期中模拟测试卷02（考试范围选择性必修第一册）（解析版）

期中模拟测试卷02（考试范围：选择性必修第一册）满分：150分考试时间：120分钟。一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知是所在平面外一点，是中点，且，则【】A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】因为M是PC中点，，又，，∴.故选：A.2．已知向量，，则【】A． B．40 C．6 D．36【答案】C【解析】由题设，则.故选：C3．设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（

）A．或 B．或 C． D．【答案】B【解析】如图所示：因为，所以当直线过点且与线段相交时，的斜率的取值范围是或，故选：B4．过点引直线，使、两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是【】．A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】设所求直线为，分两种情况讨论：①，则直线的斜率，此时直线的方程为，即，易知点不在直线上，合乎题意；②当直线过线段的中点时，直线的斜率为，此时直线的方程为，即.综上所述，所求直线方程为或.故选：C.5．已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为【】．A．13 B．12 C．25 D．16【答案】C【解析】由椭圆方程知：；根据椭圆定义知：，（当且仅当时取等号），的最大值为.故选：C.6．已知等边三角形的一个顶点为抛物线的焦点F，其余两个顶点都在抛物线C上，则该等边三角形的边长为【】A． B．C． D．【答案】D【解析】根据抛物线与等边三角形的性质知，其余两个顶点分别在在上，，联立解得，根据抛物线的定义得其边长为．故选：D7．已知点P为圆：上任一点，点Q为圆：上任一点，则的最小值为【】A．1 B． C．2 D．4【答案】A【解析】解：由题知，圆半径为，圆心坐标为，圆半径为，圆心坐标为，所以两圆的位置关系为内含，所以，，所以的最小值为．故选：A8．如图，在三棱锥中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成的角为，则的最大值为【】A． B． C． D．【答案】D【解析】设线段的中点为，连接，，为的中点，则，，则，，同理可得，，，平面，过点在平面内作，垂足为点，因为，所以，为等边三角形，故为的中点，平面，平面，则，，，平面，以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，因为是边长为的等边三角形，为的中点，则，则、、、，由于点在平面内，可设，其中，且，从而，因为，则，所以，，故当时，有最大值，即，故，即有最大值，所以，.故选：D.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．下列结论正确的是【】A．若直线l方向向量，平面，则是平面的一个法向量B．坐标平面内过点的直线可以写成C．直线l过点，且原点到l的距离是2，则l的方程是D．设二次函数的图象与坐标轴有三个交点，则过这三个点的圆与坐标轴的另一个交点的坐标为【答案】BD【解析】对于A，当时，，不能作为平面的法向量，故A错误；对于B，设过点的直线方程一般式为，可得，即，代入直线方程得，提取公因式得，故B正确；对于C，当直线斜率不存在时，即，检验原点到的距离是2，所以符合；当直线斜率存在时，设为k，则方程为：，即，利用原点到直线的距离，解得，所以，故直线的方程是或，故C错误；对于D，由题知，二次函数的图象与坐标轴的三个交点为，，，设过这三个点的圆的方程为，令的两根为2020，-2021，由韦达定理知，令的其中一个根为，所以另一个根为1，即圆过点(0，1)，故D正确.故选：BD.10．已知直线、的方向向量分别是，若且，则的值可以是【】A．－3 B．－1 C．1 D．3【答案】BC【解析】由得：，即，①由得：，②①②联立解得：，或故x+y的值可以是1或-1，故选：BC11．记椭圆与椭圆内部重叠区域的边界为曲线C，P是曲线C上任意一点，则（

）A．椭圆C1与椭圆C2的离心率相等B．曲线C关于y＝±x对称C．P到点(－1，0)，(1，0)，(0，－1)，(0，1)的距离之和为定值D．P到原点的距离的最大值为【答案】ABD【解析】由已知椭圆的长轴长和短轴长都分别相等，因此焦点也相等，从而离心率相同，A正确；用替换方程中的得的方程，同样用替换中的得方程，因此椭圆与椭圆关于直线对称，同理可得它们也关于直线对称，因此它们的公共部分边界线关于直线对称，B正确；是椭圆的两个焦点，是椭圆的两个焦点，在椭圆上时，是定值，但不是定值，所以不是定值，C错；设椭圆上在第一象限内的点，则，随的增大而增大，由对称性，曲线上，当点在直线上时，最大，，，因此，D正确．故选：ABD．12．已知为双曲线右支上的一个动点（不经过顶点），，分别是双曲线的左，右焦点，的内切圆圆心为，过做，垂足为，下列结论正确的是【】A．在定直线上 B．为定值C．为定值 D．为定值【答案】AC【解析】设的内切圆在上的切点分别为，设切点的坐标为，因为，所以，因为内切圆圆心为，所以轴，所以内切圆圆心在直线上，故A正确；因为（为内切圆的半径），，所以不为定值，故B错误；，垂足为，设，为的角平分线，为等腰三角形，,因为，在中，为中位线，所以，所以为定值，故C正确；因为为圆在轴右侧上的动点，在双曲线右支上的一个动点，结合图象易知不是定值.故选：AC.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的一般式方程为___________.【答案】，【解析】显然直线的斜率存在且不为，设：令，则；令，则依题意，解之得或当时，：当时，：故答案为：，14．已知圆与相交于两点，则公共弦的长是___________.【答案】【解析】解：由题意所在的直线方程为：，即，因为圆的圆心，半径为，所以，圆心到直线的距离为1，所以.故答案为：15．已知点，B是x轴的正半轴上一点，C是直线上一点，则周长的最小值为___________.【答案】【解析】如图，分别作出点A关于直线与x轴对称的点，，则，解得.所以.当，C，B，四点共线时，的周长最小，且最小值为.故答案为：.16．已知抛物线的方程为，焦点为F，点A的坐标为，若点P在此抛物线上移动，记P到其准线的距离为d，则的最小值为______，此时P的坐标为______．【答案】

【解析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，连接，作图如下：根据抛物线的定义，，数形结合可知，当且仅当三点共线，且在之间时取得最小值；即的最小值为，又，故；此时直线的方程为：，联立抛物线方程，可得：，解得（舍）或，此时，即此时点的坐标为.故答案为：；.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，设，，．(1)用、、表示，；(2)求的长度．【答案】(1)，(2)【解析】（1）解：；即，（2）解：因为，，，，，，所以所以，即18．（12分）在平面直角坐标系内，已知点P及线段l，Q是线段l上的任意一点，线段长度的最小值称为“点P到线段l的距离”，记为.(1)设点，线段，求；(2)设､､，线段，线段，若点是上的动点，请将表示成x的函数.【答案】(1)(2)【解析】(1)解：可设，则，当时，，所以；(2)解：线段所在直线的方程为，线段所在直线的方程为，过点且垂直于线段的直线方程为，即，联立，解得，因为点是上的动点，所以，当时，点到线段的最短距离即为点到线段所在直线的距离，此时，当时，点到线段的最短距离即为点到线段上的点的最短距离，此时，综上所述，.19．（12分）已知椭圆的短轴长为，左顶点A到右焦点的距离为．(1)求椭圆的方程(2)设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求证：经过定点．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】(1)解：依题意、，又，解得，，所以椭圆方程为，离心率；(2)解：由（1）可知，当直线斜率存在时，设直线为，联立方程得，消去整理得，设，，所以，；因为直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，所以；即所以，即，所以，即，所以或，当时，直线：，恒过定点，因为直线不过A点，所以舍去；当时，直线：，恒过定点；当直线斜率不存在时，设直线，，，则，且，解得或（舍去）；综上可得直线恒过定点.20．（12分）如图1，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，，，，为侧棱上靠近点的四等分点．(1)证明：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）证明：取上取一点，使，连接、，由题知，所以，．又因为，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以直线平面．（2）解：因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，所以、、、、，设平面的法向量为，，，则，取，则，易知平面的一个法向量为，所以，，由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.21．（12分）已知圆：，直线分别交轴，轴于A，B两点，O为坐标原点，，且圆心C到直线的距离为1.(1)求证：；(2)设，直线过线段的中点M且分别交轴与轴的正半轴于点P、Q，O为坐标原点，求△面积最小时直线的方程；(3)求△面积的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【解析】(1)证明：圆为：，圆心C（1，1），半径为1，设直线为：即，圆心C到直线的距离为1，∴，平方整理得：，即；(2)设直线的方程为：，又直线过点M（2，1），所以，即，则△的面积，当且仅当即，时等号成立.所以，直线的方程为：，即；(3)，，设，或，∵

∴，∴，∴只能取，∴，∴，∴△面积的最小值为.22．（12分）已知动圆过点，并且与圆外切，设动圆的圆心的轨迹为．(1)求曲线的方程；(2)过动点作直线与曲线交于，两点，当为的中点时，求的值；(3)过点的直线与曲线交于，两点，设直线，点，直线交于点，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标.【答案】(1)(2)(3)证明见解析，点【解析】(1)解：设动圆的圆心，半径为，