2023-2024学年甘肃省兰州市高一下册期中数学质量检测模拟试题合集2套（含解析）

2023-2024学年甘肃省兰州市高一下册期中数学质量检测模拟试题一、单选题1．已知平面向量的夹角为，且，则（

）A．4 B．4 C．8 D．8【正确答案】C【分析】直接利用数量定义求解即可【详解】因为平面向量的夹角为，且，所以，故选：C2．已知a，，，则（

）A．5 B． C．3 D．【正确答案】D【分析】根据复数相等的定义求参，再根据复数的模的计算公式即可得解.【详解】因为，所以，，所以.故选：D.3．已知（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】根据给定条件，利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为，所以.故选：A4．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【正确答案】A【分析】由题意可知，利用除法法则整理即可得到复数的坐标形式，进而求即可.【详解】，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限.故选：A.5．已知，则（

）A． B．0 C． D．【正确答案】B【分析】变换，代入计算得到答案.【详解】，.故选：B6．已知向量，，若与同向共线，则（

）A．3 B． C．或3 D．0或3【正确答案】A【分析】根据向量共线的坐标表示结合条件即得.【详解】因为向量，，由，可得或，当时，，，，满足题意，当时，，，，不满足题意，所以.故选：A.7．已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可.【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为，因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为，则圆锥和圆柱的高为，所以圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为，所以圆锥和圆柱的侧面积之比为,故选:C.8．如图，在长方体中，，E，F分别为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】若是中点，连接，由知是直线与所成角的平面角，再应用余弦定理求其余弦值.【详解】若是中点，连接，在长方体中，所以直线与所成角为，又，F为棱的中点，则，所以在△中，.故选：D二、多选题9．甘肃省庆阳市南佐遗址是国家重点文物保护单位，年代距今5200年至4600年.它是仰韶文化的大型聚落遗址，为黄河流域文明起源和发展提供了重要的实物资料，经国家文物局批准，2021年、2022年进行了第三阶段的考古发掘工作.如图，为该次出土的一块三角形瓷器碎片，其一部分破损，为了复原该三角形陶片，现测得如下数据：BC=7cm，AB=5cm，A=，则：（

）A．陶片破损的边AC长为8cm B．陶片面积为cm2C．陶片外接圆面积cm2 D．陶片的形状为直角三角形【正确答案】ABC【分析】利用已知条件，通过正弦定理，余弦定理可分别求出的值，从而可对各选项逐项分析判断即可得出答案.【详解】由题意可得，BC=7cm，AB=5cm，A=，在三角形中，,由正弦定理可得，，即，又为锐角，，，，由正弦定理可得，,即;故A正确；，陶片外接圆面积为,故C正确；陶片面积为，故B正确；，陶片的形状不是直角三角形，故D错误；故选：ABC.10．设为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（

）A．B．若互为共轭复数，则C．若，则D．若复数为纯虚数，则【正确答案】ABD【分析】根据复数的乘法运算、共轭复数及复数模的运算，纯虚数的定义逐一判断作答.【详解】对于A，令，则，于是，A正确；对于B，令，则，，B正确；对于C，令，显然，而，，C错误；对于D，复数为纯虚数，则，解得，D正确.故选：ABD11．已知向量，若，则实数m的值可以为（

）A． B．0 C．1 D．2【正确答案】ABC【分析】根据向量垂直列出方程，求出实数m的值.【详解】因为，所以，解得或0或．故选：ABC12．如图，在正方体中，点在线段上运动，则（

）A．三棱锥的体积为定值B．异面直线与所成的角的取值范围为C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为D．过作直线，则【正确答案】ACD【分析】证明平面，结合三棱锥的体积计算判断A；利用异面直线夹角的定义计算判断B；求出点到平面的距离计算判断C；证明平面判断D作答.【详解】对于A，在正方体中，对角面是矩形，即，平面，平面，则平面，即点P到平面的距离等于点C到平面的距离，为定值，而的面积是定值，因此，三棱锥的体积为定值，A正确；对于B，由选项A知，，则异面直线与所成的角即为直线与所成的角，连，则有是正三角形，点在线段上运动，当点P与或重合时，直线与所成的角最小，为，当点P为线段的中点时，直线与所成的角最大，为，所以异面直线与所成的角的取值范围为，B不正确；对于C，令正方体棱长为2，点到平面的距离为h，正边长为，面积为，由得：，解得，当点P为线段的中点时，，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为，C正确；对于D，在正方体中，，平面，又平面，因此，而，平面，于是有平面，又平面，则，又直线过，且直线，所以，D正确.故选：ACD三、填空题13．已知，则______．【正确答案】或【分析】根据给定条件，利用等角定理计算作答.【详解】，由等角定理知，与相等或互补，所以或.故或14．如图，是用斜二测画法得到的△AOB的直观图，其中则AB的长度为______．【正确答案】【分析】把直观图还原为原平面图形，根据直观图画法规则，利用勾股定理求出AB的长度即可．【详解】把直观图还原为,如图所示：根据直观图画法规则知,,所以的长度为.故答案为.15．若平面向量､满足条件：､，则向量在向量的方向上的数量投影为___________.【正确答案】【分析】根据数量投影的知识求得正确答案.【详解】向量在向量的方向上的数量投影为.故16．“勾股弦”是勾股定理的一个特例根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾股弦”的问题如图，在矩形中，满足“勾股弦”，且，，为上一点，若，则__________．【正确答案】/0.28【分析】建立直角坐标系，由可求出的坐标，然后根据建立方程组求解即可.【详解】由题意建立如图所示的直角坐标系，因为，，则，，.设，则，，因为，所以，解得，，，，由，得，所以，解得，所以，故答案为.四、解答题17．已知为锐角，.（1）求的值；（2）求的值．【正确答案】（1）；（2）.【分析】（1）由二倍角公式，结合题意，可直接求出结果；（2）先由题意求出，，根据，由两角差的正弦公式，即可求出结果.【详解】（1）因为，所以；（2）因为为锐角，所以，，又，所以，，所以.本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记二倍角公式，以及两角差的正弦公式即可，属于常考题型.18．在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1，，.（1）求，，对应的复数；（2）判断的形状；（3）求的面积.【正确答案】（1）；-3+i；-2+2i（2）直角三角形.（3）2（1）求出A,B,C对应的点的坐标，再根据向量的坐标运算求出结果；（2）分别求出对应的线段的长，再根据勾股定理即可判断；（3）利用直角三角形的面积公式，计算即可.【详解】解：（1）对应的复数为.对应的复数为.对应的复数为.（2）由（1）知，，，∴.∴为直角三角形.（3）.本题考查复数的几何意义，复数和平面内的点是一一对应关系，考查了向量的模以及三角形的面积公式，考查了运算能力，属于基础题.19．已知函数.(1)求的最小正周期；(2)若，求函数的值域和单调区间.【正确答案】(1)；(2)值域是，递增区间是，递减区间是.【分析】（1）根据诱导公式，结合降幂公式、辅助角公式、正弦型函数的最小正周期公式求解作答.（2）利用正弦函数的性质求出指定区间上的值域及单调区间作答.【详解】（1）依题意，，所以的最小正周期为.（2）由，得，则，因此，即函数的值域是，又正弦函数在上单调递增，在上单调递减，由得：，由得：，因此函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的值域是，递增区间是，递减区间是.20．如图，一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊接而成，球的半径为R，正四棱台上、下底面半径分别为2.5R和3R，斜高为0.6R，取(1)求这个盖子的表面积和体积（用R表示，焊接处对面积影响忽略不计）(2)若R=2cm，为盖子涂色时所用的涂料每0.4kg可以涂1，计算100个这样的盖子涂色约需要涂料多少千克？（内部不涂色，结果精确到0.1千克）？【正确答案】(1)；；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用球的表面积公式和棱台的表面积公式，以及它们的体积公式求解作答.（2）由（1）的结论，将R=2cm代入计算出每个盖子的表面积，进而求出100个盖子的面积，即可求出需涂料的重量.【详解】（1）因为球的半径为R，则该球的表面积为，该球的体积，又四棱台的上、下底面边长分别为2.5R和3R，则四棱台的上、下底面积分别为和，而正四棱台的斜高为0.6R，则四棱台的侧面积为，正四棱台的高为上、下边长分别为2.5R和3R，腰长为0.6R的等腰梯形的高为，正四棱台的体积，所以容器盖子的表面积，体积为（）.（2）由（1）知，，当R=2cm时，（）所以100个这样的盖子约需涂料为（）.21．如图，在正方体中，是棱的中点．(1)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；(2)求证：直线平面(3)若正方体的棱长为2，求点到平面的距离【正确答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）连接交于点，由三角形中位线性质可得，由线面平行的判定可证得结论.（2）由正方体的结构特征结合线面垂直性质，证得平面，再由线面垂直性质和判定推理作答.（3）利用三棱锥的体积求解作答.【详解】（1）直线平面，在正方体中，连接交于点，连接，如图，因为四边形为正方形，则为中点，又为中点，因此，又平面，平面，所以平面.（2）在正方体中，连接，如图，因为四边形为正方形，则，而平面，平面，即有，又，平面，则平面，而平面，因此，同理平面，又平面，即有，因为，平面，所以平面.（3）在三棱锥中，，则的面积，的面积，设点到平面的距离为，由得：，于是，所以点到平面的距离为.22．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，已知，．(1)求角的大小；(2)求的最小值.(3)的取值范围【正确答案】(1)；(2)4；(3).【分析】（1）根据给定条件，利用向量的数量积公式和三角形面积公式，化简、计算作答.（2）由余弦定理结合已知，再利用基本不等式求解作答.（3）利用（1）的结论，结合三角恒等变换及三角函数性质求解作答.【详解】（1）在锐角中，由，得，即，则，而，所以.（2）在中，由（1）知，，而，由余弦定理，得，当且仅当时取等号，所以当时，.（3）由（1）知，，则，而是锐角三角形，有，解得，于是，而，，即，所以的取值范围是.2023-2024学年甘肃省兰州市高一下册期中数学质量检测模拟试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．）1．若，则（）A． B． C． D．2．在复平面内，复数z对应的点与对应的点关于实轴对称，则（）A． B． C． D．3．设，是非零向量．“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知正三角形ABC的边长为a，那么的平面直观图的面积为（）A． B． C． D．5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则为（）A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等边三角形6．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高AB等于（）A． B． C． D．7．（）A． B．4 C． D．28．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则角C的大小是（）A．或 B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列命题正确的是（）A．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形10．已知为虚数单位，复数，则以下为真命题的是（）A．在复平面内对应的点在第一象限B．的虚部是C．D．若复数满足，则的最大值为11．如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系．在反射坐标系中，若，则把有序数对称为向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，，，其中正确的是（）A． B． C． D．12．已知函数，则下列关于函数的描述正确的是（）A．在区间上单调递增B．图象的一个对称中心是C．图象的一条对称轴是D．将的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象关于轴对称第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量与的夹角为，，，则等于_______．14．已知，，，均为锐角，则_________．15．我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为________．16．已知在中，，，动点P位于线段AB上，则当取最小值时，向量与的夹角的余弦值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）（1）已知复数满足，求；（2）计算．18．（本小题满分12分）学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体．其中为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，．打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，求制作该模型所需原料的质量．19．（本小题满分12分）如图，在平面四边形ABCD中，，，，．（1）求的值；（2）若，求CD的长．20．（本小题满分12分）已知函数，且函数的最小正周期为．（1）求的解析式，并求出的单调递增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数的最大值及取得最大值时的取值集合．21．（本小题满分12分）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，S是的面积，若_________（填条件序号）（1）求角C的大小；（2）点D在CA的延长线上，且A为CD的中点，线段BD的长度为2，求的面积S的最大值．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．22．（本小题满分12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围．答案1．B2．D3．A4．D5．A6．解析在中，．由正弦定理得，所以．在中，．答案D7．解析．答案B8．解析由，得，则，因为，所以，由及正弦定理，得，即，即，整理得，则，又，即或，即或．答案A9．AC10．解析∵，∴在复平面内对应的点为，在第一象限，故A正确；的虚部是，故B不正确；，故C不正确；设，，，由得，则点在以为圆心，以1为半径的圆上