重庆大学城第一中学校2024届高二上数学期末考试试题含解析

重庆大学城第一中学校2024届高二上数学期末考试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线、的方向向量分别为、，若，则等于（）A.1 B.2C.0 D.32．已知，，且，则向量与的夹角为（）A. B.C. D.3．与直线关于轴对称的直线的方程为（）A. B.C. D.4．双曲线：的一条渐近线与直线垂直，则它的离心率为（）A. B.C. D.5．青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一．如图，是一青花瓷花瓶，其外形上下对称，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面．若该花瓶的瓶口直径为瓶身最小直径的2倍，花瓶恰好能放入与其等高的正方体包装箱内，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.6．已知直线，若圆C的圆心在轴上，且圆C与直线都相切，求圆C的半径（）A. B.C.或 D.7．彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为60°，则塔高（）A.30m B.C. D.8．设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥，∠=，则C的离心率为A. B.C. D.9．下列直线中，倾斜角为45°的是（）A. B.C. D.10．圆与圆的位置关系是（）A.内含 B.相交C.外切 D.外离11．已知三棱柱中，，，D点是线段上靠近A的一个三等分点，则（）A. B.C. D.12．两个圆和的位置是关系是（）A.相离 B.外切C.相交 D.内含二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．数列中，，，设（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前项和；（3）若，为数列的前项和，求不超过的最大的整数14．已知正方形的边长为2，对部分以为轴进行翻折，翻折到，使二面角的平面角为直二面角，则___________.15．已知椭圆的焦点分别为，A为椭圆上一点，则________16．已知线段AB的长度为3，其两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，点M满足．则点M的轨迹方程为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆C与椭圆有相同的焦点，且离心率为.（1）椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C的两个焦点，P是椭圆上的点，且，求的面积.18．（12分）已知函数f(x)＝（1）求函数f(x)在x=1处的切线方程；（2）求证：19．（12分）已知数列满足：（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为．若对恒成立．求正整数m的最大值20．（12分）已知椭圆的焦点为，且该椭圆过点（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上的点满足，求的值21．（12分）已知平面内两点.（1）求过点且与直线平行的直线的方程；（2）求线段的垂直平分线方程.22．（10分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元）88.28.48.68.89销量y（件）908483807568（1）求回归直线方程中的实数；（2）根据回归方程预测当单价为10元时的销量.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由可得出，利用空间向量数量积的坐标运算可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值.【详解】若，则，所以，所以，解得.故选：C2、B【解析】先求出向量与的夹角的余弦值，即可求出与的夹角.【详解】，所以，∴，∴，∴，又∵，∴与的夹角为.故选：B.3、D【解析】点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此即可求解.【详解】设(x，y)是与直线关于轴对称的直线上任意一点，则(x，－y)在上，故，∴与直线关于轴对称的直线的方程为.故选：D.4、A【解析】先利用直线的斜率判定一条渐近线与直线垂直，求出，再利用双曲线的离心率公式和进行求解.【详解】因为直线的斜率为，所以双曲线的一条渐近线与直线垂直，所以，即，则双曲线的离心率.故选：A.卷II（非选择题5、C【解析】由题意作出轴截面，最短直径为2a，根据已知条件点（2a，2a）在双曲线上，代入双曲线的标准方程，结合a，b，c的关系可求得离心率e的值【详解】由题意作出轴截面如图：M点是双曲线与截面正方形的交点之一，设双曲线的方程为：最短瓶口直径为A1A2＝2a，则由已知可得M是双曲线上的点，且M（2a，2a）故，整理得4a2＝3b2＝3（c2﹣a2），化简后得，解得故选：C6、C【解析】设出圆心坐标，利用圆心到直线的距离相等列方程，求得圆心坐标并求得圆的半径.【详解】设圆心坐标为，则或，所以圆的半径为或.故选：C7、D【解析】在△中有，再应用正弦定理求，再在△中，即可求塔高.【详解】由题设知：，又，△中，可得，在△中，，则.故选：D8、D【解析】详解】由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.9、C【解析】由直线倾斜角得出直线斜率，再由直线方程求出直线斜率，即可求解.【详解】由直线倾斜角为45°，可知直线的斜率为，对于A，直线斜率为，对于B，直线无斜率，对于C，直线斜率，对于D，直线斜率，故选：C10、C【解析】分别求出两圆的圆心、半径，再求出两圆的圆心距即可判断作答.【详解】圆的圆心，半径，圆，即的圆心，半径，则，即有，所以圆与圆外切.故选：C11、A【解析】在三棱柱中，，转化为结合已知条件计算即可.【详解】在三棱柱中，满足，且，则，，D点是线段上靠近A的一个三等分点，则，由向量的减法运算得，.故选：A【点睛】关键点点睛：在三棱柱中，，由向量的减法运算得，再展开利用数量积运算.12、C【解析】根据圆的方程得出两圆的圆心和半径，再得出圆心距离与两圆的半径的关系，可得选项.【详解】圆的圆心为，半径，的圆心为，半径，则，所以两圆的位置是关系是相交，故选：C.【点睛】本题考查两圆的位置关系，关键在于运用判定两圆的位置关系一般利用几何法.即比较圆心之间的距离与半径之和、之差的大小关系，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、（1）证明见解析；（2）；（3）2021【解析】(1)将两边都加，证明是常数即可；(2)求出的通项，利用错位相减法求解即可；(3)先求出，再求出的表达式，利用裂项相消法即可得解.【详解】（1）将两边都加，得，而，即有，又，则，，所以数列是首项为，公比为的等比数列；（2）由（1）知，，则，，，因此，，所以；（3）由（2）知，于是得，则，因此，，所以不超过的最大的整数是202114、-2【解析】根据，则，根据条件求得向量夹角即可求得结果.【详解】由题知，，取的中点O，连接，如图所示，则，又二面角的平面角为直二面角，则，又，则，为等边三角形，从而，则，故答案为：-215、4【解析】直接利用椭圆的定义即可求解.【详解】因为椭圆的焦点分别为，A为椭圆上一点，所以.故答案为：416、【解析】设出动点，根据已知条件得到关于的方程.【详解】设，由，有，得，所以，由得：，所以点的轨迹的方程是.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由题意求出即可求解；（2）由椭圆的定义和三角形面积公式求解即可【小问1详解】因为椭圆C与椭圆有相同的焦点，所以椭圆C的焦点，，，又，所以，，所以椭圆C的标准方程为.【小问2详解】由，，得，，而，所以，所以18、（1）y=5x－1；（2）证明见解析【解析】（1）求出导函数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求切线方程（2）不等式化简为．设，求出导函数，判断函数的单调性求解函数的最值，然后证明即可【详解】解：（1）的定义域为，的导数由（1）可得，则切点坐标为，所求切线方程为（2）证明：即证．设，则，由，得当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减，（1），即不等式成立，则原不等式成立19、（1）；（2）2021.【解析】（1）求出公比和首项即可.(2)利用错位相减法，求出，再作差求出递增，即可求解.【详解】（1）因为数列满足：，所以，设的公比为q，可得，又，即，解得，所以；（2），，，上面两式相减可得，化简可，因为，所以递增，最小，且为所以，解得，则m的最大值为202120、（1）（2）【解析】（1）利用两点间距离公式求得P到椭圆的左右焦点的距离，然后根据椭圆的定义得到a的值，结合c的值，利用a,b,c的平方关系求得的值，再结合焦点位置，写出椭圆的标准方程（2）利用向量的数量积，求得点满足的条件，再结合椭圆的方程，解得的值【小问1详解】解：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，因为所以，即，又因为c=2，所以，又因为椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，所以该椭圆的标准方程为.【小问2详解】解：因为，所以，即，又，所以，即.21、（1）（2）【解析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式方程求解即可；（2）求