一。因此，要全面反映一个总体的特征，还必须测定总体各单位之间差异程度。

作用1、衡量平均指标代表性的大小2、反映社会经济活动过程的均衡性和稳定性3、揭示总体变量分布的离中趋势4、计算抽样误差和确定样本容量的依据。测定标志变异度的绝对量指标（与原变量值名数相同）测定标志变异度的相对量指标（表现为无名数）全距平均差标准差全距系数平均差系数标准差系数标志变异指标的种类指所研究的数据中，最大值与最小值之差，又称极差。全距最大变量值或最高组上限或开口组假定上限最小变量值或最低组下限或开口组假定下限【例A】某售货小组5人某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，则标志变异指标的种类【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：计划完成程度（﹪）组中值（﹪）企业数（个）计划产值（万元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合计—1824900计算该公司该季度计划完成程度的全距。标志变异指标的种类优点:计算方法简单、易懂；缺点:易受极端数值的影响，不能全面反映所有标志值差异大小及分布状况，准确程度差往往应用于生产过程的质量控制中全距的特点标志变异指标的种类二、四分位差1、四分位差是指一组数据的上四分位数与下四分位数之差。四分位差2、优缺：计算简单，意义清楚，反映现象的差异程度较粗略和不全面，实用价值甚小。全距和四分位差均只使用部分数据进行计算。特点：（1）它反映了中间50%数据的离散程度（2）主要用于对顺序数据离散程度的测度（3）不受极端值的影响（4）用于衡量中位数的代表性【例】某学习小组的统计学考试成绩如下表，要求（1）计算中位数、四分位数；（2）如果增加一个学生的成绩95分，试计算16个学生统计学考试成绩的中位数、四分位数。解：（1）（2）

【例】前面例子中，依据人数分别为15、16的2个学习小组的《统计学》成绩计算了中位数、四分位数，试计算学生成绩的四分位差，并比较中位数的代表性。

解：（1）已知（2）已知结论：两组数据的中位数均为76分，因为，相对而言，第二组的中位数代表性相对大些，成绩波动范围小些。⑴简单平均差——适用于未分组资料是各个数据与其算术平均数的离差绝对值的算术平均数，用A.D表示平均差计算公式：总体算术平均数总体单位总数第个单位的变量值标志变异指标的种类【例A】有甲乙两个工作组各有10名员工，其年龄如下：甲：20222935363843484960乙：31363738393939404041求甲乙组年龄的平均差。解：

即乙组员工平均年龄代表性大于甲组员工。标志变异指标的种类⑵加权平均差——适用于分组资料平均差的计算公式总体算术平均数第组变量值出现的次数第组的变量值或组中值【例B】计算下表中某公司日产量的平均差日产量（件）组中值（件）职工人数（人）150～170170～190190～210210～230230～25016018020022024031219106合计—50

解：即该公司日产量的平均差为13.264件。优点:不易受极端数值的影响，能综合反映全部单位标志值的实际差异程度；缺点:用绝对值的形式消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题，不便于作数学处理和参与统计分析运算。平均差的特点一般情况下都是通过计算另一种标志变异指标——标准差，来反映总体内部各单位标志值的差异状况平均差的应用1、两个总体平均数相等条件下可以直接比较两个总体的平均差说明平均数代表性和总体内部差异程度。平均差越小说明代表性强，内部差异小。2、两个总体平均数不相等条件下不能直接比较平均差，应该计算平均差系数并比较系数。平均差系数与代表性成反比，与内部差异成正比。⑴简单标准差——适用于未分组资料是各个数据与其算术平均数的离差平方的算术平均数的开平方根，用来表示；标准差的平方又叫作方差，用

来表示。标准差计算公式：总体单位总数第个单位的变量值总体算术平均数【例A】有甲乙两个工作组各有10名员工，其年龄如下：甲：20222935363843484960乙：31363738393939404041求甲乙组年龄的标准差。解：（比较：甲乙的平均差分别为8.6岁和2岁）

即乙组年龄标准差小于甲组，平均年龄代表性更强。

⑵加权标准差——适用于分组资料标准差的计算公式总体算术平均数第组变量值出现的次数第组的变量值或组中值【例B】计算下表中某公司日产量的标准差。日产量（件）组中值（件）职工人数（人）150～170170～190190～210210～230230～25016018020022024031219106合计—50解：

（比较：其工资的平均差为13.264元）即该公司日产量的标准差为21.48元。

由同一资料计算的标准差的结果一般要略大于平均差。证明：当a,b,c≥0时，有标准差的特点不易受极端数值的影响，能综合反映全部单位标志值的实际差异程度；用平方的方法消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题，可方便地用于数学处理和统计分析运算.简单标准差加权标准差标准差的简捷计算避免离差平方和计算过程的出现目的:变量值平方的平均数变量值平均数的平方1.总体方差与标准差的计算公式总体标准差2.样本方差和标准差未分组数据：组距分组数据：未分组数据：组距分组数据：方差的计算公式标准差的计算公式注意：样本方差用自由度n-1去除!【例】考察一台机器的生产能力，利用抽样程序来检验其生产出来的产品质量是否稳定。根据标准，如果样本零件尺寸的标准差大于0.3厘米，则表明零件的质量不稳定，需对该机器进行停工检修。抽样搜集的数据如表，试判断该机器是否需要停工检修。解：结论：由于计算出来的样本标准差为0.2126厘米，小于0.3厘米，表明该台机器还不需要停工检修。【例】要求根据抽样获得的表中数据计算120名职工通信费用支出额的方差和标准差。解：

计算结果表明，样本中每名职工月通信费用支出额与月平均通信费用支出额165.5元的水平相比，差异有大有小，但平均偏差是51.4元。注意：标准差是一个重要的偏差，描述了各观察值与均值的平均距离。测定标志变异度的绝对量指标（与原变量值名数相同）测定标志变异度的相对量指标（表现为无名数）全距平均差标准差全距系数平均差系数标准差系数标志变异指标的种类可比变异系数指标身高的差异水平：cm体重的差异水平：kg用变异系数可以相互比较可比平均差系数标准差系数变异系数用来对比不同水平的同类现象，特别是不同类现象总体平均数代表性的大小:——标准差系数小的总体，其平均数的代表性大；反之，亦然。应用:各种变指标与其算术平均数之比。一般用V表示。【例】大一学生抽取100人，身高和体重的平均分别为168cm和52kg，相应的标准差分别为9cm和5kg，比较身高和体重的差异。解：

身高的标准差系数为：体重的标准差系数为：

因为，所以体重的差异大于身高差异。

【例】为了调查2015年职工的年收入，某管理局从其所属的两家企业中各随机抽取10名职工，调查获得他们的年收入数据如表所示，要求计算甲、乙企业的职工年平均收入及离散系数，说明两组数据的离散程度及平均数的代表性。

结论：计算结果表明，v乙<v甲，说明乙企业职工年收入的离散程度小于甲企业的。表明乙企业职工年收入平均水平比的甲企业的更具有代表性。v甲=4667014354.25=30.76%v乙=5338015277.4=28.62%解：3.标准分数标准分数是指一组数据中的单个变量值与其平均数的离差除以标准差的值，也称为标准化值，记为

。标准分数的计算公式为

（样本数据）

（总体数据）

（1）测度某一个变量值在一组数据中相对位置；（2）判断一组数据是否有离群点(离群数