线代第五章线性变换习题

其中）习题1、实数域R上由矩阵A的全体实系数多项式组成的空间，其中

求此线性空间的维数与一组基。（提示：习题2、在中，求一非零向量，使它在基与下有相同的坐标，其中

习题3、在中，求线性变换

在基底

下的矩阵。

（）线性无关，并求出在习题4、在中定义线性变换

，求

在基，

习题5、设T是n维线性空间V上的线性变换，如果

，但

，求证

基底下的矩阵。

习题6、设三维线性空间V上的线性变换T在基

下的矩阵为

⑴、求T在基

下的矩阵。

⑵、求T在基

下的矩阵。其中且。

⑶、求T在基

下的矩阵。

下的矩阵。其中

习题7、给定的两组基

定义线性变换T：

⑴、写出由基

到基

的过渡矩阵。

⑵、写出T在基

下的矩阵。

⑶、写出T在基

下的矩阵。

习题8、如果A可逆，证明与相似。

习题9、如果A与B相似，C与D相似，证明与

相似。

习题10、设

是线性变换T的两个不同的特征值，

是分别属于

的特征向量，证明：

不是T的特征向量。

线性无关。(1)、(2)、习题1、实数域R上由矩阵A的全体实系数多项式组成的空间，其中

求此线性空间的维数与一组基。（提示：其中）

解:矩阵A的全体实系数多项式为又知

，则

则

＝

＝E则

再判断是否是线性无关的。

设存在实数

，使得

＝0

即

＋

＋

则有

解得

则是线性无关的，则线性空间得维数为3维，其一组基为（）。

习题2、在中，求一非零向量，使它在基与下有相同的坐标，其中

解：

由题设知，

设向量

在基

与

下的有相同的坐标

，

）

其中，A为基到基的过渡矩阵。

＝（

（

）＝（

）A⑴

)=(

＝

（

）

则即

（

）

＝(

)将⑴代入上式得

（）

＝（

）A

即

＝

＝0

又

由于ε1ε2ε3ε4线性无关

其系数矩阵的秩为3，则其解空间维数为4－3＝1。

即

解得

，

则对于任意得

均满足条件，即为所求向量。

习题3、在中，求线性变换在基底下的矩阵。

解：

设T在基底

下的矩阵为A，则

线性变换T在基底

的象分别为

则

（

）＝（

）A

可得

习题4、在中定义线性变换其中解：

设在基

下的矩阵为A，

则线性变换T在基底

的象分别为

在基

，求下的矩阵。

则

T（

）＝（

）A

可得

习题5、设T是n维线性空间V上的线性变换，如果，但，求证（n>0）线性无关，并求出在基底下的矩阵。

证明：

设

又知T是n维线性空间V上的线性变换，且

，但则用

左乘上式得

同理，再分别用

左乘得到

线性无关。

则

（n>0）

设线性变换T在此基底下的矩阵为A，则

即

（

）A）＝（

）AT（

）＝（

则A＝

习题6、设三维线性空间V上的线性变换T在基下的矩阵为⑴、求T在基下的矩阵。⑵、求T在基下的矩阵。其中且。

⑶、求T在基下的矩阵。（

⑴、法一：

）＝（）M

则

解：设A为在基下的矩阵，B为在新基底下的矩阵，M为过渡矩阵，根据线性变换在不同基底下矩阵的关系得

则

法二：线性变换T在基底

的象分别为

即

则

B可得⑵、（

）＝（

）M

则

则同理，也可用⑴中的方法二来求。

⑶、（

）＝（）M

则则同理，也可用⑴中的方法二来求。习题7、给定的两组基定义线性变换T：⑴、写出由基到基的过渡矩阵。⑵、写出T在基下的矩阵。解：

⑴、设由基

到基的过渡矩阵为M，则

（

（（）＝）M

即

＝

⑶、写出T在基下的矩阵。M＝

＝⑵、设T在基

下的矩阵为A，T在基

下的矩阵为B，则

由已知

即

又

（

）＝（

）M

则＝（）M则A＝M＝

⑶、设T在基

下的矩阵为B，则由线性变换在不同基底下矩阵之间的关系式得

＝（其中M＝A）

习题8、如果A可逆，证明AB与BA相似。证明：

根据定义，只要存在一个可逆矩阵M，使得

成立，则

称AB与BA相似。

由已知A可逆，则这里取M＝A，则

则

AB与BA相似得证.

习题9、如果A与B相似，C与D相似，证明与相似。

证明：设存在可逆矩阵P，Q，使得

则又

可逆，则

相似。与习题10、设是线性变换T的两个不同的特征值，是分别属于的特征向量，证明：（1）、线性无关。不是T的特征向量。（2）、证明:设存在两个实数使得⑴由假设知：

使T作用于（1）式得：⑵可得：⑶由