3统计图表14 3 2频率直方图

14.3.2频率直方图1.学会用频率分布表、画频率直方图表示样本数据.2.能通过频率分布表或频率直方图对数据作出总体估计.课标要求素养要求在学习绘制频率直方图的过程中，掌握应用频率直方图等统计图表估计总体的取值规律，发展学生数据分析的素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.频率直方图和频率折线图(1)频率直方图把横轴均分成若干段，每一段对应的长度称为_______，然后以此段为底作矩形，它的高等于该组的________，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组的______，这些矩形就构成了直方图，我们将这种直方图称为频率直方图.(2)频率折线图将频率直方图中各个矩形的上底边的______顺次连接起来，并将两边端点向外延伸______组距，就得到频率折线图，简称折线图.组距频率中点半个(1)决定组距与组数：将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来.这时应注意：①一般样本容量越大，所分组数______；②为方便起见，组距的选择应力求“取整”；③当样本容量不超过120时，按照数据的多少，通常分成__________组.(2)将数据分组：按______将数据分组，分组时，各组均为左闭右开区间，最后一组是闭区间.2.画频率直方图的步骤越多5～12组距1面积点睛√√√2.频率直方图中，小长方形的面积等于(

)A.组距 B.频率

C.组数 D.频数

解析根据小长方形的宽及高的意义，可知小长方形的面积为该组样本数据的频率.B3.如图所示是一容量为100的样本的频率直方图，则由图中的数据可知，样本落在[15，20]内的频数为(

) A.20

B.30 C.40

D.50B解析

样本数据落在[15，20]内的频数为100×[1－5×(0.04＋0.1)]＝30.4.将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率直方图，若第一组至第六组的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n＝________.60课堂互动题型剖析2题型一频数与频率【例1】

某市共有5000名高三学生参加联考，为了解这些学生对数学知识的掌握情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成频率分布表：3分组/分频数频率[80，90)①②[90，100)

0.050[100，110)

0.200[110，120)360.300[120，130)

0.275[130，140)12

[140，150]

0.050合计

根据上面的频率分布表，可知①处的数值为________，②处的数值为________.0.025②处的数值为1－0.050－0.200－0.300－0.275－0.100－0.050＝0.025，①处的数值为0.025×120＝3.思维升华【训练1】

(1)将容量为100的样本数据分为8个组，如下表：C组号12345678频数1013x141513129则第3组的频率为(

)A.0.03 B.0.07 C.0.14 D.0.21(2)一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，若样本中数据在[20，60)上的频率为0.8，则估计样本在[40，50)，[50，60)内的数据个数共为(

)A.15 B.16 C.17 D.19解析由题意得样本在[40，50)，[50，60)内的数据个数共为30×0.8－4－5＝15.A题型二频率直方图和频率折线图的绘制【例2】

抽查100袋洗衣粉，测得它们的质量如下(单位：g)：494

498

493

505

496

492

487

483508

511

495

494

483

485

511

493505

485

501

503

493

509

509

512484

509

510

495

497

498

504

498483

510

503

497

502

511

497

500493

509

510

493

491

497

515

503515

518

510

514

509

499

493

499506

492

505

489

494

501

509

498502

500

508

491

509

509

499

495493

509

496

509

509

499

486

491492

496

499

508

485

498

496

495496

505

499

505

493

501

510

496487

511

501

496(1)列出样本的频率分布表；解

在样本数据中，最大值是518，最小值是483，它们相差35，可以取组距为4g，分成9组，根据题意列出频率分布表如下：分组频数频率[482.5，486.5)80.08[486.5，490.5)30.03[490.5，494.5)170.17[494.5，498.5)200.20[498.5，502.5)140.14[502.5，506.5)100.10[506.5，510.5)190.19[510.5，514.5)60.06[514.5，518.5]30.03合计1001.00(2)画出频率直方图，频率折线图.解

频率直方图和频率分布折线图如图所示：1.绘制频率直方图的注意事项(1)将一批数据分组，目的是要描述数据分布规律，要根据数据多少来确定分组数目，一般来说，数据越多，分组越多.(2)将数据分组，决定分点时，一般使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点.(3)列频率分布表时，可通过逐一判断各个数据落在哪个小组内，以“正”字确定各个小组内数据的个数.(4)画频率直方图时，纵坐标表示频率与组距的比值，一定不能标成频率.思维升华2.频率分布折线图【训练2】

随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，37，26，39，36.根据上述数据得到样本的频率分布表如表所示.分组频数频率[25，30)30.12[30，35)50.20[35.40)80.32[40，45)n1f1[45，50]n2f2(1)确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；(2)根据上述频率分布表，画出样本的频率直方图和频率折线图.(2)样本的频率直方图和频率折线图如图所示.题型三频率分布表、频率直方图的应用【例3】

为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率约是多少？解(1)频率直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的，【迁移1】

(变结论)在例3条件下，试求样本中不达标的学生人数.

解样本的达标率为88%，样本容量为150，不达标的学生频率为1－0.88＝0.12，所以样本中不达标的学生人数为150×0.12＝18(人).【迁移2】

(变结论)在例3条件下，试求次数在130以上(含130次)的学生人数.思维升华【训练3】

某校100名学生期中考试语文成绩(单位：分)的频率直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100].(1)求图中a的值；(2)若这100名学生的语文成绩在某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数.分数段[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)x∶y1∶12∶13∶44∶5解(1)依题意得，10×(2a＋0.02＋0.03＋0.04)＝1，解得a＝0.005.一、牢记2个知识点1.频率直方图和频率折线图的特点.2.画频率直方图的步骤.二、掌握2种方法1.图象识别.2.数据分析.三、注意1个易错点频率直方图中每个小长方形的面积＝相应各组的频率.

课堂小结分层训练素养提升3

一、选择题1.容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：B分组[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]频数234542则样本数据落在区间[10，40)的频率为(

)A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65A.21 B.22 C.23 D.24解析底部周长在[80，90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90，100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100cm的株数为(0.15＋0.25)×60＝24.2.为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100cm.(

)D3.在一次20千米的汽车拉力赛中，50名参赛选手的成绩全部介于13分钟到18分钟之间，将其比赛成绩分为五组：第一组[13，14)，第二组[14，15)，…，第五组[17，18]，其频率直方图如图所示，若成绩在[13，15)之间的选手可获奖，则这50名选手中获奖的人数为(

)DA.39 B.35 C.15 D.11解析由频率直方图知，成绩在[13，15)内的频率为1－0.38－0.32－0.08＝0.22，所以成绩在[13，15)内的人数为50×0.22＝11，所以获奖的人数为11.4.为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、第二组、…、第五组，如图是C根据试验数据制成的频率直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为(

)A.6 B.8 C.12 D.185.(多选题)为征求个人所得税法修改建议，某机构调查了10000名当地职工的月收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率直方图.下列说法正确的是(

)A.月收入低于5000元的职工有5500名B.如果个税起征点调整至5000元，估计有50%的当地职工会被征税C.月收入高于或等于7000元的职工约为当地职工的5%D.根据此次调查，为使60%以上的职工不用缴纳个税，起征点应位于[5000，6000)内解析月收入低于5000元的职工有10000×(0.0001＋0.0002＋0.00025)×1000＝5500(名)，A正确；如果个税起征点调整至5000元，由(0.00025＋0.00015＋0.00005)×1000×100%＝45%，可估计有45%的当地职工会被征税，B不正确；月收入高于或等于7000元的职工约占0.00005×1000×100%＝5%，C正确；月收入低于5000元的频率为0.55，低于6000元的频率为0.8，D正确.ACD二、填空题6.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数，单位：分)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，画出如下部分频率直方图.观察图形的信息，第四小组的频率为________.0.3解析第四小组的频率为1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3.248.某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率直方图(如图)，其中，上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100].则(1)图中的x＝________；(2)若上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，则该校600名新生中估计有________名学生可以申请住宿.解析(1)由频率直方图知20x＝1－20×(0.025＋0.0065＋0.003＋0.003)，解得x＝0.0125.(2)上学时间不少于1小时的学生的频率为0.003×2×20＝0.12，因此估计有0.12×600＝72(名)学生可以申请住宿.0.012572三、解答题9.为了了解一大片经济林的生长情况，人们随机测量其中的100株树木的底部周长(单位：cm)，得到如下数据：

99

121

110

96

100

1031259711711311092102109104112105124871041041281091231111031059211410810410212912697100115111106117104109111891101218012012110410811812999909912112310711191100991011169710210810195107101102108117991181061199712610812311998121101113102103104108绘制频率直方图、频率折线图.解

从数据中可以看出，这组数据的最大值为135，最小值为80，故全距为55，可将其分为11组，组距为5，列表如下：分组频数频率[80，85)10.01[85，90)20.02[90，95)40.04[95，100)140.14[100，105)240.24[105，110)150.15[110，115)120.12[115，120)90.09[120，125)110.11[125，130)60.06[130，135]20.02合计1001.00画频率直方图、频率折线图如图所示：10.某市2019年4月1日～4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45.(1)完成频率分布表；解频率分布表：(2)作出频率直方图；解频率直方图如图所示：(3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染.请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.解答对下述两条中的一条即可：11.为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20000人，并根据所得数据画出样本的频率直方图如图所示(最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值).现按月收入分层，用分层抽样的方法在这20000人中抽出200人进一步调查，则月收入在[1500，2000)(单位：元)内的应抽取________人.40解析

月收入在[1500，2000)的频率为1－(0.0002＋0.0005×2＋0.0003＋0.0001)×500＝0.2，故应抽取200×0.2＝40(人).12.某班在一次数学测验中，全班N名学生的数学成绩的频率直方图如下，已知分数在110～120的学生有14人.40则总人数N＝________，分数在120～125的人数n＝________.4解析

分数在110～120内的学生的频率为p1＝(0.04＋0.03)×5＝0.35，分数在120～125内的学生的频率为p2＝1－(0.01＋0.04＋0.05＋0.04＋0.03＋0.01)×5＝0.10，所以分数在120～125内的人数n＝40×0.10＝4.13.某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了频率直方图，其中身高的变化范围是[96，106