探索勾股定理 省赛获奖

初中数学八年级——勾股定理勾股定理探索与验证

这是我们中国古代的一道数学问题，它的求解，将要涉及今天我们开始学习的新的一章《勾股定理》的知识。创设情境，揭示问题湖静浪平六月天，荷花半尺出水面；忽来一阵狂风急，吹倒荷花水中偃；湖面之上不复见，入秋渔翁始发现；残花离根二尺远，试问水深尺若干。

勾股定理有着悠久的历史。古巴比伦的人和古代中国人看出了这个关系；古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这个关系。很多具有古老文化的民族和国家都会说：我们首先认识的数学定理是勾股定理。人类一直想要弄清其他星球是否存在着“人”，并试图与“他们”取得联系。那么我们怎样才能与“外星人”接触呢？我们曾用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号。

勾股定理有着悠久的历史。古巴比伦的人和古代中国人看出了这个关系；古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这个关系。很多具有古老文化的民族和国家都会说：我们首先认识的数学定理是勾股定理。人类一直想要弄清其他星球是否存在着“人”，并试图与“他们”取得联系。那么我们怎样才能与“外星人”接触呢？我们曾用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号。

现在我们大家来试一试：我们可不可以发现勾股定理！温故知新三角形按边分类按角分类探索研究，学习新知直角边1直角边2斜边1：342：68快乐之旅试一试请你用刻度尺和直角三角尺画图：1、用直角三角板画出直角；2、用刻度尺画出两条直角边，一条长3厘米，另一条为4厘米。3、画出斜边，并度量出斜边的长度。4、再用相同的方法画出直角边为6、8的直角三角形，量出斜边的长度，并将各边的长度填入下表（不清楚操作过程的看老师在黑板上的操作）510

你想一想：这直角三角形三边之间有没有一定的等量关系？1.在方格纸上画一个顶点都在格点上的直角三角形ABC，使两直角边分别为3cm和4cm，如图3-79所示，试量出它的斜边c的长度.探究b=4ACc=?我量的为5cm.Ba=3（图中每个小方格代表一个单位面积）abcACB9个单位面积9个单位面积18个单位面积直角边a2+直角边b2=斜边c2

在下面的直方格图中，有一个等腰直角三角形，并分别以三边为边长作出了正方形，请你观察并思考：

（1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流。观察思考：ABC（单位面积）ABC我们也可以采用计算的方法,找出直角三角形三边的关系此处是如何计算出C的面积的?ABC图1-3反思:注意分割的方法,分割成若干个直角边为整数的三角形（面积单位）问题:如果不是等腰直角三角形,是否同样具有其相同的性质呢?我们注意观察右图:

SA+SB=SC即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积

勾股定理（gou-gutheorem)

如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。abc勾股弦在西方又称毕达哥拉斯定理！概括:

我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的边称为股，斜边称为弦。在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.勾股数学医院a2+b2=c2是勾股定理的基本表达式,你可以写出那些它基本的变化形式呢?把你的想法写在草稿上,与同学交流一下.a2+b2=c2a2=c2-b2b2=c2-a2平方形式:abc表达形式1、判断：(1)已知a、b、c是三角形的三边，则a2+b2=c2()(2)在直角三角形中两边的平方和等于第三边的平方。（）(3)在直角三角形ABC中,,则a2+b2=c2

（）2、填空：在直角三角形ABC中，∠C=900（1）如果a=3，b=4，则c=（2）如果a=6，C=10，则b2=

举手发言×××564勾股定理的故事美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．

美国总统能证明勾股定理，我们也能证明勾股定理！1876年、周末、傍晚、美国首都华盛顿的郊外、俄亥俄州共和党议员伽菲尔德、散步，欣赏黄昏的美景．一个小石凳上，有两个小孩正在争论．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．伽菲尔德问他们在干什么？小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德语塞，无法解释，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

我们将利用拼图法来证明勾股定理：cab

请大家相互合作，用准备好的四个直角三角形纸板拼成一个正方形，拼一拼看，你们能拼出几种正方形？

根据你拼的正方形，你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？勾股定理的证明合作探究cabcabcabcabcabcabcabcabcabcabcab∵(a+b)2=

c2+4•ab/2a2+2ab+b2=

c2+2ab∴a2+b2=c2

大正方形的面积可以表示为________；也可以表示为________.(a+b)2c2+4•ab/2想一想：我们如何利用上面的图形建立关于直角三角形的三边关系呢？指点迷津

1.将图沿中间的小正方形的对角线剪开，得到如图所示的梯形.利用此图的面积表示式验证勾股定理.

2.如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆.试探索三个圆的面积之间的关系.

3.如图，已知直角三角形ABC的三边分别为6、8、10，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积.4.如图，以Rt△ＡＢＣ的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．反思:我们用面积方法验证了勾股定理,我们也可以用勾股定理考察面积关系.对比思考下列各题小小测验感受新知cabcabcabcab

请你根据左边的拼图，验证勾股定理。

验证：小正方形的面积可以表示为(a-b)2；也可以表示为c2-4•ab/2.

∵(a-b)2=c2-4•ab/2a2-2ab+b2=c2-2ab

∴a2+b2=c2学几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种．你要了解更多的有关勾股定理的知识吗？请上网查一查吧！本节课你有什么收获？1、用数直方格的方法，利用面积相等，探索了勾股定