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初一数学下学期期末专题练习——面积问题一.选择题(共6小题)1.将4张长为a、宽为b(a≥b)的长方形纸片,按如图的方式拼成一个边长为(a+b)的正方形,图中空白部分的面积为m,阴影部分的面积为n.若m﹣3n=0,则a、b满足()A.a=b或a=3b B.a=b或a=4b C.a=b或a=5b D.a=b或a=6b.2.如图,已知D、E分别为△ABC的边AC、BC的中点,AF为△ABD的中线,连接EF,若四边形AFEC的面积为15,且AB=8,则△ABC中AB边上高的长为()A.3 B.6 C.9 D.无法确定3.如图,在△ABC中,G是边BC上任意一点,D、E、F分别是AG、BD、CE的中点,且S△ABC=1,则S△DEF的值为()A. B. C. D.4.如图所示,△ABC中,点D、E、F分别在三边上,E是AC的中点,AD、BE、CF交于一点G,BD=2DC,S△GEC=3,S△GDC=4,则△ABC的面积是()A.25 B..30 C.35 D.405.如图,将△ABC的三边AB,BC,CA分别延长至B′,C′,A′,且使BB′=AB,CC′=2BC,AA′=3AC.若S△ABC=1,那么S△A'B'C'是()A.15 B.16 C.17 D.186.用四个完全一样的长方形(长、宽分别设为x、y)拼成如图所示的大正方形,已知大正方形的面积为36,中间空缺的小正方形的面积为4,则下列关系式中不正确的是()A.x+y=6 B.x2+y2=36 C.x•y=8 D.x﹣y=2二.填空题(共11小题)7.三角形一边上的中线把原三角形分成两个相等的三角形.8.如图,D、E分别是△ABC边AB、BC上的点,AD=2BD,BE=CE.设△ADF的面积为S1,△CEF的面积为S2,若S△ABC=6,则S1﹣S2=.9.如图,在△ABC中,已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点,若△ABC的面积为16,则图中阴影部分的面积为.10.如图,△ABC中,∠B=90°,AB=8,将△ABC平移至△DEF的位置,若四边形DGCF的面积为35,且DG=2,则CF的长为.11.如图,将△ABC的各边都延长一倍至A′、B′、C′,连接这些点,得到一个新的三角形△A′B′C′,若△ABC的面积为3,则△A′B′C′的面积是.12.(实验班)如图,D、E分别是△ABC边AB、BC上的点,AD=2BD,BE=CE,设△ADF的面积为S1,△CEF的面积为S2,若S1﹣S2=a,则S△ABC=.13.如图,在边长为a的正方形中,剪去一个边长为b的小正方形(a>b),将余下部分拼成一个梯形,根据两个图形阴影部分面积的关系,可以得到一个关于a、b的等式为.14.小明在拼图时,发现8个一样大小的长方形,恰好可以拼成一个大的长方形如图(1);小红看见了,说:“我也来试一试.”结果小红七拼八凑,拼成了如图(2)那样的正方形,中间还留下了一个洞,恰好是边长为5mm的小正方形,则每个小长方形的面积为mm2.15.如图,长方形ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,点E是边AD的中点,动点P从A点出发,以1cm/s的速度沿A→D→C→B运动,最终到达点B.若点P运动的时间为xs,那么当x=时,以B、P、E为顶点的三角形的面积等于5cm2.16.如图,四边形ABCD中,E、F、G、H依次是各边中点,O是形内一点,若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为6、7、8,则四边形DHOG的面积为.17.如图,点C是线段AB上的一点,分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG,连接EG、BG、BE,当BC=1时,△BEG的面积记为S1,当BC=2时,△BEG的面积记为S2,……,以此类推,当BC=n时,△BEG的面积记为Sn,则S2020﹣S2019的值为.三.解答题(共9小题)18.如图,在小正方形边长为1cm的方格纸内将△ABC水平向右平移4个单位得到△A′B′C′.(1)补全△A′B′C′,利用网格点和直尺画图;(2)图中AC与A′C′的关系是:;(3)画出AB边上的高CD;(4)画出△ABC中AB边上的中线CE;(5)平移过程中,线段AC扫过的面积为cm2.19.如图1是一个长为4a、宽为b的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图2)(1)观察图2请你写出(a+b)2、(a﹣b)2、ab之间的等量关系是;(2)根据(1)中的结论,若x+y=5,x•y=,则x﹣y=;(3)拓展应用:若(2019﹣m)2+(m﹣2020)2=7,求(2019﹣m)(m﹣2020)的值.20.(1)如图,试用a的代数式表示图形中阴影部分的面积;(2)当a=2时,计算图中阴影部分的面积.21.如图,已知∠BDC+∠EFC=180°,∠DEF=∠B.(1)求证:∠AED=∠ACB;(2)若D、E、F分别是AB、AC、CD边上的中点,S四边形ADFE=9,求S△ABC.22.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=9,AB=15,若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒3个单位,设运动的时间为t秒.(1)当t=时,CP把△ABC的面积分成相等的两部分;(2)当t=5时,CP把△ABC分成的两部分面积之比是S△APC:S△BPC=(3)当t=时,△BPC的面积为18.23.如图,AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线.(1)∠ABE=15°,∠BAD=40°,求∠BED的度数;(2)在△BED中作BD边上的高;(3)若△ABC的面积为40,BD=5,则△BDE中BD边上的高为多少?24.将6张小长方形纸片(如图1所示)按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD内,未被覆盖的部分恰好分割为两个长方形,面积分别为S1和S2.已知小长方形纸片的长为a,宽为b,且a>b.当AB长度不变而BC变长时,将6张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形ABCD内,S1与S2的差总保持不变,求a,b满足的关系式.(1)为解决上述问题,如图3,小明设EF=x,则可以表示出S1=,S2=;(2)求a,b满足的关系式,写出推导过程.25.把几个图形拼成一个新的图形,再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积,可以得到一个等式,也可以求出一些不规则图形的面积.例如,由图1,可得等式:(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.(1)由图2,可得等式;(2)利用(1)所得等式,解决问题:已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求a2+b2+c2的值.(3)如图3,将两个边长为a、b的正方形拼在一起,B,C,G三点在同一直线上,连接BD和BF,若这两个正方形的边长a、b如图标注,且满足a+b=10,ab=20.请求出阴影部分的面积.(4)图4中给出了边长分别为a、b的小正方形纸片和两边长分别为a、b的长方形纸片,现有足量的这三种纸片.①请在下面的方框中用所给的纸片拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形,并仿照图1、图2画出拼法并标注a、b.②研究①拼图发现,可以分解因式2a2+5ab+2b2=.26.阅读下列文字:我们知道,对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个数学等式.例如由图1可以得到(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.请解答下列问题:(1)写出图2中所表示的数学等式;(2)利用(1)中所得到的结论,解决下面的问题:已知a+b+c=12,ab+bc+ac=42,求a2+b2+c2的值;(3)图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长分别为a、b的长方形纸片,请利用所给的纸片拼出一个几何图形,使得用两种不同的方法计算它的面积时,能够得到数学公式:2a2+7ab+3b2=(a+3b)(2a+b).

故选:B.3.如图,在△ABC中,G是边BC上任意一点,D、E、F分别是AG、BD、CE的中点,且S△ABC=1,则S△DEF的值为()A. B. C. D.【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答.【解答】解:连结CD,∵点D是AG的中点,∴S△ABD=S△ABG,S△ACD=S△AGC,∴S△ABD+S△ACD=S△ABC=,∴S△BCD=S△ABC=,∵点E是BD的中点,∴S△CDE=S△BCD=,∵点F是CE的中点,∴S△DEF=S△CDE=.故选:C.4.如图所示,△ABC中,点D、E、F分别在三边上,E是AC的中点,AD、BE、CF交于一点G,BD=2DC,S△GEC=3,S△GDC=4,则△ABC的面积是()6.用四个完全一样的长方形(长、宽分别设为x、y)拼成如图所示的大正方形,已知大正方形的面积为36,中间空缺的小正方形的面积为4,则下列关系式中不正确的是()A.x+y=6 B.x2+y2=36 C.x•y=8 D.x﹣y=2【分析】设小长方形的长为x、宽为y,根据图形可得出关于x、y的二元一次方程组,由方程组即可得出A、C、D正确,此题得解.【解答】解:设小长方形的长为x、宽为y,根据题意得:.A、由①可得出x+y=6,A正确;C、由①﹣②可得出x•y=8,C正确;D、由②可得出x﹣y=2,D正确.故选:B.二.填空题(共11小题)7.三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形.【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义,知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形,所以它们的面积相等.【解答】解:三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形.8.如图,D、E分别是△ABC边AB、BC上的点,AD=2BD,BE=CE.设△ADF的面积为S1,△CEF的面积为S2,若S△ABC=6,则S1﹣S2=1.【分析】S△ADF﹣S△CEF=S△ABE﹣S△BCD,所以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积即可,因为AD=2BD,BE=CE,且S△ABC=6,就可以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积.【解答】解:∵BE=CE,∴BE=BC,∵S△ABC=6,∴S△EFD=×4x×8=16x;S△ECG=×6×3x=9x.∴S阴影部分=16x﹣9x=35.解得:x=5.故答案为:5.11.如图,将△ABC的各边都延长一倍至A′、B′、C′,连接这些点,得到一个新的三角形△A′B′C′,若△ABC的面积为3,则△A′B′C′的面积是21.【分析】连接C′B,根据三角形的中线平分线三角形的面积可得S△A′C′A=2S△BAC′,再算出S△ABC′=S△ABC=3进而得到S△A′BC=S△CC′B′=6,从而得到答案.【解答】解:连接C′B,∵AA′=2AB,∴S△A′C′A=2S△BAC′,∵CC′=2AC,∴S△ABC′=S△ABC=3,∴S△A′C′A=6,同理:S△A′BC=S△CC′B′=6,∴△A′B′C′的面积是6+6+6+3=21,故答案为:21.12.(实验班)如图,D、E分别是△ABC边AB、BC上的点,AD=2BD,BE=CE,设△ADF的面积为S1,△CEF的面积为S2,若S1﹣S2=a,则S△ABC=6a.【分析】S△ADF﹣S△CEF=S△ABE﹣S△BCD,所以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积即可,因为AD=2BD,BE=CE,且S1﹣S2=a,就可以求出S△ABC.【解答】解:∵BE=CE,∴BE=BC,∵S1﹣S2=a,∴S△ABE=S△ABC.∵AD=2BD,S△ABC=9,∴S△BCD=S△ABC,∵S△ABE﹣S△BCD=(S△ADF+S四边形BEFD)﹣(S△CEF+SS四边形BEFD)=S△ADF﹣S△CEF,即S△ADF﹣S△CEF=S△ABE﹣S△BCD==a.∴S△ABC=6a,故答案为:6a13.如图,在边长为a的正方形中,剪去一个边长为b的小正方形(a>b),将余下部分拼成一个梯形,根据两个图形阴影部分面积的关系,可以得到一个关于a、b的等式为a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).【分析】根据正方形面积公式求出第一个图形的面积,根据梯形面积公式求出第二个图形的面积,即可求出答案.【解答】解:∵第一个图形的面积是a2﹣b2,第二个图形的面积是(b+b+a+a)(a﹣b)=(a+b)(a﹣b)∴根据两个图形的阴影部分的面积相等得:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),故答案为:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).14.小明在拼图时,发现8个一样大小的长方形,恰好可以拼成一个大的长方形如图(1);小红看见了,说:“我也来试一试.”结果小红七拼八凑,拼成了如图(2)那样的正方形,中间还留下了一个洞,恰好是边长为5mm的小正方形,则每个小长方形的面积为375mm2.【分析】设小长方形的长为xmm,宽为ymm,观察图形发现“3x=5y,2y﹣x=5”,联立成方程组,解方程组即可得出结论.【解答】解:设小长方形的长为xmm,宽为ymm,由题意,得:,解得:,则每个小长方形的面积为:25×15=375(mm2)故答案是:375.15.如图,长方形ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,点E是边AD的中点,动点P从A点出发,以1cm/s的速度沿A→D→C→B运动,最终到达点B.若点P运动的时间为xs,那么当x=或6时,以B、P、E为顶点的三角形的面积等于5cm2.【分析】首先理解题意,分类讨论,再画出图形,根据三角形的面积求出每种情况的答案即可.【解答】解:①当P在AD上运动时,△BPE的面积小于5;②当P在DC上时,如图1∵△BPE的面积等于5,∴S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△DEP﹣S△BCP=5,∴3×4﹣×2×3﹣×2×(x﹣4)﹣×4×(7﹣x)=5,x=6;③当P在BC上时,如图2∵△BPE的面积等于5,∴S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S梯形DEPC=5,∴3×4﹣×2×3﹣×3×(x﹣7+2)=5,x=;综上当x=或6以B、P、E为顶点的三角形的面积等于5cm2.故答案为或6.16.如图,四边形ABCD中,E、F、G、H依次是各边中点,O是形内一点,若四边形AEOH、∵正方形ACDE和正方形CBFG,∴∠ACE=∠ABG=45°,∴EC∥BG,∴△BCG和△BEG是同底(BG)等高的三角形,即S△BCG=S△BEG,∴当BC=n时,Sn=n2,∴S2020﹣S2019=×20202﹣×20192=(2020+2019)(2020﹣2019)=;故答案为:.三.解答题(共9小题)18.如图,在小正方形边长为1cm的方格纸内将△ABC水平向右平移4个单位得到△A′B′C′.(1)补全△A′B′C′,利用网格点和直尺画图;(2)图中AC与A′C′的关系是:平行且相等;(3)画出AB边上的高CD;(4)画出△ABC中AB边上的中线CE;(5)平移过程中,线段AC扫过的面积为28cm2.【分析】(1)根据图形平移的性质画出△A′B′C′即可;(2)根据平移的性质可得出AC与A′C′的关系;(3)根据高线画出图形即可;(4)先取AB的中点E,再连接CE即可;(5)线段AC扫过的面积为平行四边形AA'C'C的面积,根据平行四边形的底为4,高为7,可得线段AC扫过的面积.【解答】解:(1)如图所示:△A′B′C′即为所求;(2)由平移的性质可得,AC与A′C′的关系是平行且相等;【分析】(1)如图补全图形,先计算出大、小正方形的面积,再相减即可得;(2)将a的值代入计算可得.【解答】解:(1)如图,大正方形的面积为(2a+3)2=4a2+12a+9,小正方形的面积为(2a+3﹣a)2=(a+3)2=a2+6a+9,则阴影部分面积为(4a2+12a+9)﹣(a2+6a+9)=3a2+6a;(2)当a=2时,原式=3×22+6×2=24.21.如图,已知∠BDC+∠EFC=180°,∠DEF=∠B.(1)求证:∠AED=∠ACB;(2)若D、E、F分别是AB、AC、CD边上的中点,S四边形ADFE=9,求S△ABC.【分析】(1)由BDC+∠EFC=180°和∠EFC+∠DFE=180°得到∠BDC=∠DFE,根据平行线的判定得AB∥EF,则∠ADE=∠DEF,而∠DEF=∠B,所以∠ADE=∠B,于是可判断DE∥BC,然后根据平行线的性质得到∠AED=∠ACB;(2)由E为AC的中点,根据三角形面积公式得到S△ADE=S△CDE=S△ADC,再由F为DC的中点得S△DEF=S△CEF=S△DEC,而S四边形ADFE=9,则S△ADE+S△EDC=9,可计算出S△ADE=6,则S△ADC=12,然后利用D为AB的中点,根据S△ABC=2S△ADC进行计算即可.【解答】(1)证明:∵∠BDC+∠EFC=180°(已知),而∠EFC+∠DFE=180°(邻补角的定义),∴∠BDC=∠DFE(等角的补角相等),∴AB∥EF(内错角相等,两直线平行),∴∠ADE=∠DEF(两直线平行,内错角相等),∵∠DEF=∠B(已知),∴∠ADE=∠B(等量代换),∴DE∥BC(同位角相等,两直线平行),∴∠AED=∠ACB(两直线平行,同位角相等);(2)解:∵E为AC的中点,∴S△ADE=S△CDE=S△ADC,∵F为DC的中点,∴S△DEF=S△CEF=S△DEC,∵S四边形ADFE=9,∴S△ADE+S△EDC=9,∴S△ADE=9,∴S△ADE=6,∴S△ADC=2×6=12,∵D为AB的中点,∴S△ABC=2S△ADC=2×12=24.22.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=9,AB=15,若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒3个单位,设运动的时间为t秒.(1)当t=6.5时,CP把△ABC的面积分成相等的两部分;(2)当t=5时,CP把△ABC分成的两部分面积之比是S△APC:S△BPC=1:4(3)当t=或时,△BPC的面积为18.【分析】(1)根据中线的性质可知,点P在AB中点时,CP把△ABC的面积分成相等的两部分,进而求解即可;(2)求出当t=5时,AP与BP的长,再根据等高的三角形面积比等于底边的比求解即可;(3)分两种情况:①P在AC上;②P在AB上.【解答】解:(1)当点P在AB中点时,CP把△ABC的面积分成相等的两部分,此时CA+AP=12+7.5=19.5(cm),∴3t=19.5,解得t=6.5.故当t=6.5时,CP把△ABC的面积分成相等的两部分;(2)5×3=15,AP=15﹣12=3,BP=15﹣3=12,则S△APC:S△BPC=3:12=1:4;(3)分两种情况:①当P在AC上时,∵△BCP的面积=18,∴×9×CP=18,∴CP=4,∴3t=4,t=;②当P在AB上时,∵△BCP的面积=18=△ABC面积的=,∴3t=12+15×=22,t=.故t=或秒时,△BCP的面积为18.故答案为:6.5;1:4;或.23.如图,AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线.(1)∠ABE=15°,∠BAD=40°,求∠BED的度数;(2)在△BED中作BD边上的高;(3)若△ABC的面积为40,BD=5,则△BDE中BD边上的高为多少?【分析】(1)根据三角形内角与外角的性质解答即可;(2)过E作BC边的垂线即可;(3)过A作BC边的垂线AG,再根据三角形中位线定理求解即可.【解答】解:(1)∵∠BED是△ABE的外角,∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+40°=55°;(2)过E作BC边的垂线,F为垂足,则EF为所求;(3)过A作BC边的垂线AG,∴AD为△ABC的中线,BD=5,∴BC=2BD=2×5=10,∵△ABC的面积为40,∴BC•AG=40,即×10•AG=40,解得AG=8,∵EF⊥BC于F,∴EF∥AG,∵E为AD的中点,∴EF是△AGD的中位线,∴EF=AG=×8=4.24.将6张小长方形纸片(如图1所示)按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD内,未被覆盖的部分恰好分割为两个长方形,面积分别为S1和S2.已知小长方形纸片的长为①请在下面的方框中用所给的纸片拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形,并仿照图1、图2画出拼法并标注a、b.②研究①拼图发现,可以分解因式2a2+5ab+2b2=(a+2b)(2a+b).【分析】(1)此题根据面积的不同求解方法,可得到不同的表示方法.一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积,另一种是直接利用正方形的面积公式计算,可得等式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac;(2)利用(1)中的等式直接代入求得答案即可;(3)利用S阴影=正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积﹣三角形BGF的面积﹣三角形ABD的面积求解.(4)①依照前面的拼图方法,画出图形便可;②由图形写出因式分解结果便可.【解答】解:(1)由题意得,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,故答案为,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac;(2)∵a+b+c=11,ab+bc+ac=38,∴a2+b2+c2=(a+b+c)2﹣2(ab+ac+bc)=121﹣76=45;(3)∵a+b=10,ab=20,∴S阴影=a2+b2﹣(a+b)•b﹣a2=a2+b2﹣ab=(a+b)2﹣ab=×102﹣×20=50﹣30=20;(4)①根据题意,作出图形如下:②由上面图形可知,2a2+5ab+2b2=(a+2b)(2a+b).故答案为(a+2b)(2a+b).26.阅读下列文字:我们知道,对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个数学等式.例如由图1可以得到(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.请解答下列问题:(1)写出图2中所表示的数学等式;(2)利用(1)中所得到的结论,解决下面的问题:已知a+b+c=12,ab+bc+ac=42,求a2+b2+c2的值;(3)图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长分别为a、b的长方形纸片,请利用所给的纸片拼出一个几何图形,使得用两种不同的方法计算它的面积时,能够得到数学公式:2a2+7ab+3b2=(a+3b)(2a+b).【分析】(1)直接求得正方形的面积,然后再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可;(2)将a+b+c=12,ab+bc+ac=42代入(1)中得到的关系式,然后进行计算即可;(3)根据分解结果画出图形即可.【解答】解:(1)正方形的面积可表示为=(a+b+c)2;正方形的面积=各个矩形的面积之和=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca,所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca;(2)∵a+b+c=12,ab+bc+ac=42,∴由(1)可知:a2+b2+c2=(a+b+c)2﹣2(ab+bc+ca)=122﹣42×2=60;(3)如图所示:2a2+7ab+3b2=(a+3b)(2a+b).亲爱的亲爱的读者:感谢你的阅读,祝您生活愉快。1、1、Greatworksareperformednotbystrengh,butbyperseverance.TIME\@"yy.M.d"20.7.2DATE\@"M.d.yyyy"7.2.2020DATE\@"HH:mm"09:52DATE\@"HH:mm:ss"09:52:41DATE\@"MMM-yy"Jul-20DATE\@"HH:mm"09:522、IstoppedbelievinginSantaClauswhenIwassix.Mothertookmetoseehiminadepartmentstoreandheaskedformyautograph.。TIME\@"EEEE年O月A日"二〇二〇年七月二日TIME\@"yyyy年M月d日星期W"2020年7月2日星期四3、Yourtimeislimited,sodon'twasteitlivingsomeoneelse'slife.DATE\@"HH:mm"09:52DATE\@"M.d.yyyy"7.2.2020DATE\@"HH:mm"09:52DATE\@"M.d.yyyy"7.2.2020DATE\@"HH:mm"09:52DATE\@"HH:mm:ss"09:52:41DATE\@"M.d.yyyy"7.2.2

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