第46讲 数列中的奇偶项问题（微专题）（ 含答案解析 ） 高考数学一轮复习 导学案 精讲专研（新高考）

第46讲数列中的奇偶项问题（微专题）题型选讲题型一、分段函数的奇偶项求和例1、（深圳市罗湖区期末试题）已知数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）设求数列的前100项和.【解析】【小问1详解】，所以是常数列，即；【小问2详解】由（1）知，是首项为2，公差为3等差数列，由题意得，，设数列，的前50项和分别为，，所以，，所以的前100项和为；综上，，的前100项和为.变式1、（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知数列满足．(1)证明：是一个等差数列；(2)已知，求数列的前项和．【答案】(1)证明见详解(2)【详解】（1）当时，可得，当时，由，则，上述两式作差可得，因为满足，所以的通项公式为，所以，因为（常数），所以是一个等差数列．（2），所以，所以数列的前项和．变式2、（2023·吉林·统考三模）已知数列满足的前n项和为．(1)求，，并判断1024是数列中的第几项；(2)求．【答案】(1)，；1024是数列的第342项(2)【详解】（1）由可得，．令，解得：为偶数，不符合题意，舍去；令，解得：，符合题意．因此，1024是数列的第342项．（2）．另解：由题意得，又，所以数列是以为首项，4为公比的等比数列．，又，所以数列是以4为首项，6为公差的等差数列．为数列的前n项和与数列的前项和的总和．故.变式3、（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知数列满足，，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析.【详解】（1）由题意,所以,因为,所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,所以,即,而,所以（2）方法一：由得方法二：因为所以变式4、（2023·湖南邵阳·统考三模）记为等差数列{}的前n项和，已知，数列{}满足.(1)求数列{}与数列{}的通项公式；(2)数列{}满足，n为偶数，求{}前2n项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）设等差数列的公差为d，，即，，.，①，②所以①-②得，，.当时，，符合..（2），依题有：.记，则.记，则.所以变式5、（2023·湖南岳阳·统考三模）已知等比数列的前n项和为，其公比，，且．(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为是等比数列，公比为，则，所以，解得，由，可得，解得，所以数列的通项公式为．（2）由（1）得，当n为偶数时，；当n为奇数时；综上所述：.题型二、含有（−1）n例2、【2020年新课标1卷文科】数列满足，前16项和为540，则_____________【答案】【解析】，当为奇数时，；当为偶数时，.设数列的前项和为，，.故答案为：.变式1、（2021·山东济宁市·高三二模）已知数列是正项等比数列，满足是、的等差中项，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【解析】（1）设等比数列的公比为，因为是、的等差中项，所以，即，因为，所以，解得或，因为数列是正项等比数列，所以．因为，即，解得，所以；（2）解法一：（分奇偶、并项求和）由（1）可知，，所以，，①若为偶数，；②若为奇数，当时，，当时，适合上式，综上得（或，）；解法二：（错位相减法）由（1）可知，，所以，，，所以所以，所以，变式2、【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列{an}前n项和为Sn，，.（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；（2）设，求{bn}前n项和Tn.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用等差数列的基本量，列方程即可求得首项和公差，再利用公式求通项公式和前项和即可；（2）根据（1）中所求即可求得，对分类讨论，结合等差数列的前项和公式，即可容易求得结果.【详解】（1）由得.又因为，所以，则，解得；故，.（2）.当为偶数时：.当为奇数时：.综上得题型三、an+例3、（2023·广东深圳·统考一模）记，为数列的前n项和，已知，．(1)求，并证明是等差数列；(2)求．【解析】（1）已知，当时，，；当时，，，所以．因为①，所以②．②－①得，，整理得，，所以（常数），，所以是首项为6，公差为4的等差数列．（2）由（1）知，，，．当n为偶数时，；当n为奇数时，．综上所述，变式1、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知数列满足，；数列前项和为，且，.(1)求数列和数列的通项公式；(2)设，求前项和.【答案】(1)，；(2).【解析】【分析】（1）根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；（2）利用错位相减法进行求解即可.(1)，，∴，又，，（为正整数）时，是首项为1，公差为2的等差数列,∴，，（为正整数）时，是首项为1，公差为2的等差数列.∴，∴，∴，∵，∴时，，∴，又，∴时，，，∴；(2)由（1）得，设①则②①②得，，∴变式2、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知数列满足，；数列前项和为，且，.(1)求数列和数列的通项公式；(2)设，求前项和.【答案】(1)，；(2).【解析】【分析】（1）根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；（2）利用错位相减法进行求解即可.(1)