浙江省宁波市奉化高中、三山高中等六校2024届高二数学第一学期期末经典试题含解析

浙江省宁波市奉化高中、三山高中等六校2024届高二数学第一学期期末经典试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（）A.99 B.131C.139 D.1412．若函数单调递增，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.3．已知等差数列的公差，记该数列的前项和为，则的最大值为（）A.66 B.72C.132 D.1984．在中，，，且BC边上的高为，则满足条件的的个数为（）A.3 B.2C.1 D.05．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B.C. D.6．已知椭圆与双曲线有相同的焦点,则的值为A. B.C. D.7．在等比数列{}中，，，则=（）A.9 B.12C.±9 D.±128．已知是等差数列的前项和，，，则的最小值为（）A. B.C. D.9．等差数列中，为其前项和，，则的值为（）A.13 B.16C.104 D.20810．已知椭圆的左右焦点分别为，，点B为短轴的一个端点，则的周长为（）A.20 B.18C.16 D.911．若向量，，则（）A. B.C. D.12．已知圆的方程为，则圆心的坐标为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若x，y满足约束条件，则的最小值为___________.14．已知函数，是的导函数，则______15．已知圆M过，，且圆心M在直线上.（1）求圆M的标准方程；（2）过点的直线m截圆M所得弦长为，求直线m的方程；16．椭圆x2+=1上的点到直线x+y-4=0的距离的最小值为_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，三棱锥中，为等边三角形，且面面，（1）求证：；（2）当与平面BCD所成角为45°时，求二面角的余弦值18．（12分）已知椭圆，点在上，，且（1）求出直线所过定点的坐标；（不需要证明）（2）过A点作的垂线，垂足为，是否存在点，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.19．（12分）如图，AC是圆O的直径，B是圆O上异于A，C的一点，平面ABC，点E在棱PB上，且，，.（1）求证：；（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.20．（12分）已知函数满足.（1）求的解析式，并判断其奇偶性；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围.21．（12分）已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的点，且.（1）求抛物线C的方程；（2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求弦长.22．（10分）设函数，其中是自然对数的底数，.（1）若，求的最小值；（2）若，证明：恒成立.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据题中所给高阶等差数列定义，找出其一般规律即可求解.【详解】设该高阶等差数列的第8项为，根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得，则.故选：D2、D【解析】根据函数的单调性，可知其导数在R上恒成立，分离参数，即可求得答案.【详解】由题意可知单调递增，则在R上恒成立，可得恒成立，当时，取最小值-1，故，故选：D3、A【解析】根据等差数列的公差，求得其通项公式求解.【详解】因为等差数列的公差,所以，则，所以，由，得，所以或12时，该数列的前项和取得最大值，最大值为，故选：A4、B【解析】利用等面积法求得，再利用正弦定理求得，利用内角和的关系及两角和差化积公式，二倍角公式转化为，再利用正弦函数的性质求满足条的的个数，即可求解.【详解】由三角形的面积公式知，即由正弦定理知所以，即，即，即利用两角和的正弦公式结合二倍角公式化简得又，则，，且由正弦函数的性质可知，满足的有2个，即满足条件的的个数为2.故选：B5、C【解析】根据双曲线的定义求得，利用可得离心率范围【详解】因为，又，所以，，又，即，，所以离心率故选：C6、C【解析】根据题意可知，结合的条件，可知，故选C考点：椭圆和双曲线性质7、D【解析】根据题意，设等比数列的公比为，由等比数列的性质求出，再求出【详解】根据题意，设等比数列的公比为，若，，则，变形可得，则，故选：8、C【解析】根据，可得，再根据，得，从而可得出答案.【详解】解：因为，所以，又，所以，所以的最小值为.故选：C.9、D【解析】利用等差数列下标的性质，结合等差数列前项和公式进行求解即可.【详解】由，所以，故选：D10、B【解析】根据椭圆的定义求解【详解】由椭圆方程知，所以，故选：B11、D【解析】由向量数量积的坐标运算求得数量积，模，结合向量的共线定义判断【详解】由已知，，，与不垂直，若，则，，但是，，因此与不共线故选：D12、A【解析】将圆的方程配成标准方程，可求得圆心坐标.【详解】圆的标准方程为，圆心的坐标为.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】作出可行域，进而根据z的几何意义求得答案.【详解】如图，作出可行域，由z的几何意义可知当过点B时取得最小值.联立，则最小值为.故答案为：.14、2【解析】根据基本初等函数的导数公式及导数的加法法则，对求导，再求即可.【详解】由题设，，所以.故答案为：15、（1）（2）或【解析】(1)首先由条件设圆的标准方程，再将圆上两点代入，即可求得圆的标准方程；（2）分斜率不存在和存在两种情况，分别根据弦长公式，求得直线方程.【小问1详解】圆心在直线上，设圆的标准方程为：，圆过点，，，解得圆的标准方程为【小问2详解】①当斜率不存在时，直线m的方程为：，直线m截圆M所得弦长为，符合题意②当斜率存在时，设直线m：，圆心M到直线m的距离为根据垂径定理可得，，，解得直线m方程为或.16、【解析】设与直线x+y-4=0平行的直线方程为,求出即得解.【详解】解：设与直线x+y-4=0平行的直线方程为,所以，代入椭圆方程得，令或.当时，平行线间的距离为；当时，平行线间的距离为.所以最小距离为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】(1)根据给定条件证得平面即可推理作答.(2)由与平面BCD所成角确定正边长与CD长的关系，再作出二面角的平面角，借助余弦定理计算作答.【小问1详解】在三棱锥中，平面平面，平面平面，而，平面，因此有平面，又有平面，所以.【小问2详解】取BC中点F，连接AF，DF，如图，因为等边三角形，则，而平面平面，平面平面，平面，于是得平面，是与平面BCD所成角，即，令，则，因，即有，由(1)知，，则有，过C作交AD于O，在平面内过O作交BD于E，连CE，从而得是二面角的平面角，中，，，中，由余弦定理得，，，显然E是斜边中点，则，中，由余弦定理得，所以二面角的余弦值.18、（1）（2）存在，【解析】（1）分斜率存在和斜率不存在两种情况，当斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理列出方程，求出定点坐标，当斜率不存在时，设出点的坐标进行求解；（2）结合第一问的定点坐标，结合直角三角形斜边中线得到存在点，使得为定值，求出结果.【小问1详解】设点，若直线斜率存在时，设直线的方程为：，代入椭圆方程消去并整理得：，可得，因为，所以，即，根据，代入整理可得：，所以，整理化简得:，因为不在直线上，所以，故，于是的方程为，所以直线过定点直线过定点.当直线的斜率不存在时，可得，由得：，得，结合可得：，解得：或（舍）.此时直线过点【小问2详解】由（1）可知因为，取中点，则此时，【点睛】直线过定点问题，一般处理思路是分斜率存在和斜率不存在两种情况，特别是斜率存在时，设出直线为，联立后用韦达定理得到两根之和与两根之积，结合题干条件得到等量关系，求出的关系，进而得到定点坐标.19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由圆的性质可得，再由线面垂直的性质可得，从而由线面垂直的判定定理可得平面PAB，所以得，再结合已知条件可得平面PBC，由线面垂直的性质可得结论；（2）由已知条件结合基本不等式可得当三棱锥的体积最大时，是等腰直角三角形，，从而以OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，以过点O且垂直于圆O平面的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解.【小问1详解】证明：因为AC是圆O的直径，点B是圆O上不与A，C重合的一个动点，所以.因为平面ABC，平面ABC，所以.因为，且AB，平面PAB，所以平面PAB.因为平面PAB，所以.因为，，且BC，平面PBC，所以平面PBC.因为平面PBC，所以.【小问2详解】解：因为，，所以，所以三棱锥的体积，（当且仅当“”时等号成立）.所以当三棱锥的体积最大时，是等腰直角三角形，.所以以OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，以过点O且垂直于圆O平面的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.因为∽，所以，因为，，所以，所以，.设向量为平面的一个法向量，则即令得，.向量为平面ABC的一个法向量，.因为二面角是锐角，所以二面角的余弦值为.20、（1），是奇函数（2）【解析】(1)由求出，进而求得的解析式，利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性即可；(2)根据幂函数的单调性可得函数的单调性，求出函数的最小值，将不等式恒成立转化为对任意使得恒成立即可.【小问1详解】因为，所以，所以.所以.的定义城为，且，所以是奇函数.【小问2详解】因为，在上均为增函数，所以在上增函数，所以.对任意，不等式恒成立，则，所以，即实数a的取值范固为.21、（1）；（2）【解析】（1）根据抛物线定义可得，从而得到抛物线C的方程；（2）设，联立抛物线方程，消去，可得的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值【详解】（1），所以，即抛物线C的方程.（2）设，由得所以，所以.【点睛】方法点睛：计算抛物线弦长方法，(1)若直线过抛物线的焦点，则弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)(2)若直线不过抛物线的焦点，则用|AB|＝·|x1－x2|求解22、（1）（2）证明见解析【解析】（1）当时，，求