苏教版数学选修2-3讲义第2章2.32.3.1条件概率

2.3独立性2.3.1条件概率学习目标核心素养1.了解条件概率的概念，掌握条件概率的计算公式．(重点)2．利用条件概率计算公式解决一些简单的实际问题．(难点)通过条件概率的学习，提升数学抽象素养.1．条件概率一般地，对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件B发生的条件下事件A的条件概率，记为P(A|B)．若A，B互斥，则P(A|B)＝P(B|A)＝0.2．条件概率公式(1)一般地，若P(B)＞0，则事件B发生的条件下A发生的条件概率是P(A|B)＝eq\f(PAB,PB).(2)乘法公式：P(AB)＝P(A|B)P(B)．思考1：P(A|B)＝P(B|A)成立吗？[提示]不一定成立．一般情况下P(A|B)≠P(B|A)，只有P(A)＝P(B)时才有P(A|B)＝P(B|A)．思考2：若P(A)≠0，则P(A∩B)＝P(B|A)·P(A)，这种说法正确吗？[提示]正确．由P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)得P(A∩B)＝P(B|A)·P(A)．1．把一枚骰子连续抛掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为()A.1B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,4)B[设事件A：第一次抛出的是偶数点；事件B：第二次抛出的是偶数点，则P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(\f(1,2)×\f(1,2),\f(1,2))＝eq\f(1,2).]2．设A，B为两个事件，且P(A)>0，若P(AB)＝eq\f(1,3)，P(A)＝eq\f(2,3)，则P(B|A)＝________.eq\f(1,2)[由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,3),\f(2,3))＝eq\f(1,2).]3．袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为________．eq\f(4,15)[记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，“第二次才取到黄球”为事件C，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq\f(4,10)×eq\f(6,9)＝eq\f(4,15).]利用P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求条件概率【例1】(1)设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是________．(2)抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8①求P(A)，P(B)，P(AB)；②当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．[思路探究](1)直接应用公式P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求解．(2)①利用古典概型求P(A)，P(B)及P(AB)．②借助公式P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求概率．(1)0.5[设事件A为“能活到20岁”，事件B为“能活到25岁”，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，而所求概率为P(B|A)，由于B⊆A，故AB＝B，于是P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(PB,PA)＝eq\f(0.4,0.8)＝0.5，所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.](2)[解]①设x为掷红骰子得到的点数，y为掷蓝骰子得到的点数，则所有可能的事件与(x，y)建立对应如图．显然：P(A)＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(10,36)＝eq\f(5,18)，P(AB)＝eq\f(5,36).②P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(5,36),\f(1,3))＝eq\f(5,12).1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤(1)分析题意，弄清概率模型；(2)计算P(A)，P(AB)；(3)代入公式求P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).2．在(2)题中，首先结合古典概型分别求出了事件A，B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系．1．(1)甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.(2)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．(1)eq\f(2,3)eq\f(3,5)(2)0.72[(1)由公式P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(2,3)，P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(3,5).(2)设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，又P(A)＝0.9，P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)，得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72.]利用基本事件个数求条件概率【例2】现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．[思路探究]第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解．[解]设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝Aeq\o\al(2,6)＝30，根据分步计数原理n(A)＝Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,5)＝20，于是P(A)＝eq\f(nA,nΩ)＝eq\f(20,30)＝eq\f(2,3).(2)因为n(AB)＝Aeq\o\al(2,4)＝12，于是P(AB)＝eq\f(nAB,nΩ)＝eq\f(12,30)＝eq\f(2,5).(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(2,5),\f(2,3))＝eq\f(3,5).法二：因为n(AB)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).1．本题第(3)问给出了两种求条件概率的方法，法一为定义法，法二利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法．2．计算条件概率的方法(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即P(B|A)．(2)在原样本空间Ω中，先计算P(AB)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)计算求得P(B|A)．(3)条件概率的算法：已知事件A发生，在此条件下事件B发生，即事件AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算事件AB发生的概率，即P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(\f(nAB,nΩ),\f(nA,nΩ))＝eq\f(PAB,PA).2．盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球．玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？[解]由题意得球的分布如下：玻璃木质合计红235蓝4711合计61016设A＝{取得蓝球}，B＝{取得玻璃球}，则P(A)＝eq\f(11,16)，P(AB)＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,4),\f(11,16))＝eq\f(4,11).条件概率的综合应用[探究问题]1．掷一枚质地均匀的骰子，有多少个基本事件？它们之间有什么关系？随机事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件？[提示]掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个，它们彼此互斥．“大于4的点”包含“5点”“6点”两个基本事件．2．“先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中，已知第一枚出现4点，则第二枚出现“大于4”[提示]“第一枚4点，第二枚5点”“第一枚4点，第二枚6点”．3．先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？[提示]设第一枚出现4点为事件A，第二枚出现5点为事件B，第二枚出现6点为事件C.则所求事件为(B＋C)|A.∴P((B＋C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,3).【例3】一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表：等级数量厂别甲厂乙厂合计合格品4756441119次品255681合计5007001200(1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是________；(2)已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是________．[思路探究]先求的基本函数的概率，再依据条件概率的计算公式计算．(1)eq\f(27,400)(2)eq\f(1,20)[(1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是eq\f(81,1200)＝eq\f(27,400).(2)法一：已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是eq\f(25,500)＝eq\f(1,20).法二：设A＝“取出的产品是甲厂生产的”，B＝“取出的产品为甲厂的次品”，则P(A)＝eq\f(500,1200)，P(A∩B)＝eq\f(25,1200)，所以这件产品恰好是甲厂生产的次品的概率是P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(1,20).]条件概率的解题策略分解计算，代入求值，为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．3．已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．(1)求此人患色盲的概率；(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．[解]设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C.(1)此人患色盲的概率P(C)＝P(AC)＋P(BC)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝eq\f(5,100)×eq\f(100,200)＋eq\f(0.25,100)×eq\f(100,200)＝eq\f(21,800).(2)P(A|C)＝eq\f(PAC,PC)＝eq\f(\f(5,200),\f(21,800))＝eq\f(20,21).1．本节课的重点是条件概率的定义及条件概率的求法，难点是对条件概率定义的理解．2．计算条件概率需要注意的问题：(1)公式P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)仅限于P(A)>0的情况．当P(A＝0)时，我们不定义条件概率．(2)计算条件概率P(B|A)时，不能随便用事件B的概率P(B)代替P(A∩B)．(3)条件概率是指在一定条件下发生的概率，是概率的一种，具有概率的一般性质．(4)P(B|A)与P(A|B)不一定相等．(5)利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)求解有些条件概率问题较为简捷，但应注意这个性质是在“B与C互斥”这一前提下才具备的，因此不要忽视这一条件而乱用这个公式.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.()(2)事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生．()(3)P(B|A)≠P(A∩B)．()[答案](1)×(2)×(3)√2．已知P(B|A)＝eq\f(1,3)，P(A)＝eq\f(2,5)，则P(A∩B)等于()A.eq\f(5,6)B.eq\f(9,10)C.eq\f(2,15)D.eq\f(1,15)C[由P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)，得P(A∩B)＝P(B|A)·P(A)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)]3．抛掷骰子2次，每次结果用(x1，x2)表示，其中x1，x2分别表示第一次、第二次骰子的点数．若设A＝{(x1，x2)|x1＋x2＝10}，B＝{(x1，x2)|x1>x2}．则P(B|A)＝________.eq