备战2024年高考数学总复习第一轮第八章立体几何与空间向量课时规范练37

/课时规范练37《素养分级练》P317基础巩固组1.(2023·河南郑州模拟)设α,β为两个平面,则α⊥β的充要条件是()A.α,β平行于同一个平面B.α,β垂直于同一个平面C.α内一条直线垂直于β内一条直线D.α内存在一条直线垂直于β答案:D解析:α,β平行于同一个平面时,则α∥β,故A错误;α,β垂直于同一个平面时,α,β可能垂直,也可能相互平行,也可能相交但不垂直,故B错误;α内一条直线垂直于β内一条直线,α,β可能垂直,也可能相互平行,也可能相交但不垂直,故C错误;α内存在一条直线垂直于β,则α⊥β,反之也成立,故D正确.2.(多选)若α,β是两个相交平面,则在下列说法中,正确的是()A.若直线m⊥α,则在平面β内,一定不存在与直线m平行的直线B.若直线m⊥α,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m垂直C.若直线m⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m异面的直线D.若直线m⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线答案:BD解析:设平面α∩平面β=直线l,对于A,当平面α⊥平面β时,在平面β内作直线n⊥l,则n⊥α,而m⊥α,则n∥m,故A错误;对于B,m⊥α,则m⊥l,则平面β内与l平行的所有直线都与直线m垂直,故B正确;对于C,因为直线m⊂α,则m与l重合时,即m⊂β,β内的所有直线都与m共面,故C错误;对于D,当m⊥β时,结论成立,直线m与β不垂直时,作与直线m垂直的平面γ,则γ必与β相交,所得交线与m垂直,故D正确.故选BD.3.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在()A.直线AB上 B.直线BC上C.直线AC上 D.△ABC内部答案:A解析:连接AC1(图略),由AC⊥AB,AC⊥BC1,AB∩BC1=B,AB,BC1⊂平面ABC1,AC⊄平面ABC1,得AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC,∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.4.(2022·全国乙,文9)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则()A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D答案:A解析:如图,对于A,∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF∥AC.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC⊥BD,DD1⊥AC,又BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1,∴EF⊥平面BDD1.又EF⊂平面B1EF,∴平面B1EF⊥平面BDD1.故A正确.对于B,连接AC1,易证AC1⊥平面A1BD.假设平面B1EF⊥平面A1BD,又AC1⊄平面B1EF,∴AC1∥平面B1EF.又AC∥EF,AC⊄平面B1EF,EF⊂平面B1EF,∴AC∥平面B1EF.又AC1∩AC=A,∴平面AA1C1C∥平面B1EF.又平面AA1C1C∩平面AA1B1B=AA1,平面B1EF∩平面AA1B1B=B1E,∴AA1∥B1E,显然不成立,∴假设不成立,即平面B1EF与平面A1BD不垂直.故B错误.对于C,由题意知,直线AA1与B1E必相交,故平面B1EF与平面A1AC必相交.故C错误.对于D,连接AB1,CB1,易证平面AB1C∥平面A1C1D,又平面B1EF与平面AB1C相交,∴平面B1EF与平面A1C1D不平行.故D错误.5.(2022·云南曲靖二模)如图,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是∠DAB=60°的菱形,PA=PD,平面PAD垂直于底面ABCD,G为AD边的中点.(1)求证:BG⊥平面PAD;(2)若PA=AB=6,求四棱锥P-ABCD的体积.(1)证明:∵四边形ABCD是∠DAB=60°的菱形,∴△ABD为等边三角形.又G为AD的中点,∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,BG⊂平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴BG⊥平面PAD.(2)解:∵PA=PD,G为AD的中点,∴PG⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,PG⊂平面APD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PG⊥平面ABCD,即PG是四棱锥P-ABCD的高.∵PA=AB=6,∴△PAD是等边三角形,∴PG=32×6=33,VP-ABCD=13·PG·AD·AB·sin60°=13×33×6×6×3综合提升组6.在矩形ABCD中,AB<BC,现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折的过程中,给出下列结论:①存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直;②存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直;③存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直.其中正确结论的序号是.

答案:②解析:①假设AC与BD垂直,过点A作AE⊥BD于点E,连接CE.则AE⊥BDBD⊥AC⇒BD⊥平面AEC,则BD⊥CE,而在平面BCD中,CE与BD不垂直,故假设不成立,①不正确.②假设AB⊥CD,∵AB⊥AD,∴AB⊥平面ACD,∴AB⊥AC,由AB<BC可知,存在这样的直角三角形,使AB⊥AC,故假设成立,②正确.③假设AD⊥BC,∵CD⊥BC,∴BC⊥平面ACD,∴BC⊥AC,即△ABC为直角三角形,且AB为斜边,而AB<BC,故矛盾,7.(2023·北京大兴模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,E,F分别为BC,PD的中点.(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)求证:CF∥平面PAE;(3)若平面PAE⊥平面PAD,求∠ABC的大小.(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.又因为底面ABCD为菱形,所以BD⊥AC.又因为PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC.(2)证明:取PA的中点G,连接EG,GF.在△PAD中,G,F分别为PA,PD的中点,所以GF∥AD,GF=12因为底面ABCD为菱形,且E为BC的中点,所以CE∥AD,CE=12所以CE∥GF,CE=GF.所以四边形GFCE为平行四边形.所以EG∥CF.因为CF⊄平面PAE,EG⊂平面PAE,所以CF∥平面PAE.(3)解:因为PA⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PA⊥AD.因为平面PAE⊥平面PAD,且平面PAE∩平面PAD=PA,AD⊂平面PAD,所以AD⊥平面PAE.又AE⊂平面PAE,所以AD⊥AE.因为底面ABCD为菱形,且E为BC的中点,所以CE∥AD.所以∠AEB=∠EAD=90°,则△ABC是等边三角形.所以∠ABC=60°.创新应用组8.(2023·北京丰台模拟)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2CD=2,并将直角梯形ABCD绕AB边旋转至梯形ABEF.(1)求证:直线AB⊥平面ADF;(2)求证:直线CE∥平面ADF;(3)当平面ABCD⊥平面ABEF时,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,判断平面ADE与平面BCE是否垂直,并证明你的结论.条件①:AE=3,条件②:AD=1,条件③:BE⊥DE.(1)证明:在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,将直角梯形ABCD绕AB边旋转至梯形ABEF,所以AB⊥AF.又AD∩AF=A,AD,AF⊂平面ADF,所以AB⊥平面ADF.(2)证明:依题意可得DC∥EF且DC=EF,所以四边形DCEF为平行四边形,所以CE∥DF.又DF⊂平面ADF,CE⊄平面ADF,所以CE∥平面ADF.(3)解:因为平面ABCD⊥平面ABEF,AB⊥AD,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AD⊂平面ABCD,所以AD⊥平面ABEF.又BE⊂平面ABEF,所以AD⊥BE.过点E作EM⊥AB,交AB于点M.若选①:AE=3,因为EF=1,所以AF=AE2-EF2=2,所以BE=所以60°<∠AEB<90°.如图,过点E作EH⊥AE交AB的延长线于点H,因为AD⊥平面ABEF,EH⊂平面ABEF,所以AD⊥EH.又AD∩AE=A,AD,AE⊂平面ADE,所以EH⊥平面ADE.又EH⊂平面HCE,所以平面HCE⊥平面ADE,显然平面BCE与平面ADE